高中数学 解析几何（解析版）

解析几何
典例讲解
直线的倾斜角及斜率
【例1】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为，即，则，，解得或．
【例2】过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知．
两条直线的位置关系：
【例1】设，则“”是“直线：与直线：平行”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。
【例2】已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．
与直线有关的最值：
【例1】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂
直，故点在以为直径的圆上运动，故
．故选B．
【例2】在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意可得
（其中，），∵,
∴，，
∴当时，取得最大值3，故选C．
圆的方程：
【例1】以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D．
【例2】若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线
相切，则圆的方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆心，则，即，解得，所以圆的方程为．
圆与圆的位置关系：
【例1】已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2
－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的
最小值为|C3C2|－4＝，故选A．
【例2】若圆与圆外切，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，，，所以．
直线与圆的位置关系：
【例1】已知点在圆外,
则直线与圆O的位置关系是
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】B
【解析】点M(a,
b)在圆外，∴．圆到直线距离=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B．
【例2】过三点，，的圆交于轴于、两点，则=
A．2
B．8
C．4
D．10
【答案】C
【解析】设过三点的圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，令，得，
设，，则，，所以．
【例3】若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，)
B．(，0)(0，)
C．[，]
D．(，)
(，+)
【答案】B
【解析】，表示两条直线即轴和直线：，显然
轴与有两个交点，由题意与相交，所以的圆心到的距离，解得，又当时，直线与轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．
与圆有关的最值问题：
【例1】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为圆的圆心为，半径为1，，所以以原点为圆心、以为半径与圆有公共点的最大圆的半径为6，所以的最大值为6，故选B．
【例2】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点到直线的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．
圆锥曲线的方程：
【例1】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_____．
【答案】
【解析】由题意得通径，∴点B坐标为，将点B坐标带入椭圆方程得，又，解得∴椭圆方程为．
【例2】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以．因为的
离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为．
【例3】已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
A．
　
B．　
C．　　
D．
【答案】D
【解析】因为双曲线：的离心率为2,所以又渐近线方程为
所以双曲线的渐近线，方程为而抛物的焦点坐标为
所以有.故选D．
椭圆、双曲线离心率：
【例1】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，所以为等腰三角形，且，∴，∵，∴点坐标为，即点．∵点在过点，且斜率为的直线上，∴，解得．∴，故选D．
【例2】设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】不妨设一条渐近线的方程为，则到的距离，在中，
，所以，所以，又，所以在与中，根据余弦定
理得，即，得．所以
．故选C．
焦点弦问题：
【例1】椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于
【答案】
【解析】由题意可知，中，，
所以有，整理得，故答案为．
【例2】已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、．若为直角三角形，则=
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以．不妨设过点的直线
与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线
过点，所以直线的方程为，由，得，所以
，所以，所以．故选B．
【例3】已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．
【答案】2
【解析】法一
由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为
，由，消去得，即，设，，
则，．由，消去得，即，则
，，由，得
，将，与，代入，得．
解法二
设抛物线的焦点为，，，则，所以，则，取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，又，点在准线上，所以．
又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以．
中点弦问题：
【例1】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于
．
【答案】
【解析】设，，分别代入椭圆方程相减得，根据题意有，且，所以，得，整理，
所以．
【例2】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为,则的方程式为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为，设，即
，则，则，故的方程式为.应选B．
【例3】设椭圆C:
过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得，?∴=4，又
得
即，∴a=5，∴C的方程为．
（?Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为，，
将直线方程代入的方程，得，即，解得，，的中点坐标，，即中点为．
定值、定点问题：
【例1】已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．又由知，C不经过点，所以点在C上．因此，解得．故C的方程为．
（2）设直线与直线的斜率分别为，，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．则，得，不符合题设．从而可设：（）．将代入得
，由题设可知．
设，，则，．
而．
由题设，故．即．
解得．当且仅当时，，欲使：，即，
所以过定点（2，）
【例2】已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
求证：为定值．
【解析】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.
当时，直线的方程为.
令，得.从而.
直线的方程为.令，得.从而.
所以.
当时，，所以.
综上，为定值.
最值范围问题：
【例1】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．
（Ｉ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点．
(ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；
(ⅱ)求面积的最大值．
【解析】（Ｉ）由，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，
又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，
由，可得.所以，
因此，由题意知，，所以，
所以直线BD的方程为，令，得，即．可得．
所以，即．因此存在常数使得结论成立.
（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.
【例2】如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是。
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，解得点Q的横坐标是
因为==，=
=，
所以=，令，因为，
所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值．
证明、探索问题：
【例1】已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】(1)设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是．①由题设得，故．
(2)由题意得，设，则．由(1)及题设得，．又点在上，所以，从而，．
于是．同理．
所以．故，即，，成等差数列．
设该数列的公差为，则．②
将代入①得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．所以该数列的公差为或．
【例2】在直角坐标系中，曲线：与直线交与，两点，
（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；
（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的导数值为，在处的切线方程为，即.故在处的导数值为，在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为.将代入的方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故∠=∠，所以符合题意．
轨迹方程问题
【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．
【解析】（1）由题意得且，解得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）当轴时，，又，不合题意．
当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且．
若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而．因为，所以，解得．
此时直线方程为或．
【例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）可知，又，，，椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）设两切线为，
①当轴或轴时，对应轴或轴，可知
②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
，
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，所以点P的轨迹方程为（），
因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．
【例3】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且椭圆C经过点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且
，求点Q的轨迹方程．
【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝，
所以．又由已知，c＝1.所以椭圆C的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为＋y2＝1．设点Q的坐标为(x，y)．
(ⅰ)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为．
(ⅱ)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2．因为M，N在直线l上，
可设点M，N的坐标分别为(，k＋2)，(，k＋2)，
则|AM|2＝(1＋k2)，|AN|2＝(1＋k2)．又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)．
由，得，
即.①将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.
由②可知，＝，＝，代入①中并化简，得.③
因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.
又满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.
由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，则y∈.
所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈
圆锥曲线中的最值问题
基本不等式型的最值问题
【例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程为________________。
【答案】x＋y－3＝0。
【解析】因为|MA|＝，|MB|＝，所以|MA|·|MB|＝·＝2≥
2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0。
【例2】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________。
【答案】
【解析】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，
即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是。
【例3】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16　　　　　
B．14　
C．12　
D．10
【答案】A
【解析】设直线AB：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝＝2＋。根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋；因为AB⊥DE，同理可得|DE|＝4＋＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋＋4k2＝8＋4≥8＋4×2＝16，当且仅当k＝±1时取等号，故选A。
斜率型的最值问题
【例4】已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值。
【答案】最大值是8，最小值是。
【解析】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象——曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB。
易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是。
【例5】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为_____________，最小值为__________。
【答案】最大值是，最小值是－。
【解析】法一：如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆。
设＝k，即y＝kx，当圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时，即直线与圆相切，
斜率取得最大、最小值。由＝得k2＝3，所以kmax＝，kmin＝－。
法二：由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角
为60°，直线OP′的倾斜角为120°。所以kmax＝，kmin＝－。
函数型的最值问题
【例6】　已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为_____________。
【答案】6
【解析】法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则＝(cosα＋2，sinα)，·＝
(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故·的最大值为6。
法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，
故·的最大值为6。
【例7】如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)。若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d＋d的最大值是(　　)
A．4　
B．5
C．　
D．
【答案】C
【解析】易知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d＋d＝|PM|2＝x＋(y0－1)2，因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋(y0－1)2＝－32＋，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，d＋d取得最大值，此时点P。故选C。
【例8】如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)。过点B作直线AP的垂线，垂足为点Q。
求直线AP斜率的取值范围。
②求|PA|·|PQ|的最大值。
【解析】①设直线AP的斜率为k，k＝＝x－。
因为－②联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝。
因为|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3。令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3。
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，令f′(k)＝0，得k＝或k＝－1。
易得f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减，故f(k)max＝f＝。
因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值。
点线型的最值问题
【例9】设点P是函数的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为(　　)
A．－2　
B．
C．－2　
D．－2
【答案】C
【解析】如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上。过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2。故选C。
【例10】已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是(　　)
A．
B．2
C．
D．2
【答案】C
【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2。所以四边形PACB面积的最小值为＝＝。故选C。
三点共线型最值问题
【例11】已知椭圆＋＝1(0【答案】。
【解析】由0【例12】若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A．(0,0)　
B．
C．(1，)　
D．(2,2)
【答案】D
【解析】过M点作准线的垂线，垂足是点N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)。故选D。
课后练习
1．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2
B．3a2=4b2
C．a=2b
D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识?基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.
2．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【解析】因为的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．
3．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有
，∴，，，∴.故选D.
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.
4、已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．
【答案】，
【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.
【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.
5、在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是
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【答案】4
【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线x+y=0的距离为，故答案为．
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
6．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．由，可得．所以．
从而，故．代入的方程得．故．
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.