青岛版九年级数学上册 3.1圆的对称性第一课时课件（17张ppt）

(共17张PPT)
3.1圆的对称性
（第1课时）
1
．什么是轴对称图形？轴对称有哪些性质？
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
轴对称的性质：
成轴对称的两个图形全等；
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2
．什么是弧、弦、直径、等弧？
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；
连接圆上任意两点的线段叫做弦；
经过圆心的弦叫做直径；
同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
今天这节课我们就利用轴对称的相关性质来研究圆．
3.思考下面的问题，并与同学交流：
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径AB（如下图所示）．将⊙O沿直径AB折叠，你发现了什么？
发现：直径AB两旁的两个半圆能够完全重合．
（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？
发现：上面的结论仍然成立．
B
O
A
（3）如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E．将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？
AC
与AD有什么关系？BC与BD有什么关系？为什么？
解：发现：CE＝DE；
AC＝
AD，
BC＝
BD．
理由：连接OC，OD．
因为OC＝OD，OE⊥CD，
所以CE＝DE．
所以点C与点D关于直线AB对称．
O
E
D
C
B
A
（3）如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点E．将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？
AC
与AD有什么关系？BC与BD有什么关系？为什么？
因为⊙O关于直线AB成轴对称，
所以当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D重合，
AC与
AD重合，BC与
BD重合，
所以
AC＝
AD，BC＝
BD．
O
E
D
C
B
A
4.我们得到垂径定理
:
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
例1
如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C，D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
证明：作OE⊥AB，垂足为点E．
由垂径定理，得CE＝DE．
∵AC＝BD，
∴AC+CE＝BD+DE，即AE＝BE．
∴OE为线段AB的垂直平分线．
∴OA＝OB．
O
D
C
B
A
E
例2
1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.02
m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23
m．求桥拱所在圆的半径（精确到0.1
m）．
解：设桥拱所在圆的半径为R(m)．如下图所示，用
AB表示桥拱，
AB的圆心为O．经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与
AB交于点C．
∵AB＝37.02，CD＝7.23，
∴AD＝
AB＝
×37.02＝18.51，OD＝OC-CD＝R-7.23．
∴D是线段AB的中点，
C是
AB的中点，CD就是拱高．
∵OC⊥AB，
D
C
B
O
R
A
7.23
m
37.02
m
在Rt△ODA中，由勾股定理，
得OA2＝AD2+OD2，
即R2＝18.512+(R-7.23)2．
解这个方程，得R≈27.3．
所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3
m．
D
C
B
O
R
A
7.23
m
37.02
m
例3
如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？
解：AC与BD相等．
理由：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P．
∵OP⊥AB，
∴AP＝BP，CP＝DP（垂直于弦的直径平分弦）．
∴AP-CP＝BP-DP，即AC＝BD．
O
D
C
B
A
P
如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由．
P
O
解：能；
理由：连接OP，
过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点，
则AB就是所求的⊙O的弦．
因为OP⊥AB，
根据垂径定理，得点P就为AB的中点．
A
B
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，求证：∠ACD＝∠ADC．
证法1：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AM垂直平分CD，
∴AC＝AD．
∴∠ACD＝∠ADC．
B
M
O
D
C
A
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，求证：∠ACD＝∠ADC．
证法2：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝MD．
∴在△AMC和△AMD中，
∴△AMC≌△AMD．
∴∠ACD＝∠ADC．
B
M
O
D
C
A
2．如下图所示，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为650
mm，油面的宽度AB＝600
mm．求油的最大深度．
解：如下图所示，过点O作OF⊥AB于点E，
交⊙O于点F，连接OA，则EF就是油的最大深度．
∵OE⊥AB，
在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2+AE2，
∴OE＝
(mm)．
∴EF＝OF-OE＝
(mm)．
答：油的最大深度为200
mm．
F
E
∴AE＝
(mm)．
小结
圆的对称性
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴．
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．