人教版八年级数学上册15.2分式的运算讲义（教师版）

一．学习目标
掌握分式的加、减乘、除、乘方的运算法则，并能进行分式的混合运算。
掌握负整数指数幂的意义，进行简单的整数范围内的幂运算；
通过分式的学习，能将分式的各种运算与分数的相应运算进行类比，体会类比的数学思想
二．重难点分析
分式的乘除法
分式的乘方
分式的加减法
三．知识梳理
四．精讲精练
分式的乘除法
分式的乘法法则：分式成分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示：
注意事项：
分式与分式相乘，若分子、分母都是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分然后在相乘。
当整式和分式相乘时，要把整式（看作是分母为1的式子）与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母作为积的分母。当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘。
分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式（或被除式）是整式时，可以看作是分母是1的式子，然后依照分式除法法则计算。
分式的乘除的运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。
分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件（如括号等），则按照由左向右的顺序进行计算。
例1.计算的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
练习1.计算:
【解析】原式==
小结
分式乘分式，若分子和分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式。
例2.化简
【解析】解：原式=
练习1．?=　　．
【解析】解：原式=?=，
练习2．化简的结果为　　．
【解析】解：原式=?=x+1，
小结
分式乘分式，若分子和分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘。
例3.
计算(-a)2·
的结果为(
?
?)
A.b
B.-b
C.ab
D.
【答案】A
练习.?5（a+1）2等于（　　）
A．a2+2a+1
B．5a2+10
a+5
C．5a2﹣1
D．5a2﹣5
【答案】D
【解析】解：原式=×5（a+1）2=5（a+1）（a﹣1）=5a2﹣5
小结
当整式与分式相乘时，要把整式看作分母为1的分式，然后再运算分式乘法的法则进行运算。
例4.化简：（1）
=
　　
（2）÷=　
　．
【答案】（1）-a；（2）
【解析】解：（1）原式=
=-a．
（2）÷=?=，
练习1.计算（1）÷
（2）÷．
（3）（xy﹣x2）÷÷．
【解析】解：（1）原式=÷=×=﹣
（2）原式=×=﹣=﹣
（3）原式=﹣x（x﹣y）?=﹣y．
小结
分式的乘除法，关键是约分，约分的关键是找公因式．在寻找公因式时经常要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
分式的乘方
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用式子表示：
例1.
计算：（）2的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：原式=，故选C
练习1.
（）3（）4÷（）3．
【解析】解：原式=﹣??（﹣）=．
练习2.
（）5?（﹣）4÷（﹣mn4）
【解析】解：原式=?÷（﹣mn4）=mn3?（﹣）=﹣．
小结
乘方运算，先定符号，再把分子分母分别乘方即可。
分式的加减法
分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
例1.计算
的结果是(
?
?)
A．2
B．2a+2
C．1
D．
【答案】A
练习1．计算﹣的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
小结
同分母的分式的加法，分母不变，分子相加减。
例2.计算：=　　．
【解析】解：原式===x+y．故答案为x+y．
练习1．计算：
+
=　　．
【解答】解：原式=
+
=
，
练习2．计算：
【解析】原式==﹣x﹣y；　
练习3．化简：﹣．
【解析】解：原式=+==a﹣1．
练习4．化简：．
【解析】解：原式=﹣==x．
小结
观察题目，分母互为相反数的，通过变号通分。
例3．化简：﹣，结果正确的是（　　）
A．1
B．
C．
D．x2+y2
【解析】解：原式==．故选B
练习1．化简﹣的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：原式=﹣=。故选（A）
练习2．化简：﹣=　　．
【解析】解：﹣=﹣=x+1﹣x﹣1=0．
小结
分母为没有公因式的，最简公分母就是分母相乘。
例4．化简﹣的结果是（　　）
A．﹣x2+2x
B．﹣x2+6x
C．﹣
D．
【答案】C
【解析】解：原式=﹣==﹣
练习1．计算
的结果是____
【答案】
【解析】解：原式
．
小结
先求通分，通分时，注意分式的性质。
例5．化简﹣．
【解答】解：原式=﹣===﹣．
练习．化简：+﹣．
【解析】解：原式=+﹣，=+﹣，
=+﹣，=﹣，
=﹣，=．
小结
本题考查了分式的加减法，要牢记异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
例6．化简：．
【解答】解：=++2=++2
=++==
练习．计算：+﹣x．
【解析】解：原式===1．
小结
当出现分式加整式（数）时，先把整式（数）看作分母为1的式子，再通分，然后进行加减。
例7．．
【解析】解：原式=﹣=．
练习.a﹣1﹣．
【解答】
a﹣1﹣=﹣=﹣．
小结
注意符号；
出现整式时，先先写为分母为1
的式子，再通分，然后进行分式的加减。
分式的混合运算
分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加减乘除及乘方的混合运算一样，先乘方，再算乘除，最后算加减。有括号要先算括号里面的，在运算过程中药注意正确地运用运算法则，灵活地运用运算律，使运算尽量简便。
例1.化简：（a+）（1﹣）的结果等于（　　）
A．a﹣2
B．a+2
C．
D．
【答案】B
【解答】解：?=?=a+2．
练习.
化简：（﹣）（﹣），
【解析】解：原式=[+]?[﹣]
=?（﹣）=?=x﹣2，
小结
分式运算和分数运算一样，结果必须化为最简，能约分的要约分。
例2．化简：（+）÷．
【解答】解：（+）÷====．
练习1．
化简（﹣）的结果是（　　）
A．x
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：原式=?=?=x，
练习2.
化简，
【答案】见解析
【解析】解：原式=
=
=
=
练习3.
化简：（﹣）÷．
【解析】解：（﹣）÷
==
=
=
=
．
小结
有括号的混合运算，可以先算括号里的，在进行除法运算，也可以先去括号。
例3．计算（a+2+）÷（a﹣）．
【解析】解：（a+2+）÷（a﹣）===．
练习．化简：?（1+）．
【解答】解：原式=?=．
小结
分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例4．化简：．
【答案】﹣2
【解析】解：原式=（﹣）?=﹣==﹣2
练习1．计算．
【答案】见解析
解：原式
练习2．计算：÷（a﹣1）+．
【解答】解：原式=×+
=+=+=．
小结
（1）若分式中含有整式，应视其分母为1进行约分或通分；
（2）合理搭配，分组通分，先约分再通分；
例5.
已知a=b+2018，求代数式?÷的值．
【解析】解：原式=××（a﹣b）（a+b）=2（a﹣b）
∵a=b+2018，∴原式=2×2018=4036
练习1.
已知[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y的值为1，求
的值．
【答案】
【解析】解：∵[(x2+y2)-(x-y)2+2y(x-y)]÷4y
=(x2+y2-x2+2xy-y2+2xy-2y2)÷4y
=(4xy-2y2)÷4y
=x-y
=1，即2x-y=2，
∴原式=
=
=
=．
小结
正确的使用相应的运算法则和运算顺序；正确的使用运算律，尽量简化运算过程；结果必须化为最简。
负整数指数幂
一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数
例1.
(-π)0+2-2＝____．　
【答案】．
【解析】解：原式=(-π)0+2-2，=1+
，=．
练习1.
计算：0.125×（﹣）﹣3﹣（π﹣3.14）0=　
　．
【答案】﹣2
【解析】解：原式=[0.5×（﹣2）]3﹣1=﹣1﹣1=﹣2，
练习2.
计算：﹣4﹣1﹣（﹣2）0+3÷．
【解析】解：原式=﹣﹣1+3÷9=﹣﹣1+=﹣．
小结
先确定符号，再熟练运用。
例2．某种细菌的直径是0.00000078米，将数据0.00000078用科学记数法表示为（　　）
A．7.8×10﹣7
B．7.8×10﹣8
C．0.78×10﹣7
D．78×10﹣8
【答案】A
练习1．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，将数0.0000077用科学记数法表示为(
?
?)
A．77×10-5
B．0.77×10-7
C．7.7×10-6
D．7.7×10-7
【答案】C
小结
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
五．当堂总结
分式基本运算
分式的乘法：
分式的除法：
乘方：(为正整数)
整数指数幂运算性质：
⑴(、为整数)
⑵(、为整数)
⑶(为整数)
⑷(，、为整数)
负整指数幂：一般地，当是正整数时，()，即()是的倒数
分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
六．课后作业
1.
【答案】　
【解析】原式=
=
=
2.先化简，再求值：(
)÷
，其中x=
-2．
【答案】
【解析】解：原式=
=
当x=
-2时，原式=
=
3．先化简：
÷
?(x?
)，然后x在-1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】见解析
【解析】解：原式=
?
?
，
=
?
，
=x+1．
∵在-1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2，
∴当x=2时，原式=2+1=3．　
4．计算
÷（a2﹣4）?．
【解析】解：原式==．
5．计算：．
【解析】解：原式==，
=，=．
6.
已知a2+3a+1=0，试求的值
【解析】解：因为a2+3a+1=0，将等式两边同时除以a（a≠0）
所以，两边同时平方，得=9，
所以，两边再次平方，得
所以+2=49．∴=47．
7.
先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2y（xy≠0）．
【解析】解：（﹣）÷
====，
当x=2y时，原式=．
8.
先化简，再求值：（﹣）（﹣），其中x=4．
【解析】解：原式=[+]?[﹣]
=?（﹣）=?=x﹣2，
当x=4时，原式=4﹣2=2．
9.
先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．
【解析】解：（+）÷
=[+]×x=（+）×x=2x﹣3
∵x为满足﹣3＜x＜2的整数，
∴x=﹣2，﹣1，0，1，∵x要使原分式有意义，
∴x≠﹣2，0，1，∴x=﹣1，
当x=﹣1时，原式=2×（﹣1）﹣3=﹣5
10.
化简：（﹣）÷．
【答案】见解析
【解析】解：（﹣）÷
==
===．
11.
计算：（﹣2016）0﹣2﹣2﹣（﹣）﹣3﹣（﹣3）2．
【解析】解：原式=1﹣+8﹣9=﹣．
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