人教版数学八年级上册12.2 三角形全等的判定 常见全等辅助线学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册12.2 三角形全等的判定 常见全等辅助线学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 329.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-02 21:58:12 | ||
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文档简介
一．学习目标
会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等；
会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明.
二．重难点分析
全等辅助线的添加；
全等三角形的性质和判定的综合应用.
三．知识梳理
四．精讲精练
倍长中线型辅助线
倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：
（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：
已知：点D为AC边的中点
作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.
倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：
已知：点D为AC边的中点
作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.
平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：
已知：点E为DF的中点
作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.
另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：
例1.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．
【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．
方法一：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．
【解析】有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．
练习1.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是
．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．
【答案】（1）证明：在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；
解：如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，，
∴△PEP≌△QFP，∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；
证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，
∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△BMD与△CAD中，，
∴△BMD≌△CAD，∴BM=CA，∠M=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ=∠MBA，∵QC=BC，∴QC=AB，
在△ACQ与△MBA中，
，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ=AM=2AD．
小结
当题目中出现中线时，常会考利用倍长中线型模型添加辅助线，构造“8字型”的全等.
例2.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．
【答案】证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEQ中，，
∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，
∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．
【解析】延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．
练习1.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．
【答案】证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，∵，
∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．
小结
当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.
例3.如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．
【答案】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，
∴∠ECF=∠DGE，∴∠DGB=∠ACB
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠DGB，
∴DG=BD，∵BD=CF，∴DG=CF．
由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF
可得△DGE≌△FCE（AAS），
∴DE=EF．
【解析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可.
练习1.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．
【答案】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，
在△ABC与△EHC中，
∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，
∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．
∵AB=HE，∴AB=DE．
【解析】如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H．构建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），则由全等三角形的性质得到AB=HE；然后结合已知条件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代换证得AB=DE．
小结
当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.
截长补短法添加辅助线
在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.
举例说明：
1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则
（1）截长法
具体操作：在线段AC上截取AM=AB
条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”
【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.
（2）补短法
具体操作：延长AB至N，使得AN=AC
条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”
【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.
当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则
（1）截长法
具体操作：在线段AC上截取AM=AB
条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”
【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.
（2）补短法
具体操作：延长AB至N，使得AN=AC
条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”
【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.
例1.在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．
【答案】解：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，
在△AED和△ABD中，，
∴△AED≌△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∠AED为△CED的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED，∴EC=BD，则AC=AE+EC=AB+BD．
练习1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
【答案】证明：在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°﹣∠B）=60°，
则∠AOC=180°﹣∠ECA﹣∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，∴在△FOC与△DOC中，，
∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．
练习2.如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD．
【答案】证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°．
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠D．
在△BEF和△BED中，，
∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD．
∵AB=AF+BF，∴AB=AC+BD．
小结
当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其中截长法是将长线段截成两段短线段，再分别证明两对短线段相等.
例2.如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，，
∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．
练习1.ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．
【解答】解：延长CB至G，使得BG=DQ，连结AG，
∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠D=90°，
∴△ABG≌△ADQ，∴∠GAB=∠QAD，∠G=∠AQD，
∵AQ平分∠PAD，∴∠PAQ=∠DAQ，
∴∠PAG=∠BAQ，∵AB∥CD，
∴∠BAQ=∠AQD，∴∠PAG=∠G，
∴AP=PG=PB+BG=PB+DQ，即DQ=AP-BP．
小结
当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.
五．当堂总结
全等三角形的相关辅助线和判定方法贯穿了初中几何学习的整个过程，不仅初二学习的等腰三角形、等边三角形部分有涉及，初三学习的旋转也会用到，所以全等不仅是一个知识点，更是一种思想，识别全等三角形结构是初中学好几何的必备技能.本节中只讲到了全等辅助线的倍长中线和截长补短，其中与角平分线相关的全等辅助线在上一节中已经讲到，与全等相关的其他辅助线，如：中点相关的辅助线和与旋转结合的全等思想等会在以后的学习过程中逐步完善.
六．课后作业
1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是
．
【答案】解：延长AD到点E，使AD=ED，连接CE，
1＜AD＜4．
2.如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．
【答案】解：BE+CF＞FP=EF．
延长ED至P，使DP=DE，连接FP，CP，
∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDP中，，
∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE=CP，
∵DE⊥DF，DE=DP，∴EF=FP，
在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF．
3.如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．
【答案】证明：过点D作DF∥AE交BC于F，如图所示：
则∠FDG=∠CEG，∠DFG=∠ECG，∴∠DFB=∠ACB，
在△GDF和△GEC中，，
∴△GDF≌△GEC（ASA），∴DF=CE，
又∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠DBF=∠DFB，
∴∠DBF=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
4.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE．
【答案】证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE=BE，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，
在△ACE和△BFE中，，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE=EF，AC=BF，∴CF=2CE，
又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，∴AC=AB=BD=BF，
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，∴∠DBC=∠FBC，
在△DBC和△FBC中，
，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC=CF=2CE．
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠B的平分线交AC于点D，求证：DC+AB=BC．
【答案】解：如图所示，在BC上截取，BE=BA，连接DE．
∵AC平分∠ABC，∴∠ABD=∠DAE．
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD．∴∠BED=∠A=108°．
∴∠DEC=180°﹣108°=72°．∵AB=AC，∴∠C==36°，
由三角形的内角和定理可知：∠EDC=180°﹣36°﹣72°=72°．
∴∠EDC=∠DEC=72°．∴DC=EC．∴DC+AB=BC．
6.如图AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明：在线段AB上取AF=AD，连接EF，
在△ADE与△AFE中，∵，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE，
由AD∥CB又可得∠C+∠D=180°，∴∠AFE+∠C=180°，
又∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE，
在△CBE与△FBE中，∵，∴△CBE≌△FBE，∴BF=BC，
∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC．
7.如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．
【答案】证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5，
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．
∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．
在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC，即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．
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会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等；
会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明.
二．重难点分析
全等辅助线的添加；
全等三角形的性质和判定的综合应用.
三．知识梳理
四．精讲精练
倍长中线型辅助线
倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：
（1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：
已知：点D为AC边的中点
作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.
倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：
已知：点D为AC边的中点
作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.
平行线构造“8字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：
已知：点E为DF的中点
作法：过点D作DM//AF，交AC于点M.
另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：
例1.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．
【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．
方法一：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．
【解析】有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．
练习1.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形
【理解与应用】
（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是
．
（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD．
【答案】（1）证明：在△ADC与△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；
解：如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，
在△PDE与△PQF中，，
∴△PEP≌△QFP，∴FQ=DE=3，
在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，
∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；
证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，
∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
在△BMD与△CAD中，，
∴△BMD≌△CAD，∴BM=CA，∠M=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，
∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，
∵∠ACQ=180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA=180°﹣（∠BAM+∠M），
∴∠ACQ=∠MBA，∵QC=BC，∴QC=AB，
在△ACQ与△MBA中，
，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ=AM=2AD．
小结
当题目中出现中线时，常会考利用倍长中线型模型添加辅助线，构造“8字型”的全等.
例2.如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．
【答案】证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，
∵E为BC边的中点，∴BE=CE，
∵在△BEF和△CEQ中，，
∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，
∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，
∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，
∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，
∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．
【解析】延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．
练习1.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．
【答案】证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，∵，
∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．
小结
当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等.
例3.如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．
【答案】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，
∴∠ECF=∠DGE，∴∠DGB=∠ACB
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠DGB，
∴DG=BD，∵BD=CF，∴DG=CF．
由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF
可得△DGE≌△FCE（AAS），
∴DE=EF．
【解析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可.
练习1.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．
【答案】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，
在△ABC与△EHC中，
∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，
∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°
∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．
∵AB=HE，∴AB=DE．
【解析】如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H．构建全等三角形△ABC≌△EHC（ASA），则由全等三角形的性质得到AB=HE；然后结合已知条件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代换证得AB=DE．
小结
当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.
截长补短法添加辅助线
在已知条件中、证明的结论中出现某三条线段，甚至是四条线段的关系时（或者猜想某三条线段的关系时），优先考虑的就是方法就是截长、补短法.截长和补短是两种方法：截长是把长线段截成两条短线段；补短是把两条短线段之一补成一条长线段，两种方法有时候可以通用，但是由于证明方法和已知条件的局限性，有时候会需要学生辨别一下具体使用截长还是补短，所以分析已知条件非常重要.
举例说明：
1.当三线关系出现在已知条件中，如：已知AC=AB+BD，则
（1）截长法
具体操作：在线段AC上截取AM=AB
条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AM=AB和CM=BD”
【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.
（2）补短法
具体操作：延长AB至N，使得AN=AC
条件转化：已知条件“AC=AB+BD”就变成了“AN=AC和BN=BD”
【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.
当三线关系出现在待证明的结论中，如：证明AC=AB+BD，则
（1）截长法
具体操作：在线段AC上截取AM=AB
条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“CM=BD”，而多出了一个已知条件“AM=AB”
【注】当然也可以在线段AC上截取AM=BD，具体截取的方法选择，由题中的其他已知条件决定.
（2）补短法
具体操作：延长AB至N，使得AN=AC
条件转化：待证明的结论“AC=AB+BD”就变成了“BN=BD”，而多出了一个已知条件“AN=AC”
【注】当然也可以延长BA、BD、DB，具体延长哪条线段、向哪个方向延长，由题中的其他已知条件决定.
例1.在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC=AB+BD．
【答案】解：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，
在△AED和△ABD中，，
∴△AED≌△ABD（SAS），∴ED=BD，∠AED=∠B，
∵∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，又∠AED为△CED的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，∴∠C=∠EDC，∴EC=ED，∴EC=BD，则AC=AE+EC=AB+BD．
练习1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
【答案】证明：在AC上取AF=AE，连接OF，
∵AD平分∠BAC，∴∠EAO=∠FAO，
在△AEO与△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°﹣∠B）=60°，
则∠AOC=180°﹣∠ECA﹣∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，∴在△FOC与△DOC中，，
∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．
练习2.如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD．
【答案】证明：在AB上取一点F，使AF=AC，连结EF．
∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE=∠FAE，∠EBF=∠EBD．
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°．
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C=∠AFE．
∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠D．
在△BEF和△BED中，，
∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD．
∵AB=AF+BF，∴AB=AC+BD．
小结
当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其中截长法是将长线段截成两段短线段，再分别证明两对短线段相等.
例2.如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分∠CDE．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，，
∴△ACD≌△AFD（SSS）∴∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．
练习1.ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP．
【解答】解：延长CB至G，使得BG=DQ，连结AG，
∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠D=90°，
∴△ABG≌△ADQ，∴∠GAB=∠QAD，∠G=∠AQD，
∵AQ平分∠PAD，∴∠PAQ=∠DAQ，
∴∠PAG=∠BAQ，∵AB∥CD，
∴∠BAQ=∠AQD，∴∠PAG=∠G，
∴AP=PG=PB+BG=PB+DQ，即DQ=AP-BP．
小结
当题目中出现两条以上的线段的关系时，常会优先考虑截长补短法，其补短法是将某一条短线段补成长线段，再分别证明线段相等.
五．当堂总结
全等三角形的相关辅助线和判定方法贯穿了初中几何学习的整个过程，不仅初二学习的等腰三角形、等边三角形部分有涉及，初三学习的旋转也会用到，所以全等不仅是一个知识点，更是一种思想，识别全等三角形结构是初中学好几何的必备技能.本节中只讲到了全等辅助线的倍长中线和截长补短，其中与角平分线相关的全等辅助线在上一节中已经讲到，与全等相关的其他辅助线，如：中点相关的辅助线和与旋转结合的全等思想等会在以后的学习过程中逐步完善.
六．课后作业
1.已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是
．
【答案】解：延长AD到点E，使AD=ED，连接CE，
1＜AD＜4．
2.如图，△ABC中，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．
【答案】解：BE+CF＞FP=EF．
延长ED至P，使DP=DE，连接FP，CP，
∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDP中，，
∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE=CP，
∵DE⊥DF，DE=DP，∴EF=FP，
在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF．
3.如图：在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，CE=BD，DG=GE．求证：AB=AC．
【答案】证明：过点D作DF∥AE交BC于F，如图所示：
则∠FDG=∠CEG，∠DFG=∠ECG，∴∠DFB=∠ACB，
在△GDF和△GEC中，，
∴△GDF≌△GEC（ASA），∴DF=CE，
又∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠DBF=∠DFB，
∴∠DBF=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．
4.如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE．
【答案】证明：过B作BF∥AC交CE的延长线于F，
∵CE是中线，BF∥AC，
∴AE=BE，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，
在△ACE和△BFE中，，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE=EF，AC=BF，∴CF=2CE，
又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线，∴AC=AB=BD=BF，
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，∴∠DBC=∠FBC，
在△DBC和△FBC中，
，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴DC=CF=2CE．
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，∠B的平分线交AC于点D，求证：DC+AB=BC．
【答案】解：如图所示，在BC上截取，BE=BA，连接DE．
∵AC平分∠ABC，∴∠ABD=∠DAE．
在△ABD和△EBD中，，
∴△ABD≌△EBD．∴∠BED=∠A=108°．
∴∠DEC=180°﹣108°=72°．∵AB=AC，∴∠C==36°，
由三角形的内角和定理可知：∠EDC=180°﹣36°﹣72°=72°．
∴∠EDC=∠DEC=72°．∴DC=EC．∴DC+AB=BC．
6.如图AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于点C．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明：在线段AB上取AF=AD，连接EF，
在△ADE与△AFE中，∵，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE，
由AD∥CB又可得∠C+∠D=180°，∴∠AFE+∠C=180°，
又∵∠BFE+∠AFE=180°，∴∠C=∠BFE，
在△CBE与△FBE中，∵，∴△CBE≌△FBE，∴BF=BC，
∵AB=BF+AF，∴AB=AD+BC．
7.如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．
【答案】证明：延长AB到D，使BD=BP，连接PD．则∠D=∠5，
∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C．
∴QB=QC，又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．
在△APD与△APC中，AP=AP，∠1=∠2，∠D=∠C=40°
∴△APD≌△APC（AAS），
∴AD=AC，即AB+BD=AQ+QC，
∴AB+BP=BQ+AQ．
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