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二、正
弦
定
理
新课程标准
学业水平要求
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索,掌握正弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
★水平一1.了解正弦定理的推导过程(逻辑推理)2.掌握正弦定理的内容及正弦定理的公式变形(数学抽象)★水平二1.掌握正弦定理的简单应用(数学运算)2.初步掌握正弦定理的简单实际应用(数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.正弦定理的内容是什么?2.正弦定理能解决哪些问题?
1.正弦定理
(1)文字叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
(2)符号表示:==.
【说明】正弦定理的理解:
(1)适用范围:任意三角形.
(2)结构特征:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦.
(3)主要作用:正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题.
2.正弦定理的变形
(1)a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C(边化角).
(2)sin
A=,sin
B=,sin
C=(角化边).
(3)a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C(边角互化).
(4)===.
在△ABC中,若已知a>b,如何利用正弦定理得到sin
A>sin
B?
提示:由a>b,且a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,可得2Rsin
A>2Rsin
B,即sin
A>sin
B.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦定理仅对直角三角形成立.( )
(2)在△ABC中,若sin
A=,则A=.( )
(3)在△ABC中,若sin
2A=sin
2B,则△ABC为等腰三角形.( )
提示:(1)×.正弦定理对任意三角形都成立.
(2)×.A=时sin
A=也成立.
(3)×.由sin
2A=sin
2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,即△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2.在△ABC中,a=,b=1,∠A=,则∠B=( )
A.或
B.
C.或
D.
【解析】选D.由正弦定理=,
可得sin
B===.
由b
3.(教材二次开发:例题改编)探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离,在帐篷旁边选定100米长的基线AC,并测得∠C=105°,∠B=15°,则A,B两点间的距离为________.?
【解析】由正弦定理得=,
所以AB===100(2+).
即A,B两点间的距离为100(2+)米.
答案:100(2+)米
关键能力·合作学习
类型一 利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)
1.在△ABC中,A=60°,a=,b=,则B=( )
A.45°或135°
B.45°
C.135°
D.以上答案都不对
2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.若=,则cos
B=
( )
A.-
B.
C.-
D.
3.在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,求边b.
【解析】1.选B.根据正弦定理=,
即=,故sin
B=,由题知b2.选B.由=,
可得=,所以tan
B=,
又0B=.
3.因为=,
所以sin
C===,
因为0°当C=60°时,B=75°,b===+1;
当C=120°时,B=15°,b===-1.
所以b=+1或-1.
1.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.
2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦定理可求得两个角,要分类讨论.
【补偿训练】
设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为3sin
A=5sin
B,
由正弦定理可得3a=5b即a=b;
因为b+c=2a,所以c=b,
所以cos
C====-,而C∈(0,π),所以C=.
类型二 三角形形状的判断(数学运算)
【典例】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且==,试判断△ABC的形状.
【思路导引】根据正弦定理的变形,先将已知式中的边转化为角,再化简,进行判断.
【解析】由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆的半径),
得a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C,
代入==,
可得==,
所以tan
A=tan
B=1.
又因为角A,B,C是△ABC的内角,所以A=B=45°,从而C=90°,
故△ABC是等腰直角三角形.
三角形形状的判断
1.判断三角形的形状,是指根据已知条件,确定三角形中是否有两边(两角)相等、三边(三角)相等或是否有直角等,从而判断三角形是不是等腰三角形、等边三角形或直角三角形等.
2.利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是:从已知条件出发,利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算,找出边与边的关系,角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确判断.
在△ABC中,若==,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.由正弦定理==,可得==,
即tan
A=tan
B=tan
C,
因为0所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形.
类型三 三角形的面积与外接圆问题(逻辑推理)
角度1 三角形面积?
【典例】已知在△ABC中边a,b,c的对角分别为A,B,C,且a=,c=,C=,则△ABC的面积S=________.?
【思路导引】可依据题设条件求出B的值,再利用面积公式求解.
【解析】由正弦定理知sin
A===.
由a所以A=,所以B=π-A-C=,
所以S=acsin
B=××sin=.
答案:
角度2 三角形外接圆?
【典例】在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则△ABC外接圆的面积为( )
A.
B.2π
C.π
D.
【思路导引】由余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan
A,结合范围可求出A的值,由正弦定理可求出外接圆半径,进而求出圆的面积.
【解析】选A.由余弦定理可得:2bccos
A=b2+c2-a2=b2+c2-1,
又因为S=bcsin
A,可得4S=2bcsin
A,
因为4S=b2+c2-1,
可得:2bccos
A=2bcsin
A,即tan
A=1,
因为A∈,所以A=,
设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理可得:=2R,
即=2R,得R=,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=.
在△ABC中,c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆面积为( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选B.在△ABC中,A=75°,B=45°,
所以C=180°-A-B=60°.
设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=,解得R=1,故△ABC的外接圆面积S=πR2=π.
1.利用正弦定理求三角形面积的步骤
(1)依据已知条件,先确定应该求出哪个量;
(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所需要的量;
(3)利用面积公式求解.
2.三角形外接圆的求解
三角形外接圆的求解关键是正确求出其半径,常常要借助公式==
=2R(其中R为三角形外接圆的半径),即可快速求出.
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为( )
A.5
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.根据三角形面积公式得×1×csin
45°=2,得c=4,则b2=a2+c2-2accos
B=25,
即b=5,所以△ABC外接圆的直径为2R==5.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为( )
A.2+2
B.+1
C.2-2
D.-1
【解析】选B.根据正弦定理=,
解得c=2,由题知A=,且sin=,
所以S△ABC=bcsin
A=+1.
【补偿训练】
在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则△ABC的外接圆半径为
( )
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.S==×2csin
120°,解得c=2,
所以a2=22+22-2×2×2cos
120°=12,
解得a=2,
所以2R===4,解得R=2.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则△ABC外接圆半径为( )
A.30
B.20
C.15
D.15
【解析】选D.因为在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,
由正弦定理得==2R,
即=2R,解得R=15.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos
A=,a=,则=( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选D.由cos
A=,得sin
A=,故==2.
3.(教材二次开发:习题改编)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,B=45°,若三角形有两解,则a的取值范围是( )
A.a>2
B.0C.2D.2【解析】选C.根据正弦定理===2,故sin
A=,因为三角形有两解,故A=<1,解得24.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=2,b=4,A=120°,则△ABC的面积为________.?
【解析】因为a=2,b=4,A=120°,c>0,
又cos
A=,
所以cos
120°=-=,解得c=2,
所以S△ABC=bcsin
A=×4×2sin120°=2.
答案:2
5.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2bsin
A.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=13,△ABC的面积为10,求b.
【解析】(1)由题设及正弦定理得sin
A=2sin
Bsin
A,
因为sin
A>0,所以sin
B=,
又0(2)因为△ABC的面积为10,
所以acsin
B=10.
又因为B=,所以ac=40,
由余弦定理得b==,
所以b===7.
课时素养评价
二十三 正
弦
定
理
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,已知a=8,∠B=30°,b=4,则c=( )
A.
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由正弦定理,可得=,
即sin
A===1,
因为0°由勾股定理可得c===4.
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=6,c=2,A=120°,则角C=( )
A.30°或150° B.30° C.45° D.60°
【解析】选B.由正弦定理=,
得sin
C===.
又因为a>c,所以A>C,
即0°2.在△ABC中,若2a=b+c,sin2A=sin
B·sin
C,则△ABC一定是( )
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.非等腰三角形
【解析】选B.由正弦定理得,a2=bc,
由a=,得=bc,
整理得(b-c)2=0,所以b=c,
因为a=,所以a=b=c,
所以△ABC为等边三角形.
3.在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
【解析】选A.由题可知,a=2,A=30°,
而==2R===4,即=4.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=12,A=60°,B=45°,则a= .?
【解析】在△ABC中,因为A=60°,B=45°,
由正弦定理=,
可得==,
解得b=a,又因为a+b=12,
即a+a=12,解得a=36-12.
答案:36-12
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(a+b,sin
C),
n=(a+c,sin
B-sin
A),若m∥n,则角B的大小为 .?
【解析】因为m∥n,
所以(a+b)(sin
B-sin
A)-sin
C(a+c)=0,
由正弦定理化简得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,
整理得a2+c2-b2=-ac,
所以cos
B=-,
因为0答案:
6.已知在△ABC中,A=,a=13,c=15.
(1)求sin
C;
(2)若△ABC是钝角三角形,求△ABC的面积.
【解析】(1)在△ABC中,根据正弦定理得=,则=,
所以sin
C==.
(2)因为a2=b2+c2-2bccos
A,
所以132=b2+152-2×b×15×.
解得b=8或b=7.
当b=7时,cos
C==-<0,
所以C为钝角,
所以△ABC的面积S=bcsin
A=,
当b=8时,cos
C==>0.
此时C为锐角,不满足题意,
所以△ABC的面积为.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈( )
A.{}
B.(,+∞)
C.{}∪(0,1]
D.{}∪(0,1)
【解析】选C.由题中已知△ABC中A=45°,a=1,则c边上的高线长可表示为
bsin
45°=b,因为三角形形状唯一,所以△ABC为直角三角形或钝角三角形,则a=b或a≥b>0,所以b=a=或02.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin
B=b,则角A等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为2asin
B=b,
由正弦定理可得:2sin
Asin
B=sin
B,
又sin
B≠0,所以sin
A=.
因为△ABC为锐角三角形,所以A=.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sin
C=2sin
B,则角A为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选A.因为sin
C=2sin
B,
所以c=2b,
结合a2-b2=bc,可得a2=7b2,
所以cos
A==,
因为0°4.在△ABC中,lg(sin
A+sin
C)=2lg
sin
B-lg(sin
C-sin
A),则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为lg(sin
A+sin
C)=lg,所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形.
【误区警示】本题容易因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=+1,则下列说法正确的是( )
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=
D.该三角形面积为
【解析】选BC.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=4+4+2-2×2×(+1)×=6,所以a=.
由正弦定理=,
所以sin
B===,
由于0°△ABC的面积S=bcsin
A=×2×(+1)×=.
6.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,∠C=45°,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的值可能为( )
A.1 B.1.5 C.1.8 D.2
【解析】选BC.在△ABC中,由∠C=45°,c=,a=x,
则asin
C=xsin
45°=x,
要使得三角形有两个,则满足x即x<即x的取值范围是,结合选项BC正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,·=-2,且满足sin
A+
sin
C=2sin
B,则该三角形的外接圆的半径R为 .?
【解题指南】根据向量的数量积的运算,求得ac=4,由正弦定理和余弦定理,列出方程求得a+c=4,进而得到b=2,再利用正弦定理,即可求解球的半径.
【解析】由题意,因为·=accos(π-B)=-ac=-2,所以ac=4.
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos
B,
又因为sin
A+sin
C=2sin
B,
所以a+c=2b,所以=(a+c)2-3ac,
所以=12,所以(a+c)2=16,
所以a+c=4,所以b=2,
所以2R===,所以R=.
答案:
8.已知点O是△ABC的外接圆的圆心,AB=3,AC=2,∠BAC=,则外接圆O的面积为 .?
【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos=32+-2×3×2×=5,所以BC=.
设外接圆的半径为R,由正弦定理得2R===,
所以外接圆的面积为S=πr2=π=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+c)(sin
A-sin
C)
=(a-b)sin
B.
(1)求角C;
(2)若a=4,△ABC的面积为,求c.
【解析】(1)因为(a+c)(sin
A-sin
C)=(a-b)sin
B,
由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,
即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cos
C===.
因为0(2)因为a=4,△ABC的面积为,
所以absin
C=,
即×4b×=,
解得b=.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=16+-2×4××=,所以c=.
10.平面四边形ABCD中,边BC上有一点E,∠ADC=120°,AD=3,sin∠ECD=,
DE=,CE=.
(1)求AE的长;
(2)已知∠ABC=60°,求△ABE面积的最大值.
【解析】(1)在△CED中,由正弦定理可得=,即=,
所以sin∠CDE=,
因为CE故∠CDE=30°,又∠ADC=120°,
所以∠ADE=90°,
在直角△ADE中,AE2=AD2+DE2=32+3=12,所以AE=2.
(2)在△ABE中,AE=2,∠ABC=60°,
由余弦定理可得AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos
60°,
即12=AB2+BE2-AB·BE,
因为AB2+BE2≥2AB·BE,
所以AB·BE+12≥2AB·BE,
即AB·BE≤12,
当且仅当AB=BE=2时等号成立,
所以S△ABE=AB·BEsin
60°=AB·BE≤3.
所以△ABE面积的最大值为3.
1.在△ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边,若满足条件c=4,∠B=60°的三角形的解有两个,则b的长度范围是( )
A.(0,2)
B.(2,4)
C.(2,4)
D.(4,+∞)
【解析】选C.因为满足条件c=4,∠B=60°的三角形的解有两个,
所以csin
B所以b的取值范围为(2,4).
2.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2,b=6,A=30°.
【解析】(1)a=10,b=20,aA=20sin
80°>20sin
60°=10,
所以aA,所以本题无解.
(2)a=2,b=6,a因为bsin
A=6sin
30°=3,a>bsin
A,
所以bsin
A由正弦定理得sin
B===,
又因为0°当B=60°时,C=90°,
c===4;
当B=120°时,
C=30°,c===2.
所以当B=60°时,C=90°,c=4;
当B=120°时,C=30°,c=2.
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二、正
弦
定
理
必备知识·自主学习
1.正弦定理
(1)文字叙述:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
(2)符号表示:
导思
1.正弦定理的内容是什么?
2.正弦定理能解决哪些问题?
【说明】正弦定理的理解:
(1)适用范围:任意三角形.
(2)结构特征:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦.
(3)主要作用:正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题.
2.正弦定理的变形
(1)a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C(边化角).
(2)sin
A=
,sin
B=
,sin
C=
(角化边).
(3)a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C(边角互化).
(4)
【思考】
在△ABC中,若已知a>b,如何利用正弦定理得到sin
A>sin
B?
提示:由a>b,且a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,可得2Rsin
A>2Rsin
B,即sin
A>sin
B.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正弦定理仅对直角三角形成立.
( )
(2)在△ABC中,若sin
A=
,则A=
.
( )
(3)在△ABC中,若sin
2A=sin
2B,则△ABC为等腰三角形.
( )
提示:(1)×.正弦定理对任意三角形都成立.
(2)×.A=
时sin
A=
也成立.
(3)×.由sin
2A=sin
2B,可得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=
,即△ABC为
等腰三角形或直角三角形.
2.在△ABC中,a=
,b=1,∠A=
,则∠B=
( )
【解析】选D.由正弦定理
可得sin
B=
由b3.(教材二次开发:例题改编)探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离,在帐篷旁边选定100米长的基线AC,并测得∠C=105°,∠B=15°,则A,B两点间的距离为________.?
【解析】由正弦定理得
所以AB=
即A,B两点间的距离为100(2+
)米.
答案:100(2+
)米
关键能力·合作学习
类型一 利用正弦定理求解三角形的边与角(逻辑推理)
【题组训练】
1.在△ABC中,A=60°,a=
,b=
,则B=
( )
A.45°或135°
B.45°
C.135°
D.以上答案都不对
2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c.若
则cos
B=
( )
3.在△ABC中,已知c=
,A=45°,a=2,求边b.
【解析】1.选B.根据正弦定理
即
故sin
B=
,由题知b2.选B.由
可得
所以tan
B=
,
又0B=
.
3.因为
所以sin
C=
因为0°当C=60°时,B=75°,
当C=120°时,B=15°,
所以b=
+1或
-1.
【解题策略】
1.正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角.
2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值;
(2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角;
(3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦定理可求得两个角,要分类讨论.
【补偿训练】
设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin
A=5sin
B,则角C=
( )
【解析】选B.因为3sin
A=5sin
B,
由正弦定理可得3a=5b即a=
b;
因为b+c=2a,所以c=
b,
所以cos
C=
而C∈(0,π),所以C=
.
类型二 三角形形状的判断(数学运算)
【典例】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
试判断△ABC的形状.
【思路导引】根据正弦定理的变形,先将已知式中的边转化为角,再化简,进行判断.
【解析】由正弦定理
=2R(R为△ABC外接圆的半径),
得a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C,
代入
可得
所以tan
A=tan
B=1.
又因为角A,B,C是△ABC的内角,所以A=B=45°,从而C=90°,
故△ABC是等腰直角三角形.
【解题策略】
三角形形状的判断
1.判断三角形的形状,是指根据已知条件,确定三角形中是否有两边(两角)相等、三边(三角)相等或是否有直角等,从而判断三角形是不是等腰三角形、等边三角形或直角三角形等.
2.利用正弦定理判断三角形形状的基本思路是:从已知条件出发,利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算,找出边与边的关系,角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确判断.
【跟踪训练】
在△ABC中,若
则△ABC是( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.由正弦定理
可得
即tan
A=tan
B=tan
C,
因为0所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形.
类型三 三角形的面积与外接圆问题(逻辑推理)
角度1 三角形面积?
【典例】已知在△ABC中边a,b,c的对角分别为A,B,C,且
则△ABC的面积S=________.?
【思路导引】可依据题设条件求出B的值,再利用面积公式求解.
【解析】由正弦定理知sin
A=
由a所以A=
,所以B=π-A-C=
,
所以S=
acsin
B=
答案:
角度2 三角形外接圆?
【典例】在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且a=1,4S=b2+c2-1,则△ABC外接圆的面积为
( )
【思路导引】由余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan
A,结合范围可求出A的值,由正弦定理可求出外接圆半径,进而求出圆的面积.
【解析】选A.由余弦定理可得:2bccos
A=b2+c2-a2=b2+c2-1,
又因为S=
bcsin
A,可得4S=2bcsin
A,
因为4S=b2+c2-1,
可得:2bccos
A=2bcsin
A,即tan
A=1,
因为A∈(0，π),所以A=
,
设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理可得:
=2R,
即
=2R,得R=
,
所以△ABC外接圆的面积S=πR2=
.
【变式探究】
在△ABC中,c=
,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆面积为
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选B.在△ABC中,A=75°,B=45°,
所以C=180°-A-B=60°.
设△ABC外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=
,解得R=1,故△ABC的外接
圆面积S=πR2=π.
【解题策略】
1.利用正弦定理求三角形面积的步骤
(1)依据已知条件,先确定应该求出哪个量;
(2)选择相应的边及相应的角,利用正弦定理求出所需要的量;
(3)利用面积公式求解.
2.三角形外接圆的求解
三角形外接圆的求解关键是正确求出其半径,常常要借助公式
=2R(其中R为三角形外接圆的半径),即可快速求出.
【题组训练】
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC
的外接圆的直径为
( )
【解析】选C.根据三角形面积公式得
×1×csin
45°=2,得c=4
,
则b2=a2+c2-2accos
B=25,
即b=5,所以△ABC外接圆的直径为2R=
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=
,C=
,则△ABC的面积
为
( )
【解析】选B.根据正弦定理
解得c=2
,由题知A=
,且
所以S△ABC=
bcsin
A=
+1.
【补偿训练】
在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=
,则△ABC的外接圆半径为( )
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.S=
=
×2csin
120°,解得c=2,
所以a2=22+22-2×2×2cos
120°=12,
解得a=2
,
所以2R=
=4,解得R=2.
1.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,则△ABC外接圆半径为
( )
A.30
B.20
C.15
D.15
【解析】选D.因为在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,
由正弦定理得
=2R,
即
=2R,解得R=15.
课堂检测·素养达标
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos
A=
,a=
,
则
=( )
【解析】选D.由cos
A=
,得sin
A=
,故
3.(教材二次开发:习题改编)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2,
B=45°,若三角形有两解,则a的取值范围是
( )
A.a>2
B.0C.2D.2【解析】选C.根据正弦定理
故sin
A=
,因为三角
形有两解,故
A=
<1,解得2.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=2
,b=4,A=120°,则
△ABC的面积为________.?
【解析】因为a=2
,b=4,A=120°,c>0,
又cos
A=
所以cos
120°=
解得c=2,
所以S△ABC=
bcsin
A=
×4×2sin120°=2
.
答案:2
5.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a=2bsin
A.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=13,△ABC的面积为10
,求b.
【解析】(1)由题设及正弦定理得
sin
A=2sin
Bsin
A,
因为sin
A>0,所以sin
B=
,
又0,所以B=
.
(2)因为△ABC的面积为10
,
所以
acsin
B=10
.
又因为B=
,所以ac=40,
由余弦定理得b=
所以b=
二十三 正
弦
定
理
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,已知a=8,∠B=30°,b=4,则c=( )
课时素养评价
【解析】选D.由正弦定理,可得
即sin
A=
因为0°由勾股定理可得c=
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=6,c=2
,A=120°,
则角C=
( )
A.30°或150° B.30° C.45° D.60°
【解析】选B.由正弦定理
得sin
C=
又因为a>c,所以A>C,
即0°2.在△ABC中,若2a=b+c,sin2A=sin
B·sin
C,则△ABC一定是
( )
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.非等腰三角形
【解析】选B.由正弦定理得,a2=bc,
由a=
,得
=bc,
整理得(b-c)2=0,所以b=c,
因为a=
,所以a=b=c,
所以△ABC为等边三角形.
3.在△ABC中,若a=2
,A=30°,则
的值为( )
A.4
B.2
C.4
D.2
【解析】选A.由题可知,a=2
,A=30°,
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=12,A=60°,B=45°,则a= .?
【解析】在△ABC中,因为A=60°,B=45°,
由正弦定理
可得
解得b=
a,又因为a+b=12,
即a+
a=12,解得a=36-12
.
答案:36-12
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(a+b,sin
C),
n=(
a+c,sin
B-sin
A),若m∥n,则角B的大小为 .?
【解析】因为m∥n,
所以(a+b)(sin
B-sin
A)-sin
C(
a+c)=0,
由正弦定理化简得(a+b)(b-a)-c(
a+c)=0,
整理得a2+c2-b2=-
ac,
所以cos
B=-
,
因为0.
答案:
6.已知在△ABC中,A=
,a=13,c=15.
(1)求sin
C;
(2)若△ABC是钝角三角形,求△ABC的面积.
【解析】(1)在△ABC中,根据正弦定理得
所以sin
C=
(2)因为a2=b2+c2-2bccos
A,所以132=b2+152-2×b×15×
.
解得b=8或b=7.
当b=7时,cos
C=
<0,所以C为钝角,
所以△ABC的面积S=
bcsin
A=
,
当b=8时,cos
C=
>0.
此时C为锐角,不满足题意,
所以△ABC的面积为
.
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知△ABC中,A=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈( )
【解析】选C.由题中已知△ABC中A=45°,a=1,则c边上的高线长可表示为
bsin
45°=
b,因为三角形形状唯一,所以△ABC为直角三角形或钝角三角形,
则a=
b或a≥b>0,所以b=
a=
或02.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin
B=
b,则角A等于
( )
【解析】选A.因为2asin
B=
b,
由正弦定理可得:2sin
Asin
B=
sin
B,
又sin
B≠0,所以sin
A=
.
因为△ABC为锐角三角形,所以A=
.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=
bc,sin
C=2
sin
B,
则角A为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选A.因为sin
C=2
sin
B,
所以c=2
b,
结合a2-b2=
bc,可得a2=7b2,
所以cos
A=
因为0°4.在△ABC中,lg(sin
A+sin
C)=2lg
sin
B-lg(sin
C-sin
A),则△ABC的形状
为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选B.因为lg(sin
A+sin
C)=
,所以sin2C-sin2A=sin2B,
结合正弦定理得c2=a2+b2,所以△ABC为直角三角形.
【误区警示】本题容易因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60°,b=2,c=
+1,则下
列说法正确的是
( )
A.C=75°或C=105°
B.B=45°
C.a=
D.该三角形面积为
【解析】选BC.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=4+4+2
-2×2×(
+1)
×
=6,所以a=
.
由正弦定理
所以sin
B=
由于0°△ABC的面积S=
bcsin
A=
×2×(
+1)×
=
.
6.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,∠C=45°,c=
,a=x,
若满足条件的三角形有两个,则x的值可能为
( )
A.1 B.1.5 C.1.8 D.2
【解析】选BC.在△ABC中,由∠C=45°,c=
,a=x,
则asin
C=xsin
45°=
x,
要使得三角形有两个,则满足
x即
x<
即x的取值范围是(
，2),结合选项BC正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=
,
=-2,且满足sin
A
+sin
C=2sin
B,则该三角形的外接圆的半径R为 .?
【解题指南】根据向量的数量积的运算,求得ac=4,由正弦定理和余弦定理,
列出方程求得a+c=4,进而得到b=2,再利用正弦定理,即可求解球的半径.
【解析】由题意,因为
=accos(π-B)=-
ac=-2,所以ac=4.
由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos
B,
又因为sin
A+sin
C=2sin
B,
所以a+c=2b,所以
=(a+c)2-3ac,
所以
=12,所以(a+c)2=16,
所以a+c=4,所以b=2,
所以2R=
所以R=
.
答案:
8.已知点O是△ABC的外接圆的圆心,AB=3,AC=2
,∠BAC=
,则外接圆O的面
积为 .?
【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos
=32+
-2×3×2
×
=5,所以BC=
.
设外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=
所以外接圆的面积为S=πr2=
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+c)(sin
A-
sin
C)=(
a-b)sin
B.
(1)求角C;
(2)若a=4,△ABC的面积为
,求c.
【解析】(1)因为(a+c)(sin
A-sin
C)=(
a-b)sin
B,
由正弦定理得a2-c2=(
a-b)b,
即a2+b2-c2=
ab,
由余弦定理得cos
C=
因为0.
(2)因为a=4,△ABC的面积为
,
所以
absin
C=
,
即
×4b×
=
,
解得b=
.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=
所以c=
.
10.平面四边形ABCD中,边BC上有一点E,∠ADC=120°,AD=3,sin∠ECD=
,
DE=
,CE=
.
(1)求AE的长;
(2)已知∠ABC=60°,求△ABE面积的最大值.
【解析】(1)在△CED中,由正弦定理可得
即
所以sin∠CDE=
,
因为CE故∠CDE=30°,又∠ADC=120°,
所以∠ADE=90°,
在直角△ADE中,AE2=AD2+DE2=32+3=12,所以AE=2
.
(2)在△ABE中,AE=2
,∠ABC=60°,
由余弦定理可得AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos
60°,
即12=AB2+BE2-AB·BE,
因为AB2+BE2≥2AB·BE,
所以AB·BE+12≥2AB·BE,
即AB·BE≤12,
当且仅当AB=BE=2
时等号成立,
所以S△ABE=
AB·BEsin
60°=
AB·BE≤3
.
所以△ABE面积的最大值为3
.
【创新迁移】
1.在△ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边,若满足条件c=4,∠B=60°的三
角形的解有两个,则b的长度范围是
( )
A.(0,2)
B.(2,4)
C.(2
,4)
D.(4,+∞)
【解析】选C.因为满足条件c=4,∠B=60°的三角形的解有两个,
所以csin
B所以b的取值范围为(2
,4).
2.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°;
(2)a=2
,b=6,A=30°.
【解析】(1)a=10,b=20,a因为bsin
A=20sin
80°>20sin
60°=10
,
所以aA,所以本题无解.
(2)a=2
,b=6,a因为bsin
A=6sin
30°=3,a>bsin
A,
所以bsin
A由正弦定理得sin
B=
又因为0°当B=60°时,C=90°,
当B=120°时,C=30°,
所以当B=60°时,C=90°,c=4
;
当B=120°时,C=30°,c=2
.(共79张PPT)
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第1课时 三角形中的几何计算
必备知识·自主学习
1.内角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°.
2.面积公式:
S△ABC=
absin
C=
bcsin
A=
acsin
B.
导思
1.余弦定理、正弦定理的内容及变形是什么?
2.余弦定理、正弦定理可分别解决哪类三角形问题?
3.余弦定理的形式:
形式一:a2=b2+c2-2bccos
A,
b2=a2+c2-2accos
B,
c2=a2+b2-2abcos
C.
形式二:cos
A=___________,
cos
B=___________,cos
C=___________.
4.正弦定理的形式:
形式一:
=2R(R为外接圆半径).
形式二:a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
形式三:a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C.
形式四:
【思考】
在解三角形时,边角至少需要知道几个才能求出其他边角?
提示:由余弦定理、正弦定理的内容可以看出,至少需要知道三个(不能全为角)才能求出其他边角.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.
( )
(2)在△ABC中,等式bsin
A=asin
B总能成立.
( )
(3)在△ABC中,满足sin
B=
<1的三角形个数有且仅有一个.( )
提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cos
A=
<0,从而角A为钝
角,该三角形为钝角三角形.
(2)√.根据正弦定理
可得bsin
A=asin
B总成立.
(3)×.例如已知A=30°,a=1,b=
,则sin
B=
故B=60°或120°,
此时满足条件的三角形有两个.
2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于
( )
A.12
B.
C.28
D.6
【解析】选D.由余弦定理可得cos
A=
,所以A=60°,
所以sin
A=
,故S△ABC=
bcsin
A=6
.
3.(教材二次开发:例题改编)已知O是△ABC内部一点,
=0,
=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为
( )
【解析】选A.由
=0可知点O是△ABC的重心,S△OBC=
S△ABC,
=|
|·|
|cos
60°=2,所以|
|·|
|=4,S△OBC=
S△ABC=
关键能力·合作学习
类型一 三角形中的面积计算(逻辑推理)
【题组训练】
1.已知△ABC的面积为
且b=2,c=
,则
( )
A.A=30°
B.A=60°
C.A=30°或150°
D.A=60°或120°
2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB=
,则△ABC的面积为________.?
3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=
,cos
A=
,求△ABC的面积.
【解析】1.选D.由S△ABC=
bcsin
A,
得
=
×2×
sin
A,解得sin
A=
,
又因为0°2.由正弦定理
所以sin
C=
,
则C=60°或120°,从而A=90°或30°,
所以S△ABC=
AB·AC·sin
A=
sin
A,
所以S△ABC=
或
.
答案:
或
3.因为b2-bc-2c2=0,所以b=2c或b=-c(舍去).
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A得,
6=(2c)2+c2-2×(2c)×c×
,解得c=2,b=4.
由cos
A=
得sin
A=
所以S△ABC=
bcsin
A=
.
【解题策略】
三角形面积的计算
对于此类问题,一般用公式S=
absin
C=
bcsin
A=
acsin
B求解,可分为
以下两种情况:
(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化
为求三角形的面积;
(2)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理、正弦定理求出某两边及夹
角,再利用三角形的面积公式进行求解.
【补偿训练】
在△ABC中A=60°,b=1,其面积为
,则
等于( )
【解析】选B.因为S△ABC=
bcsin
A,
故
=
×1×c×sin
60°,解得c=4,
又由余弦定理得a=
类型二 三角形中的长度计算(数学运算、逻辑推理)
【典例】在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线①AD长为
,求边长a.
四步
内容
理解
题意
①中线,即连接顶点与对边中点的线段.
思路
探求
由题目可获取以下主要信息:①c=4,b=7;
②AD为BC边上的中线且AD=
.
解答本题可先令CD=DB=x,在△ACD和△ACB中,
∠ACB是公共角,两次使用余弦定理,便可求出x.
书写
表达
如图所示,因为AD是BC边上的中线,
所以可设CD=DB=x,则CB=a=2x.因为c=4,b=7,AD=
,
在△ACD中,有cos
C=
在△ABC中,有cos
C=
所以
解得x=
,所以a=2x=9.
题后
反思
本题求解的关键是利用AD是BC边上的中线可得CD=BD,从而可以在△ACD和△ABC中同时利用余弦定理求cos
C,从而建立方程求解.
【解题策略】
三角形中长度的计算
三角形中的长度计算往往利用余弦定理或正弦定理求解,这就需要寻求包含所求线段的三角形,并探求其他边角,但有时需要放在两个三角形中(比如例题,也可利用cos∠ADC=-cos∠ADB)求解.
【跟踪训练】
如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长.
【解析】在△ACD中,由余弦定理
得cos
C=
因为C为三角形内角,所以C∈(0,π),
所以sin
C=
在△ABC中,由正弦定理得
所以AB=
类型三 三角形中的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=
,②csin
A=3,③c=
b这三个条
件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中
的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin
A=
sin
B,
C=
,________??
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】方案一:选条件①.
由C=
和余弦定理得
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
由此可得b=c.
由①ac=
,解得a=
,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=
和余弦定理得
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
由此可得b=c,B=C=
,A=
.
由②csin
A=3,所以c=b=2
,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2
.
方案三:选条件③.
由C=
和余弦定理得
由sin
A=
sin
B及正弦定理得a=
b.
于是
由此可得b=c.
由③c=
b与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
【变式探究】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos
C=
,若
且a+b=9,则c=________.?
【解析】因为
所以abcos
C=
,
所以ab=20.又因为a+b=9,
所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,
所以c2=a2+b2-2abcos
C=36,解得c=6.
答案:6
【解题策略】
1.利用余弦定理、正弦定理可以实现三角形中的边、角关系的转化;
2.熟记三角形的面积公式:S=
absin
C=
bcsin
A=
acsin
B;
3.熟练掌握三角函数及向量的相关知识.
【题组训练】
1.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶5∶7,且周长为30,则S△ABC=( )
【解析】选D.由正弦定理知,sin
A∶sin
B∶sin
C=a∶b∶c=3∶5∶7,
设a=3k,则b=5k,c=7k(k>0),
又a+b+c=30,所以k=2,
即三边长为a=6,b=10,c=14,
所以cos
A=
sin
A=
所以S△ABC=
bcsin
A=
×10×14×
=15
.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC
于点D,且BD=1,则3a+c的最小值为
( )
A.6
B.4+2
C.9
D.6+4
【解析】选B.由题意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分线性质和三角形面积公式
得
acsin
120°=
csin
60°+
asin
60°,化简得ac=c+a,即
所以3a+c=(3a+c)(
)=4+
≥4+2
,当且仅当
即c=
a
=
+1时取等号.
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的
外接圆直径为
( )
【解析】选C.因为S△ABC=
acsin
B=
c·sin
45°=
c=2,所以c=4
,所以
b2=a2+c2-2accos
45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圆直径为
=5
.
课堂检测·素养达标
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=
,cos
C=-
,sin
A=
2sin
B,则b=________.?
【解析】因为sin
A=2sin
B,所以a=2b,
又因为c=
,cos
C=-
,
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,
可得6=a2+b2-2ab·(-
)=4b2+b2+
×2b2,
解得b=-1(舍去)或b=1.
答案:1
3.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于________.?
【解析】连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定
理得BD=2
,S△BCD=
BC·CDsin
120°=
,∠ABD=120°-30°=90°,
所以S△ABD=
AB·BD=4
,所以S四边形ABCD=
+4
=5
.
答案:5
4.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
【解析】如图,连接BD,则四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CDB=
AB·ADsin
A+
BC·CDsin
C.
因为A+C=180°,所以sin
A=sin
C,
所以S=
(AB·AD+BC·CD)sin
A=
(2×4+6×4)sin
A=16sin
A.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos
A=22+42-2×2×4cos
A=20-16cos
A.
在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos
C=52-48cos
C.
所以20-16cos
A=52-48cos
C.
因为cos
C=-cos
A,所以64cos
A=-32,
所以cos
A=-
,又0°所以S=16sin
120°=8
.
二十四 三角形中的几何计算
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆半径为3,a=3,则角A等于
( )
A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.30°或150°
课时素养评价
【解析】选D.根据正弦定理
=2R,
所以sin
A=
因为0°2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5
,则c等于
( )
A.4
B.16
C.21
D.
【解析】选A.因为b=5,A=60°,S△ABC=5
,
所以S△ABC=
bcsin
A,
所以
×5×csin
60°=5
,解得c=4.
3.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,
=1,则|
|=
( )
【解析】选B.由
=|
|·|
|cos
A=1,
得cos
A=
,所以A=60°,故B=120°.
由余弦定理知AC2=12+22-4cos
120°=7,
故|
|=
.
4.已知△ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2
,
则CD=
( )
【解析】选D.由图可得∠ACD=135°,AC=2,
所以cos
135°=
CD2+2
CD-4=0,
解得CD=
-
或CD=-
-
(舍去).
5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边长之比为3∶2,则这个三角形的面积是 .?
【解析】设另两边长分别为3x,2x,
则cos
60°=
解得x=
,故两边长分别为3
和2
,
所以S=
×3
×2
×sin
60°=
.
答案:
6.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°.
(1)求BD的长;
(2)求BC的长.
【解析】(1)设BD=x,在△ABD中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,整理得x2-10x-96=0,
因为x>0,解得x=16,即BD=16.
(2)因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,
故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,
在△BCD中,由正弦定理
得BC=
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设△ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S=
,则C为( )
【解析】选C.根据面积公式得S=
absin
C,故
absin
C=
,
解得tan
C=1,由于0.
2.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=
,则
的值等于( )
【解析】选A.由题意,在△ABC中,利用三角形的面积公式可得S△ABC=
bcsin
A=
×1×c×sin
60°=
,
解得c=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=1+16-2×1×4×
=13,
解得a=
,
由正弦定理得
3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC=
( )
【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=
.
在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,
即72=
+42-2×
×4·cos∠AMB.①
在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,
即62=42+
+2×4×
·cos∠AMB.②
①+②得72+62=42+42+
,所以a=
.
4.在△ABC中,内角B=60°,边长a=8,b=7,则此三角形的面积为
( )
【解析】选C.由正弦定理得:
所以sin
A=
.
由于B=60°,边长a=8,b=7,则a>b,
即A为钝角或锐角,所以cos
A=
当A为锐角时,sin
C=sin(A+B)=
所以S△ABC=
当A为钝角时,sin
C=sin(A+B)=
所以S△ABC=
则此三角形的面积为6
或10
.
【误区警示】本题在求解过程中,由sin
A=
确定角A大小时,易漏掉A为钝角的情况.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.三角形有一个角是60°,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是( )
A.三角形另一边长为7
B.三角形周长为20
C.三角形内切圆周长为3π
D.三角形外接圆面积为
【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-2×8×5×cos
60°=49,
即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确;
设内切圆半径为r,
则
(8+7+5)r=
×8×5×sin
60°,解得r=
,
故内切圆周长为2πr=2
π,C不正确;
设外接圆半径为R,则2R=
,
解得R=
,其面积为πR2=
.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,则下列结论正确的是
( )
A.sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC为直角三角形
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
【解析】选AD.由a∶b∶c=4∶5∶6,
可设a=4m,b=5m,c=6m(m>0),
根据正弦定理可知sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6,故A正确;
因为cos
C=
故最大角C为锐角,故BC错误;
若c=6,可得2R=
所以△ABC外接圆半径为
,故D正确.
【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为 .?
【解题指南】利用等面积转化,即S=
(a+b+c)·r=
bcsin
A,即可求出内切
圆半径r,进而求出内切圆面积.
【解析】不妨设三边长为a,b,c,且a=6,b=c=12,
由余弦定理cos
A=
所以sin
A=
由
(a+b+c)·r=
bcsin
A,得r=
,
所以S内切圆=πr2=
.
答案:
【补偿训练】
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知A=60°,b=4,△ABC的面积为3
,
则a= .?
【解析】因为S=
bcsin
A=3
,
所以
×4c×
=3
,
解得c=3,故a2=b2+c2-2bccos
A=16+9-2×4×3×
=25-12=13,所以a=
.
答案:
8.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则?ABCD的对角线AC长为 ,其面
积为 .?
【解析】在?ABCD中,连接AC,
则CD=AB=6,∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
根据余弦定理AC=
S?ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin
60°=9
.
答案:3
9
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知AB⊥BD,AC⊥CD,AC=1,AB=2,∠BAC=120°,求BD的长.
【解析】如图,连接BC.
BC=
在△ABC中,由正弦定理知:
所以sin∠ACB=
.
又因为∠ACD=90°,
所以cos∠BCD=
,sin∠BCD=
,
由AB⊥BD,AC⊥CD,∠BAC=120°得∠BDC=60°.
由正弦定理得BD=
10.已知四边形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60°,试求四边形ABCD的面积.
【解析】连接AC,在△ACD中,
由AD=6,CD=4,D=60°,
可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos
D=62+42-2×6×4×cos
60°=28.
在△ABC中,由AB=2,BC=4,AC2=28,
可得cos
B=
又0°所以四边形ABCD的面积为S=S△ACD+S△ABC=
AD·CDsin
D+
AB·BCsin
B=
×4×6sin
60°+
×2×4sin
120°=8
.
【创新迁移】
1.在△ABC中,若lg
sin
A-lg
cos
B-lg
sin
C=lg
2,则该三角形的形状
是
( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为lg
sin
A-lg
cos
B-lg
sin
C=lg
2,所以
由正弦定理可得
所以
所以cos
B=
所以cos
B=
整理得c2=b2,即c=b,故△ABC为等腰三角形.
2.如图所示,在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠BAD=45°,AB=2,BD=2
.
(1)求∠ADB的大小;
(2)若DC=2
,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得:
所以sin∠ADB=
因为A=45°,所以0°<∠ADB<135°,
所以∠ADB=30°.
(2)在△ABD中,∠ABD=180°-30°-45°=105°,sin
105°=
,
所以S△ABD=
BA·BD·sin∠ABD=
×2×2
×
=
+1;
在△BCD中,S△BCD=
DC·BD·sin∠BDC=
×2
×2
×
=2
.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3
+1.(共99张PPT)
第2课时 解三角形的实际应用举例
必备知识·自主学习
1.测量中的有关术语
导思
1.实际测量中的术语主要有哪些?
2.解三角形应用题主要有哪几个步骤?
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与
俯角
在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.
术语名称
术语意义
图形表示
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角,方位角θ的范围是0°≤θ<360°.
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与
坡度
坡面与水平面的夹角叫做坡角(α);坡面的垂直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度
【思考】
仰角、俯角、方位角有什么区别?
提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.
2.利用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题时,应具备的测量数据
求距离
两点不可直达也不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达
求高度
底部可达
底部不可达
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α=β.
( )
(2)若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的东偏北46°.
( )
(3)方位角大小范围是[0,π).
( )
提示:(1)√.仰角与俯角是相对的,它们是平行线内错角.
(2)×.若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的南偏西44°.
(3)×.方位角范围为[0,2π).
2.海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距100
海里,渔船B被困海面,
已知B距离基地50
海里,而且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是
( )
A.100海里
B.200海里
C.100海里或200海里
D.150海里
【解析】选D.如图所示,在直角三角形ABC中,AC=100
,BC=50
,
所以AB=
=150,
所以渔船B与救护船A的距离是150海里.
3.(教材二次开发:例题改编)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南
偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察
灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点
间的距离是
( )
A.6
海里
B.6
海里
C.8
海里
D.8
海里
【解析】选A.由题意可知:∠BAC=70°-40°=30°.∠ACD=110°,
所以∠ACB=110°-65°=45°,
所以∠ABC=180°-30°-45°=105°.
又AB=24×0.5=12.
在△ABC中,由正弦定理得
即
所以BC=6
.
关键能力·合作学习
类型一 测量距离问题(数学建模、数据分析)
【题组训练】
1.如图,设点A,B在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C.测
出A,C两点间的距离为50
m.∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为
( )
2.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行,在行驶到某处时,该轮船南偏东20°方向10海里处有一灯塔,继续行驶20分钟后,轮船与灯塔的距离为( )
A.17海里
B.16海里
C.15海里
D.14海里
【解析】1.选C.在△ABC中,AC=50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,
则∠ABC=30°,
由正弦定理得
所以AB=
2.选D.记轮船行驶到某处的位置为A,灯塔的位置为B,20分钟后轮船的位置为C,
如图所示.则AB=10,AC=6,∠CAB=120°,
所以BC2=102+62-2×10×6×(-
)=196,
所以BC=14,即20分钟后,轮船与灯塔的距离为14海里.
【解题策略】
(1)将追及问题转化为三角形问题,即可把实际问题转化为数学问题,这样借助余弦定理或正弦定理,就容易解决问题了,最后要把数学问题还原到实际问题中去.
(2)测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决.
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决.
【补偿训练】
在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为
a的军事
基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,
∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
【解析】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠DCA=60°,所以∠DAC=60°.
所以AD=CD=AC=
a.
在△BCD中,∠DBC=45°,因为
所以BC=
a.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
45°=
a2+
a2-2×
=
a2,所以AB=
a.
所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为
a.
类型二 测量高度问题(数学建模)
【典例】某兴趣小组为了测量塔的高度,如图所示,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°,在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为36米,则塔高BC为
( )
A.(36
-36)米
B.(36
-36)米
C.(36
-36)米
D.(72
-36)米
四步
内容
理解
题意
塔高指的是塔本身的高度,不是塔的最高点相对地面的高度.
思路
探求
△ACD是等腰直角三角形,CD=AD;
在Rt△ABD中选择三角函数表示BD,根据CD=BD-BC得方程求解.
四步
内容
书写
表达
选B.由题意可知:∠DAB=60°,因为在塔底C处测得
A处的俯角为45°,则∠CAD=45°,在Rt△ABD中有BD=AD×tan
60°=
AD;
同理可得:DC=AD×tan
45°=AD,
所以
,因为CD=BD-BC=36米,
所以
,所以BC=36(
-1)米.
题后
反思
正确理解题意及图形是求解的关键.
【解题策略】
解决测量高度问题的一般步骤
在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
【跟踪训练】
在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为
2θ,继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度
为
( )
A.200
m
B.300
m
C.400
m
D.100
m
【解析】选B.如图,△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600
m,BC=DC=200
m.
在△BCD中,由余弦定理可得cos
2θ=
因为0°<2θ<90°,所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BCsin
4θ=200
×
=300(m).
类型三 测量角度问题(数学建模)
【典例】如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(
-1)海里的B处有一艘
走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10
海
里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东
30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时
间.
【思路导引】缉私船要最快截获走私船,缉私船应该走直线,可借助正余弦定理
求解.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,
则CD=10
t,BD=10t,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=
所以BC=
,又因为
所以sin∠ABC=
又0°<∠ABC<60°,所以∠ABC=45°,
所以B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理得
所以sin∠BCD=
又因为0°<∠BCD<60°,所以∠BCD=30°,
所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,BD=BC,即10t=
,
所以t=
小时≈15分钟.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
【变式探究】
如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin
α的值.
【解析】(1)AB=12,AC=20,∠BAC=120°,
所以BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×(-
)=784,
所以BC=28,所以v甲=
=14(海里/小时).
(2)在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得
所以
即sin
α=
.
【解题策略】
1.测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标注有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.解决航海问题的三点注意
(1)要搞清方位角(方向角);
(2)要弄清不动点(三角形顶点);
(3)要根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.
【题组训练】
1.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3
mm,BC=2
mm,
AB=
mm,则∠ACB=________.?
【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB=
因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=
.
答案:
2.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2
m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角为
( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
【解析】选A.设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x
m.
由正弦定理,得
所以x=
sin(120°-α),
因为30°<120°-α<120°,
所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值.
故竹竿与地面所成的角为30°时,影子最长.
3.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再航行40分钟到达C点.
(1)求P,C间的距离;
(2)求在点C测得油井P的位置?
【解析】(1)如题图,在△ABP中,AB=30×
=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,
根据正弦定理得:
解得BP=20
,
在△PBC中,BC=30×
=20,
由已知∠PBC=90°,故PC=40.
答:P,C间的距离为40海里.
(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,
所以sin∠BPC=
,所以∠BPC=30°,
因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB,
所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.
1.已知A,B两地的距离为10
km,B,C两地的距离为20
km,观测得∠ABC=120°,则
A,C两地的距离为( )
A.10
km
B.10
km
C.10
km
D.10
km
【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos
120°=700,所以AC=10
.
课堂检测·素养达标
2.如图,两座灯塔A和B与河岸观测站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,
因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60
m,则树的高度为
( )
【解析】选C.设树高为h,则AB=
h-h=60,所以h=
=30+30
(m).
4.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方
向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且此
时它们相距8
海里,此时的航速是________海里/小时.?
【解析】在△ABS中,易知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边BS=8
,
利用正弦定理可得
即
得AB=16,
又因为从A到B匀速航行时间为半小时,
所以速度应为
=32(海里/小时).
答案:32
5.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行
驶,已知甲船的速度是每小时
a海里,问:甲船应沿什么方向前进才能最快与
乙船相遇?
【解析】如图,设经过t小时两船在C点相遇,
则在△ABC中,BC=at,AC=
at,∠B=180°-60°=120°.
由正弦定理得
则sin∠CAB=
因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,
所以∠DAC=60°-30°=30°,
即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇.
二十五 解三角形的实际应用举例
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.某船从A处向北偏东60°方向航行2
千米后到达B处,然后朝南偏西30°的
方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为
( )
A.
千米
B.2
千米
C.3千米
D.6千米
课时素养评价
【解析】选B.设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=(2
)2+62-
2×2
×6cos(60°-30°)=12,则x=2
.
【补偿训练】
在相距4千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两
点之间的距离是
( )
A.4千米
B.2
千米
C.2
千米
D.2千米
【解析】选B.由于∠CAB=75°,∠CBA=60°,
所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得
即
解得AC=2
.
2.某建筑物上有一根长为20
m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45°,旗杆顶端的仰角为60°,则此建筑物的高度最接近于( )
A.25
m B.27
m C.29
m D.31
m
【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形:
由图可得AB=h,则tan
60°=
,
解得h=
=10(
+1)≈27.
3.如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1
km,从三点分别望塔M,在A处看见塔在北偏东30°方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60°方向,则塔到直路ABC的最短距离为
( )
【解析】选B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°,
所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A,
所以AM=1,CM=
,设AC边上的高为h,
则塔到直路ABC的最短距离为h,
所以
·AM·CM=
·AC·h,解得h=
.
4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别为 米、 米.?
【解析】如图,过点C作CM⊥AB,垂足为依题意有甲楼的高度为
AB=20·tan
60°=20
(米),
又CM=DB=20米,∠CAM=60°,
所以AM=CM·
=
米,
故乙楼的高度为CD=
(米).
答案:20
5.如图,要测出山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=60
m,井架顶B的仰角45°,井架底的仰角15°,则井架的高BC为 m.?
【解析】由题意得∠BAC=45°-15°=30°,∠ABC=45°,且AC=60
m.
在△ABC中,由正弦定理得
即
解得BC=30
.
答案:30
6.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上.求:
(1)船在B点时与灯塔P的距离;
(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东航行,有无触礁的危险?
【解析】(1)如图:
在△ABP中,∠PAB=30°,∠ABP=135°,
所以∠APB=15°.
由正弦定理得
所以BP=20(
+
).
(2)过P作PD⊥AB,D为垂足.
PD=BPsin
45°=20
+20<55,
故继续航行有触礁危险.
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知A,B两地距离为2,B,C两地距离为3,现测得∠ABC=
,则A,C两地的
距离为
( )
【解析】选D.因为AB=2,BC=3,∠ABC=
,
所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+9-2×2×3cos
=19,
即AC=
.
2.如图,在限速为90
km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0.08
km,距测速区终点B的距离为0.05
km,且∠APB=60°,现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3
s,则此车的速度介于( )
A.60～70
km/h
B.70～80
km/h
C.80～90
km/h
D.90～100
km/h
【解析】选C.由余弦定理得AB=
=0.07,
则此车的速度为
=7×12=84
km/h.
3.(2020·天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高度为
( )
(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin
70.5°≈0.943,
cos
70.5°≈0.334,tan
70.5°≈2.824)
A.4.0米
B.4.2米
C.4.3米
D.4.4米
【解析】选B.在Rt△BCD中,BC=CD=2.3(米),
在Rt△ABC中,AC=BCtan∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(米),
所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米).
4.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的《海岛算经》中有一问题:
“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1
000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为 (注:3丈=5步,1里=300步)
( )?
A.4里55步
B.3里125步
C.7里125步
D.6里55步
【解析】选A.如图.
由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123,DG=127,
HF=
,由题意,(HG-127)-(HF-123)=1
000,
即
-4=1
000,解得h=1
255步=4里55步.
【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走
3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的可取值为( )
【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°,
由余弦定理得cos
30°=
解得x=2
或x=
.
6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十
一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造
性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公
式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,
余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方
得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=
现有△ABC
满足sin
A∶sin
B∶sin
C=2∶3∶
,且△ABC的面积S△ABC=6
,则运用上述
公式判断下列命题正确的是
( )
A.△ABC周长为10+2
B.△ABC三个内角A,C,B满足A+B=2C
C.△ABC外接圆直径为
D.△ABC中线CD的长为3
【解析】选ABC.由正弦定理可得:a∶b∶c=2∶3∶
,
设a=2m,b=3m,c=
m(m>0),
所以S=
解得:m=2,
所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2
=10+2
,A正确;
由余弦定理得:cos
C=
所以C=
,因为A+B+C=π,
所以A+B=
,即A+B=2C,B正确;
由正弦定理知外接圆直径为2R=
C正确;
由中线定理得a2+b2=
c2+2CD2,
即CD2=
×
=19,
所以CD=
,D错误.
【光速解题】本题B中可以直接令a=2,b=3,c=
,从而可快速判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,一栋建筑物AB高(30-10
)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.
在它们之间的地面M点(B,M,D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°
和60°,在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为 m.?
【解析】由题意可知∠CAM=45°,∠AMC=105°,
由三角形内角和定理可知∠ACM=30°.
在Rt△ABM中,sin∠AMB=
?AM=
.
在△ACM中,由正弦定理可知:
所以CM=
在Rt△DCM中,sin∠CMD=
,所以CD=CM·sin
60°=
=60.
答案:60
【补偿训练】
如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处
和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=32,则灯塔高度
是 .?
【解析】如图,BN⊥DC于N,DC延长线交地面于M,
则DN=BNtan
α,DM=AMtan
β,而BN=AM,所以BNtan
β-BNtan
α=h,
即BN(tan
60°-tan
30°)=40,BN=
所以DC=AMtan
60°-CM=BNtan
60°-32
=20
×
-32=28.
答案:28
8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,
∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为 .?
【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,
所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC=
△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,由正弦定理,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1
600(8+4
)+
1
600(8-4
)+2×1600(
+
)(
-
)×
=1
600×16+1
600×4
=1600×20=32
000,故AB=80
,
即A,B间的距离为80
.
答案:80
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30°方向,与A相距10
海里,测得灯塔B
在北偏西75°方向,与A相距15
海里,船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔
B在南偏西60°方向,这时灯塔C与D相距多少海里?C在D的什么方向?
【解析】作AE⊥BD于E,CF⊥AD于F,
由题意得AB=15
海里,AC=10
海里,
∠BAD=75°,∠ADB=60°,则∠B=45°,
所以AE=
AB=15
海里,
因为∠ADB=60°,所以∠DAE=30°,所以AD=30海里.
因为∠DAC=30°,AC=10
海里,
所以CF=
AC=5
海里,AF=15海里,
所以DF=15海里,又FC=5
海里,
所以CD=
=10
海里,
则∠CDF=30°,所以灯塔C与D相距10
海里,C在D南偏东30°方向.
10.如图,甲船以每小时30
n
mile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀
速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时
两船相距20
n
mile,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西
120°方向的B2处,此时两船相距10
n
mile,问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图,连接A1B2,
由题意知,A2B2=10
n
mile,A1A2=30
×
=10
n
mile,
所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
所以△A1A2B2是等边三角形.
所以A1B2=A1A2=10
n
mile.
由题意知A1B1=20
n
mile,∠B1A1B2=105°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2·cos
45°
=202+(10
)2-2×20×10
×
=200,所以B1B2=10
n
mile.
因此,乙船速度的大小为
×60=30
(n
mile/h).
答:乙船每小时航行30
n
mile.
【创新迁移】
根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的安全距离为20
mile(即距离不得小于20
mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′,YY′,交点是O,现有两国的军舰甲,乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30
mile,OB=10
mile,后来军舰甲沿XX′的方向,乙军舰沿Y′Y的方向,同时以40
mile/h的速度航行.
(1)起初两军舰的距离为多少?
(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.
【解析】(1)连接AB,在△ABO中,
由余弦定理得
AB=
所以,起初两军舰的距离为10
mile.
(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D,
连接CD,当0时,
CD=
当t>
时,CD=
所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD=
.
因为CD=
又t>0,所以当t=
时,甲、乙两军舰距离最小为20
mile.
又20≥20,所以甲、乙这两艘军舰不会违反国际海洋安全规定.
【补偿训练】
为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点
周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西
千米
有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千
米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持
续多长时间该考点才算合格?
【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B.
设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,
即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米.
在△ABC中,AB=
千米,AC=1千米,∠ABC=30°,
由正弦定理得sin∠ACB=
所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),
所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1千米.
在△ACD中,AC=AD=1千米,∠ACD=60°,
所以△ACD为等边三角形,所以CD=1千米.
因为
×60=5,
所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.
所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.温馨提示：
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§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
一、余弦定理
新课程标准
学业水平要求
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索,借助向量的加、减及数量积运算掌握余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
★水平一1.了解余弦定理的推导过程(逻辑推理)2.掌握余弦定理的内容及余弦定理的公式变形(数学抽象)★水平二1.掌握余弦定理的简单应用(逻辑推理、数学运算)2.初步掌握余弦定理的简单实际应用(数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理可以解决哪些问题?
1.余弦定理
(1)文字叙述:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.
(2)符号表示:a2=b2+c2-2bccos
A,?b2=a2+c2-2accos
B,?
c2=a2+b2-2abcos
C.?
【说明】余弦定理的理解:
(1)适用范围:任意三角形.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)主要作用:余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化.
余弦定理与勾股定理之间有何联系?
提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的公式变形
cos
A=,cos
B=,cos
C=.
(1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形,你认为余弦定理可以用来求解哪类三角形?
提示:①已知两边及其夹角,解三角形;
②已知三边,解三角形.
(2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢?
提示:当条件中出现了余弦定理的局部或变形,如a2+b2,a+b,ab,cos
A等,可以考虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形.
3.三角形面积公式
△ABC的面积公式为S=ah=absin
C(其中a,b,c分别为A,B,C的对边,h为边BC上的高).
若已知三角形的两边及其夹角,如何选用面积公式?
提示:选用S=absin
C=acsin
B=bcsin
A更简便.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)余弦定理仅适用于非直角三角形.( )
(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形.( )
(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.( )
提示:(1)×.余弦定理适用于任意三角形.
(2)√.由c2>a2+b2,可得a2+b2-c2<0,所以cos
C=<0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形.
(3)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.
2.在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,∠C=120°,则c=
( )
A.37
B.13
C.
D.
【解析】选D.因为a=3,b=4,∠C=120°,
所以c2=a2+b2-2abcos
C=9+16+12=37,
所以c=.
3.(教材二次开发:例题改编)江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距( )
A.10米
B.100米
C.30米
D.20米
【解析】选C.由题意画出示意图,如图:
炮台高AB=30,不妨令由炮台顶部测得船C俯角为45°,船D的俯角为30°,
则∠CAB=45°,BC=AB=30,∠DAB=60°,BD=AB=30,又∠CBD=30°,
所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos
30°=900,
所以CD=30.
关键能力·合作学习
类型一 应用余弦定理解三角形(数学运算)
1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2,b=3,A=,则△ABC解的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
3.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cos
C=,AC=4,BC=3,则cos
B=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】1.选B.根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别为8与5,设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°-θ,
由余弦定理可得cos
θ==,所以θ=60°,故最大角与最小角的和为120°.
2.选C.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,所以4=9+c2-6c·,即c2-3c+5=0,
解得c=或c=,
所以△ABC解的个数是2.
3.选A.由余弦定理可知cos
C==
=,
可得=3,又由余弦定理可知:
cos
B===.
利用余弦定理解三角形的方法
(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:
①已知角是其中一边的对角,用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解;
②已知角是两边的夹角,直接运用余弦定理求出另外一边,然后直接利用余弦定理求解其他角.
(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:
①已知三边求角时直接利用余弦定理;
②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求角.
注意:在解与三角形、三角函数有关的问题时,要牢记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值.
【补偿训练】
有一个内角为120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的值为
( )
A.1 B. C.2 D.
【解析】选B.由题意可知120°角所对的边为最大边,故cos
120°=
,化简得2m2-m-3=0,解得m=或m=-1(舍).
类型二 应用余弦定理判断三角形形状(逻辑推理)
【典例】在△ABC中,若cos
A+cos
C=,则△ABC的形状是( )
A.C为直角的直角三角形
B.C为钝角的钝角三角形
C.B为直角的直角三角形
D.A为锐角的三角形
【思路导引】利用余弦定理角化边,根据立方和公式变形化简可得a2+c2=b2,由此可得答案.
【解析】选C.因为cos
A+cos
C=,
所以+=,
所以a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2ac(a+c),
所以b2(a+c)-(a3+c3)=ac(a+c),
所以b2(a+c)-(a+c)(a2-ac+c2)=ac(a+c),
因为a+c>0所以b2-(a2-ac+c2)=ac.
所以a2+c2=b2,
所以B为直角,故该三角形为以B为直角的直角三角形.
判断三角形形状的途径
(1)利用余弦定理,将已知条件转换为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;
(2)利用余弦定理将已知条件转化为角的三角函数间关系,利用公式得出内角关系.
注意:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不能直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
在△ABC中,已知cos
A=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由题意cos
A=及余弦定理cos
A=得=,整理得c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.cos∠BAC===-,所以∠BAC=.
2.已知△ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则△ABC的面积为( )
A.
B.2
C.
D.2
【解析】选B.由余弦定理可得cos
C===-,所以sin
C=
=,故△ABC的面积为S=absin
C=×3×5×=2.
3.(教材二次开发:练习改编)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
若a=2,A=,c=2,则b=________.?
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,即b2-6b+8=0,因为b>0,解得b=2或4.
答案:2或4
4.已知△ABC三条边上的高分别为3,4,6,则△ABC最小内角的余弦值为________.?
【解析】不妨设AB边上的高为3,AC边上的高为4,BC边上的高为6,则根据三角形面积相等可得3AB=4AC=6BC,故BC边最短,BC边对应的角A最小,
由余弦定理可得cos
A=
==.
答案:
5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,b+c=8,A=.求△ABC的面积.
【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc=,所以S△ABC=bcsin
A=××=.
课时素养评价
二十二 余
弦
定
理
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,A=60°,b=1,三角形的面积为,则a=( )
A.2
B.
C.2
D.
【解析】选D.依题意S=bcsin
A=·1·csin
60°=,解得c=4,由余弦定理得a==.
【补偿训练】
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积是,则b=( )
A.1+
B.
C.
D.2+
【解析】选A.由已知S=acsin
B=acsin
30°=ac=,得ac=6,所以b2=a2+c2-
2accos
30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-6(2+),解得b=+1.
2.满足A=60°,c=1,a=的△ABC的个数记为m,则am的值为( )
A.3
B.
C.1
D.不确定
【解析】选B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A,
即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),
所以满足条件的△ABC只有一个,即m=1,所以am=.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cos
A===,
因为0又因为bc=a2,所以b2+c2=2bc,
即(b-c)2=0,即b=c,所以△ABC为等边三角形.
4.已知△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,a=2,B=60°,则边c= .?
【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.
答案:4
5.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 .?
【解析】cos
B===+≥,因为0答案:
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=c2+3ab.
(1)求C的值;
(2)若△ABC的面积为,c=,求a,b的值.
【解析】(1)将等式(a+b)2=c2+3ab变形为a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cos
C===,
因为0(2)由题意有
整理得解得或
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.钝角△ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5
B.
C.2
D.1
【解析】选B.由面积公式得×sin
B=,解得sin
B=,所以B=45°或B=
135°,当B=45°时,由余弦定理得AC2=1+2-2cos
45°=1,所以AC=1,又因为AB=1,BC=,所以此时△ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以B=135°,由余弦定理得AC2=1+2-2cos
135°=5,所以AC=.
2.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.设向量p=,
q=.若p∥q,则C=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为向量p=,q=,p∥q,所以-b=0,
整理得b2+a2-c2=ab.
所以cos
C===,解得C=.
3.在△ABC中,a2+b2+c2=2bccos
A+2accos
B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】选C.因为a2+b2+c2=2bccos
A+2accos
B,
所以a2+b2+c2=2bc·+2ac·
所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,
即a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形.
4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是( )
A.(2,4)
B.(2.5,3.5)
C.(2,)
D.(2,4)
【解析】选C.只需让3和a所对的角均为锐角即可,
故
解得2【误区警示】本题容易默认a为最大边,从而造成错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos
A=bcos
B,且c=2,sin
C=,下列可以是△ABC面积的为( )
A.3 B. C. D.6
【解析】选AC.因为在△ABC中,acos
A=bcos
B,
所以由余弦定理得a×=b×,
整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,
即a=b或C=(舍去).
因为c=2,sin
C=,a=b,
所以cos
C=±,
即±=,
解得a=b=或a=b=.
当a=b=时,S△ABC=absin
C=3;
当a=b=时,S△ABC=absin
C=.
6.若△ABC为钝角三角形,且a=2,b=3,则边c的长可能为( )
A.2
B.3
C.
D.4
【解析】选AD.由三角形的边长能构成三角形,有1所以在△ABC中钝角可能为角B或角C.
则cos
B=<0或cos
C=<0,
所以4+c2-9<0或4+9-c2<0,
解得1【光速解题】本题直接求解略显复杂,可以直接利用余弦定理验证即可.本题A选项较易验证cos
B==-<0,故B为钝角;B选项不需要验证;C选项
cos
C==>0,故最大角C为锐角,从而△ABC为锐角三角形,故此选项不符合题意;D选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足,则D项必定成立).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos
B=cos
C,a=,则S△ABC= .?
【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果.
【解析】因为cos
B=cos
C,
所以=,结合c=b,
化简得a=b,从而有b2+c2=a2,
即△ABC为直角三角形,将c=b,a=
代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,
所以S△ABC=bc=.
答案:
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c=2,则△ABC面积的最大值为 .
【解析】由C=及c=2
可得4=a2+b2-2abcos,
即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab
可得2ab-ab≤4,即ab≤4,
当且仅当a=b=2时取等号.
所以S=absin
C=ab≤×4=,
故△ABC面积的最大值为.
答案:
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos
A+
accos
B+bccos
C的值是 .?
【解析】因为cos
A=,
所以bccos
A=(b2+c2-a2),
同理accos
B=(a2+c2-b2),
abcos
C=(a2+b2-c2),
所以bccos
A+accos
B+abcos
C=(a2+b2+c2)=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设向量m=,n=(b-2,a-2),在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2c2=(2b-a)b+(2a-b)a.
(1)求角C;
(2)若m⊥n,边长c=2,求△ABC的周长l和面积S的值.
【解析】(1)由已知可得c2=b2+a2-ab,
所以cos
C==,所以C=.
(2)由题意可知m⊥n,
可得a+b=0,所以a+b=ab,
由余弦定理可知4=a2+b2-ab=-3ab,
则-3-4=0,即a+b=4,
故周长为4+2=6,面积S=absin
C=·4·sin=.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2acos
B.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若c=1,C=,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为c=2acos
B,所以c=2a·,
所以a2+c2-b2=c2,即a2=b2,
所以a=b,△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知a=b,
所以cos
C===,
解得a2=2+,
所以S△ABC=absin
C=a2sin
C=.
1.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则下列
说法错误的是( )
A.△ABC的面积为8
B.△ABC的周长为8+4
C.△ABC为钝角三角形
D.sin∠CDB=
【解析】选D.设CD=a,则BC=2a,
在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,
所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3××=3,
所以S△ABC=S△DBC=8,故A正确;
因为∠ADC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=,
在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=2,
所以C△ABC=AB+AC+BC=+2+2=8+4,故B正确;
因为AB=8为最大边,所以cos
C==-<0,即∠C为钝角,
所以△ABC为钝角三角形,故C正确.
因为cos∠CDB=-,
所以sin∠CDB==,故D错误.
2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求sin
A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),
所以AB=5,当c=5时BC=5,
所以AC==2.
由余弦定理知cos
A===.
因为0所以sin
A===.
(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),
所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2,
由余弦定理得cos
A=.
因为A为钝角,所以cos
A<0,
即AB2+AC2-BC2<0,
所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c<0,
所以c>,故c的取值范围为.
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§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理 一、余弦定理
必备知识·自主学习
1.余弦定理
(1)文字叙述:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们
夹角余弦的积的两倍.
(2)符号表示:a2=______________,?b2=
______________,?
c2=
______________.?
导思
1.余弦定理的内容是什么?
2.余弦定理可以解决哪些问题?
b2+c2-2bccos
A
a2+c2-2accos
B
a2+b2-2abcos
C
【说明】余弦定理的理解:
(1)适用范围:任意三角形.
(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.
(3)主要作用:余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化.
【思考】
余弦定理与勾股定理之间有何联系?
提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的公式变形
【思考】
(1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形,你认为余弦定理可以用来求解哪类三角形?
提示:①已知两边及其夹角,解三角形;
②已知三边,解三角形.
(2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢?
提示:当条件中出现了余弦定理的局部或变形,如a2+b2,a+b,ab,cos
A等,可以考虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形.
3.三角形面积公式
△ABC的面积公式为S=
ah=
absin
C(其中a,b,c分别为A,B,C的对边,h为边BC
上的高).
【思考】
若已知三角形的两边及其夹角,如何选用面积公式?
提示:选用S=
absin
C=
acsin
B=
bcsin
A更简便.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)余弦定理仅适用于非直角三角形.
( )
(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形.
( )
(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解.
( )
提示:(1)×.余弦定理适用于任意三角形.
(2)√.由c2>a2+b2,可得a2+b2-c2<0,所以cos
C=
<0,故C为钝角,
△ABC为钝角三角形.
(3)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该
三角形唯一.
2.在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,∠C=120°,则c=( )
A.37
B.13
C.
D.
【解析】选D.因为a=3,b=4,∠C=120°,
所以c2=a2+b2-2abcos
C=9+16+12=37,
所以c=
.
3.(教材二次开发:例题改编)江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距
( )
A.10米
B.100米
C.30米
D.20米
【解析】选C.由题意画出示意图,如图:
炮台高AB=30,不妨令由炮台顶部测得船C俯角为45°,
船D的俯角为30°,
则∠CAB=45°,BC=AB=30,∠DAB=60°,
BD=
AB=30
,又∠CBD=30°,
所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos
30°=900,
所以CD=30.
关键能力·合作学习
类型一 应用余弦定理解三角形(数学运算)
【题组训练】
1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2,b=3,A=
,则△ABC解的
个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
3.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cos
C=
,AC=4,BC=3,则cos
B=
( )
【解析】1.选B.根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别
为8与5,设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°-θ,
由余弦定理可得cos
θ=
,所以θ=60°,故最大角与最小角的
和为120°.
2.选C.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,所以4=9+c2-6c·
,
即c2-3
c+5=0,
解得c=
或c=
,
所以△ABC解的个数是2.
3.选A.由余弦定理可知cos
C=
可得|AB|=3,又由余弦定理可知:
cos
B=
【解题策略】利用余弦定理解三角形的方法
(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:
①已知角是其中一边的对角,用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解;
②已知角是两边的夹角,直接运用余弦定理求出另外一边,然后直接利用余弦定理求解其他角.
(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:
①已知三边求角时直接利用余弦定理;
②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求角.
注意:在解与三角形、三角函数有关的问题时,要牢记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值.
【补偿训练】
有一个内角为120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的值为( )
【解析】选B.由题意可知120°角所对的边为最大边,故cos
120°=
,化简得2m2-m-3=0,解得m=
或m=-1(舍).
类型二 应用余弦定理判断三角形形状(逻辑推理)
【典例】在△ABC中,若cos
A+cos
C=
,则△ABC的形状是
( )
A.C为直角的直角三角形
B.C为钝角的钝角三角形
C.B为直角的直角三角形
D.A为锐角的三角形
【思路导引】利用余弦定理角化边,根据立方和公式变形化简可得a2+c2=b2,
由此可得答案.
【解析】选C.因为cos
A+cos
C=
,
所以
所以a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2ac(a+c),
所以b2(a+c)-(a3+c3)=ac(a+c),
所以b2(a+c)-(a+c)(a2-ac+c2)=ac(a+c),
因为a+c>0所以b2-(a2-ac+c2)=ac.
所以a2+c2=b2,
所以B为直角,故该三角形为以B为直角的直角三角形.
【解题策略】判断三角形形状的途径
(1)利用余弦定理,将已知条件转换为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;
(2)利用余弦定理将已知条件转化为角的三角函数间关系,利用公式得出内角关系.
注意:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不能直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
【跟踪训练】
在△ABC中,已知cos
A=
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由题意cos
A=
及余弦定理cos
A=
得
整理得c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为
( )
【解析】选A.cos∠BAC=
所以∠BAC=
.
课堂检测·素养达标
2.已知△ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则△ABC的面积为
( )
【解析】选B.由余弦定理可得cos
C=
所以sin
C=
故△ABC的面积为S=
absin
C=
3.(教材二次开发:练习改编)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若
a=2,A=
,c=2
,则b=________.?
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A,即b2-6b+8=0,因为b>0,解得b=2或4.
答案:2或4
4.已知△ABC三条边上的高分别为3,4,6,则△ABC最小内角的余弦值为_____.?
【解析】不妨设AB边上的高为3,AC边上的高为4,BC边上的高为6,则根据三角
形面积相等可得3AB=4AC=6BC,故BC边最短,BC边对应的角A最小,
由余弦定理可得cos
A=
答案:
5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,b+c=8,A=
.
求△ABC的面积.
【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc=
,
所以S△ABC=
bcsin
A=
二十二 余
弦
定
理
【基础通关—水平一】
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,A=60°,b=1,三角形的面积为
,则
a=( )
【解析】选D.依题意S=
bcsin
A=
·1·csin
60°=
,解得c=4,由余弦
定理得a=
课时素养评价
【补偿训练】
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积
是
,则b=
( )
【解析】选A.由已知S=
acsin
B=
acsin
30°=
ac=
,得ac=6,所以b2=
a2+c2-2accos
30°=(a+c)2-2ac-
ac=4b2-6(2+
),解得b=
+1.
2.满足A=60°,c=1,a=
的△ABC的个数记为m,则am的值为( )
A.3
B.
C.1
D.不确定
【解析】选B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos
A,
即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),
所以满足条件的△ABC只有一个,即m=1,所以am=
.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则△ABC的形状是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cos
A=
因为0.
又因为bc=a2,所以b2+c2=2bc,
即(b-c)2=0,即b=c,所以△ABC为等边三角形.
4.已知△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2
,a=2,B=60°,则边
c= .?
【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accos
B=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.
答案:4
5.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是 .?
【解析】cos
B=
因为0.
答案:
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b)2=c2+3ab.
(1)求C的值;
(2)若△ABC的面积为
,c=
,求a,b的值.
【解析】(1)将等式(a+b)2=c2+3ab变形为a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cos
C=
因为0【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.钝角△ABC的面积是
,AB=1,BC=
,则AC=
( )
【解析】选B.由面积公式得
×
sin
B=
,解得sin
B=
,所以B=45°或
B=135°,当B=45°时,由余弦定理得AC2=1+2-2
cos
45°=1,所以AC=1,又因
为AB=1,BC=
,所以此时△ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以
B=135°,由余弦定理得AC2=1+2-2
cos
135°=5,所以AC=
.
2.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.设向量p=(a+c，b),q=(b-a，
c-a).若p∥q,则C=
( )
【解析】选B.因为向量p=(a+c，b),
q=(b-a，c-a),
p∥q,所以(a+c)(c－a)－b(b－a)=0,
整理得b2+a2-c2=ab.
所以cos
C=
解得C=
.
3.在△ABC中,a2+b2+c2=2bccos
A+2accos
B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
【解析】选C.因为a2+b2+c2=2bccos
A+2accos
B,
所以a2+b2+c2=2bc·
+2ac·
所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,
即a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形.
4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是
( )
A.(2,4)
B.(2.5,3.5)
C.(2
,
)
D.(2
,4)
【解析】选C.只需让3和a所对的角均为锐角即可,
【误区警示】本题容易默认a为最大边,从而造成错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos
A=bcos
B,且c=2,
sin
C=
,下列可以是△ABC面积的为
( )
【解析】选AC.因为在△ABC中,acos
A=bcos
B,
所以由余弦定理得
整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,
即a=b或C=
(舍去).
因为c=2,sin
C=
,a=b,
所以cos
C=±
,
6.若△ABC为钝角三角形,且a=2,b=3,则边c的长可能为
( )
A.2
B.3
C.
D.4
【解析】选AD.由三角形的边长能构成三角形,有1所以在△ABC中钝角可能为角B或角C.
则cos
B=
<0或cos
C=
<0,
所以4+c2-9<0或4+9-c2<0,
解得1或
【光速解题】本题直接求解略显复杂,可以直接利用余弦定理验证即可.本题A
选项较易验证cos
B=
<0,故B为钝角;B选项不需要验证;C选项
cos
C=
>0,故最大角C为锐角,从而△ABC为锐角三角形,故此选项不
符合题意;D选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足,则D项必定成立).
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=
b,cos
B=
cos
C,a=
,
则S△ABC= .?
【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果.
【解析】因为cos
B=
cos
C,
所以
结合c=
b,
化简得a=
b,从而有b2+c2=a2,
即△ABC为直角三角形,将c=
b,a=
代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=
,
所以S△ABC=
bc=
.
答案:
【补偿训练】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=
,c=2,则△ABC面积的
最大值为 .
【解析】由C=
及c=2
可得4=a2+b2-2abcos
,
即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab
可得2ab-ab≤4,即ab≤4,
当且仅当a=b=2时取等号.
所以S=
absin
C=
故△ABC面积的最大值为
.
答案:
8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos
A+
accos
B+bccos
C的值是 .?
【解析】因为cos
A=
所以bccos
A=
(b2+c2-a2),
同理accos
B=
(a2+c2-b2),
abcos
C=
(a2+b2-c2),
所以bccos
A+accos
B+abcos
C=
(a2+b2+c2)=
.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.设向量m=(a,b),n=(b-2,a-2),在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2c2=(2b-a)b+(2a-b)a.
(1)求角C;
(2)若m⊥n,边长c=2,求△ABC的周长l和面积S的值.
【解析】(1)由已知可得c2=b2+a2-ab,
所以cos
C=
所以C=
.
(2)由题意可知m⊥n,
可得a(b-2)+b(a-2)=0，所以a+b=ab,
由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,
则(a+b)2－3(a+b)－4=0，即a+b=4,
故周长为4+2=6,面积S=
absin
C=
·4·sin
=
.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2acos
B.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若c=1,C=
,求△ABC的面积.
【解析】(1)因为c=2acos
B,所以
所以a2+c2-b2=c2,即a2=b2,
所以a=b,△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知a=b,
所以cos
C=
解得a2=2+
,
所以S△ABC=
absin
C=
a2sin
C=
【创新迁移】
1.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-
,则下列
说法错误的是
( )
A.△ABC的面积为8
B.△ABC的周长为8+4
C.△ABC为钝角三角形
D.sin∠CDB=
【解析】选D.设CD=a,则BC=2a,
在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=
,
所以S△DBC=
BD·CD·sin∠CDB=
×3×
×
=3,
所以S△ABC=
S△DBC=8,故A正确;
因为∠ADC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=
,
在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=2
,
所以C△ABC=AB+AC+BC=
故B正确;
因为AB=8为最大边,所以cos
C=
<0,即∠C为钝角,
所以△ABC为钝角三角形,故C正确.
因为cos∠CDB=-
,
所以sin∠CDB=
故D错误.
2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).
(1)若c=5,求sin
A的值;
(2)若A为钝角,求c的取值范围.
【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0),
所以AB=5,当c=5时BC=5,
所以AC=
由余弦定理知cos
A=
因为0所以sin
A=
(2)因为A(3,4),B(0,0),C(c,0),
所以AC2=(c-3)2+42,BC2=c2,
由余弦定理得cos
A=
因为A为钝角,所以cos
A<0,
即AB2+AC2-BC2<0,
所以52+(c-3)2+42-c2=50-6c<0,
所以c>
,故c的取值范围为温馨提示：
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第2课时 解三角形的实际应用举例
新课程标准
学业水平要求
掌握解三角形的实际应用
★水平一能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量中的实际问题,了解常用的测量相关术语(数学建模、直观想象)★水平二体会数学的应用价值;同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力(直观想象、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.实际测量中的术语主要有哪些?2.解三角形应用题主要有哪几个步骤?
1.测量中的有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角,方位角θ的范围是0°≤θ<360°.
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与坡度
坡面与水平面的夹角叫做坡角(α);坡面的垂直高度(h)与水平宽度(l)的比(i)叫做坡度
仰角、俯角、方位角有什么区别?
提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.
2.利用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题时,应具备的测量数据
求距离
两点不可直达也不可视
两点间可视但不可达
两点都不可达
求高度
底部可达
底部不可达
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α=β.( )
(2)若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的东偏北46°.( )
(3)方位角大小范围是[0,π).( )
提示:(1)√.仰角与俯角是相对的,它们是平行线内错角.
(2)×.若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的南偏西44°.
(3)×.方位角范围为[0,2π).
2.海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地相距100海里,渔船B被困海面,已知B距离基地50海里,而且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( )
A.100海里
B.200海里
C.100海里或200海里
D.150海里
【解析】选D.如图所示,在直角三角形ABC中,AC=100,BC=50,
所以AB==150,
所以渔船B与救护船A的距离是150海里.
3.(教材二次开发:例题改编)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )
A.6海里
B.6海里
C.8海里
D.8海里
【解析】选A.由题意可知:∠BAC=70°-40°=30°.∠ACD=110°,
所以∠ACB=110°-65°=45°,
所以∠ABC=180°-30°-45°=105°.
又AB=24×0.5=12.
在△ABC中,由正弦定理得=,
即=,所以BC=6.
关键能力·合作学习
类型一 测量距离问题(数学建模、数据分析)
1.如图,设点A,B在河的两岸,一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C.测出A,C两点间的距离为50
m.∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为
( )
A.
m
B.25
m
C.50
m
D.50
m
2.一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40°的方向直线航行,在行驶到某处时,该轮船南偏东20°方向10海里处有一灯塔,继续行驶20分钟后,轮船与灯塔的距离为( )
A.17海里
B.16海里
C.15海里
D.14海里
【解析】1.选C.在△ABC中,AC=50
m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则∠ABC=30°,
由正弦定理得=,
所以AB===50(m).
2.选D.记轮船行驶到某处的位置为A,灯塔的位置为B,20分钟后轮船的位置为C,
如图所示.则AB=10,AC=6,∠CAB=120°,
所以BC2=102+62-2×10×6×=196,
所以BC=14,即20分钟后,轮船与灯塔的距离为14海里.
(1)将追及问题转化为三角形问题,即可把实际问题转化为数学问题,这样借助余弦定理或正弦定理,就容易解决问题了,最后要把数学问题还原到实际问题中去.
(2)测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决.
(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决.
【补偿训练】
在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为a的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,
∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
【解析】因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠DCA=60°,所以∠DAC=60°.
所以AD=CD=AC=a.
在△BCD中,∠DBC=45°,因为=,
所以BC=a.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
45°
=a2+a2-2×a×a×=a2,所以AB=a.
所以蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
类型二 测量高度问题(数学建模)
【典例】某兴趣小组为了测量塔的高度,如图所示,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°,在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为36米,则塔高BC为( )
A.(36-36)米
B.(36-36)米
C.(36-36)米
D.(72-36)米
四步
内容
理解题意
塔高指的是塔本身的高度,不是塔的最高点相对地面的高度.
思路探求
△ACD是等腰直角三角形,CD=AD;在Rt△ABD中选择三角函数表示BD,根据CD=BD-BC得方程求解.
书写表达
选B.由题意可知:∠DAB=60°,因为在塔底C处测得A处的俯角为45°,则∠CAD=45°,在Rt△ABD中有BD=AD×tan
60°=AD;同理可得:DC=AD×tan
45°=AD,所以=,因为CD=BD-BC=36米,所以=,所以BC=36(-1)米.
题后反思
正确理解题意及图形是求解的关键.
解决测量高度问题的一般步骤
在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为
( )
A.200
m
B.300
m
C.400
m
D.100
m
【解析】选B.如图,△BED,△BDC为等腰三角形,
BD=ED=600
m,BC=DC=200
m.
在△BCD中,由余弦定理可得cos
2θ==.
因为0°<2θ<90°,所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BCsin
4θ=200×=300(m).
类型三 测量角度问题(数学建模)
【典例】如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.
【思路导引】缉私船要最快截获走私船,缉私船应该走直线,可借助正余弦定理求解.
【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=10t,BD=10t,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=
+22-2(-1)·2·cos
120°=6.
所以BC=,又因为=,
所以sin∠ABC===,
又0°<∠ABC<60°,所以∠ABC=45°,
所以B点在C点的正东方向上,
所以∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理得=,
所以sin∠BCD===.
又因为0°<∠BCD<60°,所以∠BCD=30°,
所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,
所以∠D=30°,BD=BC,即10t=,
所以t=小时≈15分钟.
所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.
如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin
α的值.
【解析】(1)AB=12,AC=20,∠BAC=120°,
所以BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×=784,
所以BC=28,所以v甲==14(海里/小时).
(2)在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得=,所以=,
即sin
α=.
1.测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标注有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.解决航海问题的三点注意
(1)要搞清方位角(方向角);
(2)要弄清不动点(三角形顶点);
(3)要根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.
1.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3
mm,BC=2
mm,
AB=
mm,则∠ACB=________.?
【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==-,
因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.
答案:
2.当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2
m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.45°
D.90°
【解析】选A.设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x
m.
由正弦定理,得=,
所以x=sin(120°-α),
因为30°<120°-α<120°,
所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值.
故竹竿与地面所成的角为30°时,影子最长.
3.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再航行40分钟到达C点.
(1)求P,C间的距离;
(2)求在点C测得油井P的位置?
【解析】(1)如题图,在△ABP中,AB=30×=20,∠APB=30°,∠BAP=120°,
根据正弦定理得:=,解得BP=20,
在△PBC中,BC=30×=20,
由已知∠PBC=90°,故PC=40.
答:P,C间的距离为40海里.
(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,
所以sin∠BPC=,所以∠BPC=30°,
因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB,
所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.
课堂检测·素养达标
1.已知A,B两地的距离为10
km,B,C两地的距离为20
km,观测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为( )
A.10
km
B.10
km
C.10
km
D.10
km
【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos
120°=700,所以AC=10.
2.如图,两座灯塔A和B与河岸观测站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东80°
D.南偏西80°
【解析】选D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,
因为∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,
所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
3.(教材二次开发:习题改编)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60
m,则树的高度为( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【解析】选C.设树高为h,则AB=h-h=60,所以h==30+30(m).
4.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且此时它们相距8海里,此时的航速是________海里/小时.?
【解析】在△ABS中,易知∠BAS=30°,∠ASB=45°,且边BS=8,利用正弦定理可得=,
即=,得AB=16,
又因为从A到B匀速航行时间为半小时,
所以速度应为=32(海里/小时).
答案:32
5.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时a海里,问:甲船应沿什么方向前进才能最快与乙船相遇?
【解析】如图,设经过t小时两船在C点相遇,
则在△ABC中,BC=at,AC=at,∠B=180°-60°=120°.
由正弦定理得=,
则sin∠CAB====.
因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,
所以∠DAC=60°-30°=30°,
即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇.
课时素养评价
二十五 解三角形的实际应用举例
(15分钟 30分)
1.某船从A处向北偏东60°方向航行2千米后到达B处,然后朝南偏西30°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为( )
A.千米 B.2千米 C.3千米 D.6千米
【解析】选B.设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=+62-2×2×6cos(60°-30°)=12,则x=2.
【补偿训练】
在相距4千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离是( )
A.4千米
B.2千米
C.2千米
D.2千米
【解析】选B.由于∠CAB=75°,∠CBA=60°,
所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得=,
即=,解得AC=2.
2.某建筑物上有一根长为20
m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45°,旗杆顶端的仰角为60°,则此建筑物的高度最接近于( )
A.25
m B.27
m C.29
m D.31
m
【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形:
由图可得AB=h,则tan
60°=,
解得h==10(+1)≈27.
3.如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1
km,从三点分别望塔M,在A处看见塔在北偏东30°方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60°方向,则塔到直路ABC的最短距离为( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°,
所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A,
所以AM=1,CM=,设AC边上的高为h,
则塔到直路ABC的最短距离为h,
所以·AM·CM=·AC·h,解得h=.
4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别为 米、 米.?
【解析】如图,过点C作CM⊥AB,
垂足为依题意有甲楼的高度为AB=20·tan
60°=20(米),
又CM=DB=20米,∠CAM=60°,
所以AM=CM·=米,
故乙楼的高度为CD=20-=(米).
答案:20
5.如图,要测出山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=60
m,井架顶B的仰角45°,井架底的仰角15°,则井架的高BC为 m.?
【解析】由题意得∠BAC=45°-15°=30°,∠ABC=45°,且AC=60
m.
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得BC=30.
答案:30
6.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上.求:
(1)船在B点时与灯塔P的距离;
(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东航行,有无触礁的危险?
【解析】(1)如图:
在△ABP中,∠PAB=30°,∠ABP=135°,
所以∠APB=15°.
由正弦定理得=,
所以BP=20(+).
(2)过P作PD⊥AB,D为垂足.
PD=BPsin
45°=20+20<55,
故继续航行有触礁危险.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知A,B两地距离为2,B,C两地距离为3,现测得∠ABC=,则A,C两地的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为AB=2,BC=3,∠ABC=,
所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+9-2×2×3cos=19,即AC=.
2.如图,在限速为90
km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0.08
km,距测速区终点B的距离为0.05
km,且∠APB=60°,现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3
s,则此车的速度介于( )
A.60～70
km/h
B.70～80
km/h
C.80～90
km/h
D.90～100
km/h
【解析】选C.由余弦定理得AB=
=0.07,
则此车的速度为=7×12=84
km/h.
3.(2020·天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高度为( )
(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin
70.5°≈0.943,cos
70.5°≈0.334,
tan
70.5°≈2.824)
A.4.0米
B.4.2米
C.4.3米
D.4.4米
【解析】选B.在Rt△BCD中,BC=CD=2.3(米),
在Rt△ABC中,AC=BCtan∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(米),
所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米).
4.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家,他编著的《海岛算经》中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1
000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为
(注:3丈=5步,1里=300步)( )?
A.4里55步
B.3里125步
C.7里125步
D.6里55步
【解析】选A.如图.
由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123,DG=127,=,HF=,由题意,
(HG-127)-(HF-123)=1
000,即--4=1
000,解得h=1
255步=4里55步.
【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.某人在A处向正东方向走x
km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3
km到达C处,结果他离出发点恰好
km,那么x的可取值为( )
A.
B.2
C.3
D.3
【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°,
由余弦定理得cos
30°=,
解得x=2或x=.
6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有△ABC满足sin
A∶sin
B∶sin
C=2∶3∶,且△ABC的面积S△ABC=6,则运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A.△ABC周长为10+2
B.△ABC三个内角A,C,B满足A+B=2C
C.△ABC外接圆直径为
D.△ABC中线CD的长为3
【解析】选ABC.由正弦定理可得:a∶b∶c=2∶3∶,
设a=2m,b=3m,c=m,
所以S=
=m2=6,解得:m=2,
所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2=10+2,A正确;
由余弦定理得:cos
C===,
所以C=,因为A+B+C=π,
所以A+B=,即A+B=2C,B正确;
由正弦定理知外接圆直径为2R===,C正确;
由中线定理得a2+b2=c2+2CD2,
即CD2=×=19,
所以CD=,D错误.
【光速解题】本题B中可以直接令a=2,b=3,c=,从而可快速判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,一栋建筑物AB高(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B,M,D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为 m.?
【解析】由题意可知∠CAM=45°,∠AMC=105°,
由三角形内角和定理可知∠ACM=30°.
在Rt△ABM中,sin∠AMB=?AM=.
在△ACM中,由正弦定理可知:=,
所以CM==.
在Rt△DCM中,sin∠CMD=,
所以CD=CM·sin
60°=·sin
60°=60.
答案:60
【补偿训练】
如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=32,则灯塔高度是 .?
【解析】如图,BN⊥DC于N,DC延长线交地面于M,
则DN=BNtan
α,DM=AMtan
β,而BN=AM,所以BNtan
β-BNtan
α=h,
即BN(tan
60°-tan
30°)=40,BN==20,
所以DC=AMtan
60°-CM=BNtan
60°-32=20×-32=28.
答案:28
8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,
∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为 .?
【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,
所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).
△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,由正弦定理,=,
所以BC===40(-).
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1
600(8+4)+
1
600(8-4)+2×1600(+)(-)×=1
600×16+1
600×4=
1600×20=32
000,故AB=80,
即A,B间的距离为80.
答案:80
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30°方向,与A相距10海里,测得灯塔B在北偏西75°方向,与A相距15海里,船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔B在南偏西60°方向,这时灯塔C与D相距多少海里?C在D的什么方向?
【解析】作AE⊥BD于E,CF⊥AD于F,
由题意得AB=15海里,AC=10海里,
∠BAD=75°,∠ADB=60°,则∠B=45°,
所以AE=AB=15海里,
因为∠ADB=60°,所以∠DAE=30°,所以AD=30海里.
因为∠DAC=30°,AC=10海里,
所以CF=AC=5海里,AF=15海里,
所以DF=15海里,又FC=5海里,
所以CD==10海里,
则∠CDF=30°,所以灯塔C与D相距10海里,C在D南偏东30°方向.
10.如图,甲船以每小时30n
mile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20
n
mile,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10
n
mile,问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图,连接A1B2,
由题意知,A2B2=10
n
mile,A1A2=30×=10
n
mile,所以A1A2=A2B2.
又∠A1A2B2=180°-120°=60°,
所以△A1A2B2是等边三角形.
所以A1B2=A1A2=10
n
mile.
由题意知A1B1=20
n
mile,∠B1A1B2=105°-60°=45°,
在△A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos
45°=202+-2×20×10×=200,所以B1B2=10
n
mile.
因此,乙船速度的大小为×60
=30(n
mile/h).
答:乙船每小时航行30
n
mile.
根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的安全距离为20
mile(即距离不得小于20
mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′,YY′,交点是O,现有两国的军舰甲,乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30
mile,OB=10
mile,后来军舰甲沿XX′的方向,乙军舰沿Y′Y的方向,同时以40
mile/h的速度航行.
(1)起初两军舰的距离为多少?
(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.
【解析】(1)连接AB,在△ABO中,
由余弦定理得
AB==10.
所以,起初两军舰的距离为10
mile.
(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D,
连接CD,当0=10.
当t>时,CD=
=10,
所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD=10.
因为CD=10=10,
又t>0,所以当t=时,甲、乙两军舰距离最小为20
mile.
又20≥20,所以甲、乙这两艘军舰不会违反国际海洋安全规定.
【补偿训练】
为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?
【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B.
设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米.
在△ABC中,AB=千米,AC=1千米,∠ABC=30°,
由正弦定理得sin∠ACB=×AB=,
所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),
所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1千米.
在△ACD中,AC=AD=1千米,∠ACD=60°,
所以△ACD为等边三角形,所以CD=1千米.
因为×60=5,
所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.
所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.
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三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第1课时 三角形中的几何计算
新课程标准
学业水平要求
通过对余弦定理、正弦定理的学习与研究,明确可以解决的类型
★水平一1.掌握余弦定理、正弦定理的内容及其变形(数学抽象)2.掌握余弦定理、正弦定理的简单应用(逻辑推理)★水平二熟练掌握应用余弦定理、正弦定理解三角形的过程与步骤(数学运算、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.余弦定理、正弦定理的内容及变形是什么?2.余弦定理、正弦定理可分别解决哪类三角形问题?
1.内角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°.
2.面积公式:
S△ABC=absin
C=bcsin
A=acsin
B.
3.余弦定理的形式:
形式一:a2=b2+c2-2bccos
A,
b2=a2+c2-2accos
B,
c2=a2+b2-2abcos
C.
形式二:cos
A=,cos
B=,cos
C=.
4.正弦定理的形式:
形式一:===2R(R为外接圆半径).
形式二:a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
形式三:a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C.
形式四:sin
A=,sin
B=,sin
C=.
在解三角形时,边角至少需要知道几个才能求出其他边角?
提示:由余弦定理、正弦定理的内容可以看出,至少需要知道三个(不能全为角)才能求出其他边角.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形.( )
(2)在△ABC中,等式bsin
A=asin
B总能成立.( )
(3)在△ABC中,满足sin
B=<1的三角形个数有且仅有一个.( )
提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cos
A=<0,从而角A为钝角,该三角形为钝角三角形.
(2)√.根据正弦定理=可得bsin
A=asin
B总成立.
(3)×.例如已知A=30°,a=1,b=,则sin
B==,故B=60°或120°,此时满足条件的三角形有两个.
2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于( )
A.12 B. C.28 D.6
【解析】选D.由余弦定理可得cos
A=,所以A=60°,
所以sin
A=,故S△ABC=bcsin
A=6.
3.(教材二次开发:例题改编)已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由++=0可知点O是△ABC的重心,S△OBC=S△ABC,·=
||·||cos
60°=2,所以||·||=4,S△OBC=S△ABC=××4×=.
关键能力·合作学习
类型一 三角形中的面积计算(逻辑推理)
1.已知△ABC的面积为且b=2,c=,则( )
A.A=30°
B.A=60°
C.A=30°或150°
D.A=60°或120°
2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB=,则△ABC的面积为________.?
3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos
A=,求△ABC的面积.
【解析】1.选D.由S△ABC=bcsin
A,
得=×2×sin
A,解得sin
A=,
又因为0°2.由正弦定理=,
所以sin
C=,
则C=60°或120°,从而A=90°或30°,
所以S△ABC=AB·AC·sin
A=sin
A,
所以S△ABC=或.
答案:或
3.因为b2-bc-2c2=0,所以b=2c或b=-c(舍去).
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos
A得,
6=(2c)2+c2-2×(2c)×c×,解得c=2,b=4.
由cos
A=得sin
A==,
所以S△ABC=bcsin
A=.
三角形面积的计算
对于此类问题,一般用公式S=absin
C=bcsin
A=acsin
B求解,可分为以下两种情况:
(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积;
(2)若所给条件为边角关系,则需要运用余弦定理、正弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形的面积公式进行求解.
【补偿训练】
在△ABC中A=60°,b=1,其面积为,则等于( )
A.3 B. C. D.
【解析】选B.因为S△ABC=bcsin
A,
故=×1×c×sin
60°,解得c=4,
又由余弦定理得a=
==,
故==.
类型二 三角形中的长度计算(数学运算、逻辑推理)
【典例】在△ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线①AD长为,求边长a.
四步
内容
理解题意
①中线,即连接顶点与对边中点的线段.
思路探求
由题目可获取以下主要信息:①c=4,b=7;②AD为BC边上的中线且AD=.解答本题可先令CD=DB=x,在△ACD和△ACB中,∠ACB是公共角,两次使用余弦定理,便可求出x.
书写表达
如图所示,因为AD是BC边上的中线,所以可设CD=DB=x,则CB=a=2x.因为c=4,b=7,AD=,在△ACD中,有cos
C=,在△ABC中,有cos
C=.所以=,解得x=,所以a=2x=9.
题后反思
本题求解的关键是利用AD是BC边上的中线可得CD=BD,从而可以在△ACD和△ABC中同时利用余弦定理求cos
C,从而建立方程求解.
三角形中长度的计算
三角形中的长度计算往往利用余弦定理或正弦定理求解,这就需要寻求包含所求线段的三角形,并探求其他边角,但有时需要放在两个三角形中(比如例题,也可利用cos∠ADC=-cos∠ADB)求解.
如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长.
【解析】在△ACD中,由余弦定理
得cos
C===.
因为C为三角形内角,所以C∈(0,π),
所以sin
C===.
在△ABC中,由正弦定理得=,
所以AB===.
类型三 三角形中的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)在①ac=,②csin
A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin
A=
sin
B,C=,________??
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】方案一:选条件①.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由①ac=,解得a=,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
方案二:选条件②.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.
由②csin
A=3,所以c=b=2,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.
方案三:选条件③.
由C=和余弦定理得=.
由sin
A=sin
B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由③c=b与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos
C=,若·=,且a+b=9,则c=________.?
【解析】因为·=,所以abcos
C=,
所以ab=20.又因为a+b=9,
所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,
所以c2=a2+b2-2abcos
C=36,解得c=6.
答案:6
1.利用余弦定理、正弦定理可以实现三角形中的边、角关系的转化;
2.熟记三角形的面积公式:S=absin
C=bcsin
A=acsin
B;
3.熟练掌握三角函数及向量的相关知识.
1.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=3∶5∶7,且周长为30,则S△ABC=( )
A.
B.
C.13
D.15
【解析】选D.由正弦定理知,sin
A∶sin
B∶sin
C=a∶b∶c=3∶5∶7,
设a=3k,则b=5k,c=7k(k>0),
又a+b+c=30,所以k=2,
即三边长为a=6,b=10,c=14,
所以cos
A==,sin
A=,
所以S△ABC=bcsin
A=×10×14×=15.
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则3a+c的最小值为( )
A.6
B.4+2
C.9
D.6+4
【解析】选B.由题意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分线性质和三角形面积公式得acsin
120°=csin
60°+asin
60°,化简得ac=c+a,即+=1,所以3a+c=(3a+c)=4++≥4+2,当且仅当=,即c=a=+1时取等号.
课堂检测·素养达标
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆直径为( )
A.4
B.60
C.5
D.6
【解析】选C.因为S△ABC=acsin
B=c·sin
45°=c=2,所以c=4,所以b2=a2+c2-2accos
45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圆直径为=5.
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=,cos
C=-,sin
A=2sin
B,则b=________.?
【解析】因为sin
A=2sin
B,所以a=2b,
又因为c=,cos
C=-,
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos
C,
可得6=a2+b2-2ab·=4b2+b2+×2b2,
解得b=-1(舍去)或b=1.
答案:1
3.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于________.?
【解析】连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定理得BD=2,S△BCD=BC·CDsin
120°=,∠ABD=120°-30°=90°,
所以S△ABD=AB·BD=4,所以S四边形ABCD=+4=5.
答案:5
4.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
【解析】如图,连接BD,则四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CDB=
AB·ADsin
A+BC·CDsin
C.
因为A+C=180°,所以sin
A=sin
C,
所以S=(AB·AD+BC·CD)sin
A=(2×4+6×4)sin
A=16sin
A.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos
A=22+42-2×2×
4cos
A=20-16cos
A.
在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos
C=52-48cos
C.
所以20-16cos
A=52-48cos
C.
因为cos
C=-cos
A,所以64cos
A=-32,
所以cos
A=-,又0°所以S=16sin
120°=8.
课时素养评价
二十四 三角形中的几何计算
(15分钟 30分)
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆半径为3,a=3,则角A等于( )
A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.30°或150°
【解析】选D.根据正弦定理=2R,
所以sin
A===,
因为0°2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5,则c等于( )
A.4
B.16
C.21
D.
【解析】选A.因为b=5,A=60°,S△ABC=5,
所以S△ABC=bcsin
A,
所以×5×csin
60°=5,解得c=4.
3.在平行四边形ABCD中,已知AB=1,AD=2,·=1,则||=( )
A.
B.
C.2
D.2
【解析】选B.由·=||·||cos
A=1,
得cos
A=,所以A=60°,故B=120°.
由余弦定理知AC2=12+22-4cos
120°=7,
故||=.
4.已知△ABC是等腰直角三角形,点D在线段BC的延长线上,若BC=AD=2,则CD=( )
A.1
B.
C.-
D.-
【解析】选D.由图可得∠ACD=135°,AC=2,
所以cos
135°==-,CD2+2CD-4=0,解得CD=-或CD=--(舍去).
5.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边长之比为3∶2,则这个三角形的面积是 .?
【解析】设另两边长分别为3x,2x,
则cos
60°=,
解得x=,故两边长分别为3和2,
所以S=×3×2×sin
60°=.
答案:
6.如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°.
(1)求BD的长;
(2)求BC的长.
【解析】(1)设BD=x,在△ABD中,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,整理得x2-10x-96=0,
因为x>0,解得x=16,即BD=16.
(2)因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,
故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,
在△BCD中,由正弦定理=,
得BC===8.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设△ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S=,则C为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.根据面积公式得S=absin
C,故absin
C=,解得tan
C=1,由于02.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=,则的值等于( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.由题意,在△ABC中,利用三角形的面积公式可得S△ABC=bcsin
A
=×1×c×sin
60°=,
解得c=4,又由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
A=1+16-2×1×4×=13,解得a=,
由正弦定理得===.
3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设BC=a,则BM=CM=.
在△ABM中,AB2=BM2+AM2-2BM·AM·cos∠AMB,
即72=+42-2××4·cos∠AMB.①
在△ACM中,AC2=AM2+CM2-2AM·CM·cos∠AMC,
即62=42++2×4×·cos∠AMB.②
①+②得72+62=42+42+,所以a=.
4.在△ABC中,内角B=60°,边长a=8,b=7,则此三角形的面积为( )
A.6
B.9
C.6或10
D.9或10
【解析】选C.由正弦定理得:=,
所以sin
A=.
由于B=60°,边长a=8,b=7,则a>b,
即A为钝角或锐角,所以cos
A=±=±.
当A为锐角时,sin
C=sin(A+B)=×+×=,
所以S△ABC=absin
C=×8×7×=10.
当A为钝角时,sin
C=sin(A+B)=×-×=,
所以S△ABC=absin
C=×8×7×=6.
则此三角形的面积为6或10.
【误区警示】本题在求解过程中,由sin
A=确定角A大小时,易漏掉A为钝角的情况.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.三角形有一个角是60°,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是
( )
A.三角形另一边长为7
B.三角形周长为20
C.三角形内切圆周长为3π
D.三角形外接圆面积为
【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-2×8×5×cos
60°=49,
即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确;
设内切圆半径为r,
则(8+7+5)r=×8×5×sin
60°,解得r=,故内切圆周长为2πr=2π,C不正确;
设外接圆半径为R,则2R=,
解得R=,其面积为πR2=.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,则下列结论正确的是( )
A.sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC为直角三角形
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
【解析】选AD.由a∶b∶c=4∶5∶6,
可设a=4m,b=5m,c=6m(m>0),
根据正弦定理可知sin
A∶sin
B∶sin
C=4∶5∶6,故A正确;
因为cos
C===>0,故最大角C为锐角,故BC错误;
若c=6,可得2R===,
所以△ABC外接圆半径为,故D正确.
【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为 .?
【解题指南】利用等面积转化,即S=(a+b+c)·r=bcsin
A,即可求出内切圆半径r,进而求出内切圆面积.
【解析】不妨设三边长为a,b,c,且a=6,b=c=12,
由余弦定理cos
A===,
所以sin
A==.
由(a+b+c)·r=bcsin
A,得r=,
所以S内切圆=πr2=.
答案:
【补偿训练】
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知A=60°,b=4,△ABC的面积为3,则a= .?
【解析】因为S=bcsin
A=3,
所以×4c×=3,
解得c=3,故a2=b2+c2-2bccos
A=16+9-2×4×3×=25-12=13,所以a=.
答案:
8.在?ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则?ABCD的对角线AC长为 ,其面积为 .?
【解析】在?ABCD中,连接AC,
则CD=AB=6,∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
根据余弦定理AC=
==3.
S?ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin
60°=9.
答案:3 9
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知AB⊥BD,AC⊥CD,AC=1,AB=2,∠BAC=120°,求BD的长.
【解析】如图,连接BC.
BC==.
在△ABC中,由正弦定理知:=,所以sin∠ACB=.
又因为∠ACD=90°,
所以cos∠BCD=,sin∠BCD=,
由AB⊥BD,AC⊥CD,∠BAC=120°得∠BDC=60°.
由正弦定理得BD===.
10.已知四边形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60°,试求四边形ABCD的面积.
【解析】连接AC,在△ACD中,
由AD=6,CD=4,D=60°,
可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos
D=62+42-2×6×4×cos
60°=28.
在△ABC中,由AB=2,BC=4,AC2=28,
可得cos
B===-,
又0°所以四边形ABCD的面积为S=S△ACD+S△ABC=AD·CDsin
D+AB·BCsin
B
=×4×6sin
60°+×2×4sin
120°=8.
1.在△ABC中,若lg
sin
A-lg
cos
B-lg
sin
C=lg
2,则该三角形的形状是( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.因为lg
sin
A-lg
cos
B-lg
sin
C=lg
2,所以=2,
由正弦定理可得=,
所以=,
所以cos
B=,所以cos
B==,
整理得c2=b2,即c=b,故△ABC为等腰三角形.
2.如图所示,在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠BAD=45°,AB=2,BD=2.
(1)求∠ADB的大小;
(2)若DC=2,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得:=,
所以sin∠ADB===.
因为A=45°,所以0°<∠ADB<135°,
所以∠ADB=30°.
(2)在△ABD中,∠ABD=180°-30°-45°=105°,sin
105°=,
所以S△ABD=BA·BD·sin∠ABD=×2×2×=+1;
在△BCD中,S△BCD=DC·BD·sin∠BDC=×2×2×=2.
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=3+1.
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