人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习讲义教师版

学习目标
正确理解全等的概念，能够识别全等图形；
能够准确找到全等的对应边、对应角，会进行全等三角形的表示；
能够利用全等三角形的性质进行相关的计算.
重难点分析
全等三角形对应边、对应角的识别；
全等三角形的性质及其相关计算.
要点集结
精讲精练
全等的概念及其表示
1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
3、全等的符号表示：“全等”用符号“≌”表示．
注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
4、全等的对应顶点、对应边、对应角
（1）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；
（2）把两个全等三角形重合到一起，重合的边叫做对应边；
（3）把两个全等三角形重合到一起，重合的角叫做对应角．
例1.下列图形中与已知图形全等的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
练习1.下列选项中，和下图全等的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
练习2.下列图形中，是由多个全等图形组成的图案的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
小结
根据全等的定义识别全等的图形，图形全等的本质就是经过移动后能够完全重合.
例2.下列说法正确的是（　　）
A．面积相等的两个长方形全等
B．周长相等的两个长方形全等
C．形状相同的两个长方形全等
D．能够完全重合的两个长方形全等
【答案】D
【解析】解：根据能够完全重合的两个图形是全等图形可知，
能够完全重合的两个长方形全等，面积相等，周长相等，形状相同，都不一定能够完全重合．
所以A、B、C选项不一定正确，D选项一定正确．故选D．
练习1.下列说法正确的是（　　）
A．形状相同的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等
D．所有的等边三角形全等
【答案】C
【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；
D、所有的等边三角形全等，说法错误；
小结
利用语言描述图形的特征，再根据特征进行全等的判别，此类问题较直接看图辨别的类型难度要稍大一些，需要学生对所描述的图形的几何性质要相对熟悉一些，并能够根据几何性质去判断图形的具体形状是否可以固定，从而判断是否全等.
例3.用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（　　）
A．等腰三角形
B．直角梯形
C．菱形
D．矩形
【答案】B
【解析】解：用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；
如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；
两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；
不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形．
故选B．
小结
利用全等形进行新图形的拼接，需要注意分类讨论思想的应用，将不同的边拼接在一起，得到的新图形的形状是不同的.
例4.把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．
【答案】解：如图所示：
【解析】根据能够完全重合的图形叫做全等形，将第一个图分割成5个正方形，将第二个图分割成3个直角三角形即可．
例5.已知A与A′，B与B′是对应点，则△ABC和△A′B′C′全等用符号语言表示为：　
　．
【答案】△ABC≌△A′B′C′
【解析】解：∵A与A′，B与B′是对应点，∴△ABC≌△A′B′C′，故答案为：△ABC≌△A′B′C′．
练习1.如图，△ABC≌△DEF，∠A和∠D是对应角，AB和DE是对应边，那么还有对应角是　
　，　
　，对应边是　
　，　
　．
【答案】∠B=∠E，∠C=∠F；BC=EF，AC=DF
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∠A和∠D是对应角，AB和DE是对应边，
∴相等的边有：AB=DE，BC=EF，AC=DF；相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
故答案为∠B=∠E，∠C=∠F；BC=EF，AC=DF.
练习2.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　　）
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．∠B或∠C
【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴∠B、∠C不能等于100°，
∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．故选：A．
小结
在用全等符号表示两三角形全等时，一定要注意将对应的点写在对应的位置上，这样方便找到对应边和对应角.在最开始学的时候就养成这样的好习惯，是非常有必要的.
全等的性质及其相关计算
1、全等三角形的性质
性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
注意：
（1）全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）平移、翻折、旋转前后的图形全等.
2、关于全等三角形的性质应注意
（1）全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边；
（2）要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念
对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指同一个三角形中角的对边，对角是指同一个三角形中边的对角．
例1.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，若DE=8，BC=5，线AE的长为（　　）
A．3
B．5
C．6
D．4
【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEB，∴AB=DE=8，BE=BC=5，
∴AE=AB﹣BE=3，故选：A．
练习1.如图，已知△ABC≌△DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（　　）
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DAE，∴AC=DE=5，BC=AE=2，∴CE=5﹣2=3．故选C．
练习2.下列说法错误的是（　　）
A．全等三角形对应边上的中线相等
B．面积相等的两个三角形是全等三角形
C．全等三角形对应边上的高相等
D．全等三角形对应角平分线相等
【答案】B
小结
全等的一个典型性质就是对应边相等，所以在有全等形的求线段长度的题目中，一定要注意对全等对应边相等这一性质的应用.同时对于两个全等的三角形来说，不仅对应边相等，对应的角平分线、中线、高线也分别是相等的，这就为全等形中计算线段的长度提供了又一个理论依据.
例2.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（　　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】D
【解析】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C，
∴∠A=90°，∴∠C=30°，故选：D．
练习1.如图，两个三角形为全等三角形，则∠α的度数是（　　）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
【答案】A
【解析】解：根据三角形内角和可得∠1=180°﹣50°﹣58°=72°，
因为两个全等三角形，所以∠α=∠1=72°，故选A．
小结
全等的另一个典型性质是对应角相等，在全等形存在的题目中进行角度计算时，一定要注意对这一性质的应用.
全等性质中常见模型的识别
在利用全等三角形的性质进行相关的边、角计算时，除了直接利用性质外，还需要对一些常见的几何结构能够准确识别，从而逐步建立几何感知能力.如：
平移型：
旋转型
翻折型
对调性型
共角型
共边型——其本质也是翻折型
一线三等角之三垂直模型
例1.如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2．
（1）求角F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【答案】解：（1）∵∠A=85°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=35°，
∵△ABC≌△DEF，AB=8，∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，∴DH=8﹣2=6；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF=∠B，∴AB∥DE．
【解析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，根据平行线的判定得出即可．
练习1.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（　　）
A．∠F
B．∠AGE
C．∠AEF
D．∠D
【答案】A
【解析】解：∵AC∥DF，∴∠D=∠BAC；
∵△ABC≌△DEF，∴△ABC与△DEF的对应角相等；
又∠C是△ABC的一个内角，∴∠C的对应角应△DEF的一个内角；
A、∠AGE不是△DEF的一个内角，不符合题意；
B、∠AEF不是△DEF的一个内角，不符合题意；
C、∠D与∠BAC是对应角，不符合题意；
故选A．
小结
注意平移型全等形的识别，平移的距离可以有多种情况，两个图形可以没有公共的部分，这也是平移型的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.
例2.已知：如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；
∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；
EF=BC，故③正确；
∠EAB=∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．
练习1.如图，△ABC≌△DBE，∠DBC=150°，∠ABD=40°，则∠ABE的度数是（　　）
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【答案】A
【解析】解：∵∠DBC=150°，∠ABD=40°，∴∠ABC=110°，
∵△ABC≌△DBE，∴∠DBE=∠ABC=110°，∴∠ABE=∠DBE﹣∠ABD=70°，故选：A．
小结
注意旋转型全等形的识别，旋转的角度也可以有很多种，两个图形可以没有公共的部分，这也是旋转的一种典型情况，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.
例3.如图，已知△ABC≌△DCB，AB=10，∠A=60°，∠ABC=80°，那么下列结论中错误的是（　　）
A．∠D=60°
B．∠DBC=40°
C．AC=DB
D．BE=10
【答案】D
【解析】解：∵∠A=60°，∠ABC=80°，∴∠ACB=40°，
∵△ABC≌△DCB，∴∠D=∠A=60°，∠DBC=∠ACB=40°，AC=BD，
故A，B，C正确，故选D．
练习1.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DEC全等，其中点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DEC等于（　　）
A．∠B
B．∠A
C．∠EMF
D．∠AFB
【答案】D
【解析】解：∵△ABF与△DEC全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴△ABF≌△DCE，∴∠DEC=∠AFB，故选：D．
小结
注意翻折型全等形的识别，翻折的本质是轴对称，其中轴对称的知识会在下一章中学到，其中对称轴的位置决定了翻折前后形成的两个图形的位置关系，建议老师在讲解旋转、翻折、平移这三个模型时，要以动态的思想来分析、帮助学生理解不同的形式产生的原因，在授课过程中注意帮助学生建立这种模型意识.
例4.如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中不正确的是（　　）
A．△ABD和△CDB的面积相等
B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D．AD∥BC，且AD=BC
【答案】C
【解析】解：∵△ABD≌△CDB，
∴∠ADB=∠CBD，AD=BC，△ABD和△CDB的面积相等，△ABD和△CDB的周长相等，
∴AD∥BC，则选项A，B，D一定正确．
由△ABD≌△CDB不一定能得到∠ABD=∠CBD，
因而∠A+∠ABD=∠C+∠CBD不一定成立．故选C．
练习1.如图，△ABC≌△BAD，若AB=6、AC=4、BC=5，则△BAD的周长为　　．
【答案】15
【解析】解：∵△ABC≌△BAD，∴AD=CB=5，BD=AC=4，
∵AB=6，∴△BAD的周长为：5+4+6=15，故答案为：15．
小结
对调型的全等也有不同的位置、不同的情况，其中有一条边完全重合的情况构成的是平行四边形（在人教版初二下学期的课本中会学到），对于这种类型的全等，一定要注意区分其对应点和对应边分别是什么.
例5.如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（　　）
A．2
B．3
C．5
D．2.5
【答案】B
【解析】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5，
∵AE=2，∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B．
练习1.如图，△ABE≌△ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（　　）
A．2
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【解析】解：∵△ABE≌△ACF，∴CF=BE=4，故选：C．
练习2.已知如图，△OAD≌△OBC，且∠O=70°，∠C=25°，则∠OAD=（　　）
A．95°
B．85°
C．75°
D．65°
【答案】B
【解析】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°，
∵∠O=70°，∴∠OAD=180°﹣25°﹣70°=85°，故选：B．
小结
共角模型其本质也是翻折的一种，由于它有一个公共角，其情况比较特殊，所以单独拿出来分析，此种模型在下一节的全等判定中出现的频率很高，其中蕴藏着两组全等三角形，两者之间的转化很经典.
例6.如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD=AC=7，∵BE=5，∴DE=BD﹣BE=2，故选A．
练习1.如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，且∠C=60°，∠ABD=35°，则∠BAD的度数是（　　）
A．60°
B．35°
C．85°
D．不能确定
【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△BAD，∠C=60°，∴∠D=∠C=60°，
∵∠ABD=35°，∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣60°﹣35°=85°，故选C．
小结
共边型全等其本质也是翻折型，是翻折的一个特殊情况.
例7.如图，E为线段AB上一点，AC⊥AB，DB⊥AB，△ACE≌△BED．
（1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：AB=AC+BD．
【答案】（1）CE⊥DE，
证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，∴∠C+∠CEA=90°，
∵△ACE≌△BED，∴∠C=∠DEB，
∴∠CEA+∠DEB=90°，
∴∠CED=180°﹣90°=90°，∴CE⊥DE；
证明：∵△ACE≌△BED，
∴AC=BE，BD=AE，
∴AB=AE+BE=AC+BD．
【解析】（1）求出∠A=∠B=90°，推出∠C+∠CEA=90°，根据全等得出∠C=∠DEB，推出∠CEA+∠DEB=90°即可；（2）根据全等三角形的性质得出AC=BE，BD=AE，即可得出答案．
练习1.如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试说明∠ACE=90°．
【答案】证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BCA=∠CED，
∵△DCE是直角三角形，∴∠CED+∠ECD=90°，
∴∠BCA+∠ECD=90°，∴∠ACE=180°-90°=90°．
【解析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA=∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD=90°，进而得到∠BCA+∠ECD=90°，再根据角之间的关系可得∠ACE=90°．
小结
三垂直模型其本质也是一种旋转，由于其旋转中心不容易确定，所以将此类情况单独拿出来分析，而三垂直的更一般的情况是一线三等角，它是初三相似中非常重要的一个模型.
当堂总结
本次课重点讲解三角形全等的性质及其相关计算，其中需要学生特别关注的就是一些常见的全等的模型，这也为下一节讲解三角形全等的判定作铺垫，在学习全等三角形章节一定要着重关注常见的全等模型，这对计算和证明都有很好的帮助.
课后作业
1、如图，△ADE≌△BDE，若△ADC的周长为12，AC的长为5，则CB的长为（　　）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【解析】解：∵△ADE≌△BDE，∴DA=DB，
△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=12，又AC=5，∴BC=7，故选：B．
2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，则DF长为（　　）
A．5
B．8
C．7
D．5或8
【答案】C
【解析】解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8，∴AC=20﹣5﹣8=7，
∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=7，故选：C．
3、如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（　　）
A．AB=AC
B．∠BAE=∠CAD
C．BE=DC
D．AD=DE
【答案】D
【解析】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选D．
4、如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则CE的长是（　　）
A．1
B．2
C．4
D．7
【答案】D
【解析】解：∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE=7．故选：D．
5、如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
（1）求∠EBG的度数．
（2）求CE的长．
【答案】解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；
（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．
6、如图所示，已知△ABC≌△DCB，∠A=32°，∠BCD=115°，求∠BOC．
【答案】解：∵△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∠A=∠D，
△ABC中，∠A=32°，∴∠D=32°，∴∠DBC=∠ACB=180°﹣∠D﹣∠BCD=33°，
∴∠OBC=∠OCB=33°，∴∠BOC=180°﹣33°﹣33°=114°．
【解析】根据三角形内角和定理可求∠DBC=33°，根据全等三角形的性质可证∠DBC=∠ACB，即可求∠BOC．
7、如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
【答案】解：AE⊥DE．
∵AB⊥BC，∴∠B=90°．
∵△ABE≌△ECD，∴∠A=∠DEC，∠AEB=∠EDC，∠B=∠C=90°．
∵∠A+∠AEB=90°，∠DEC+∠D=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°，即AE⊥DE．
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