2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 298.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-02 21:52:38 | ||
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文档简介
2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第1章
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣
B．y＝2x2﹣x﹣1
C．y＝
D．y＝x+2
2．将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣1
B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣（x+2）2+5
D．y＝﹣（x﹣2）2+5
3．已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y1＜y2
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为（ ）
A．﹣6m
B．12m
C．16m
D．24m
6．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
8．将二次函数y＝2x2+3x﹣1化为y＝（x+h）2+k的形式为（ ）
A．y＝2（x+）2﹣
B．y＝2（x+）2﹣
C．y＝2（x+）2﹣
D．y＝2（x+）2﹣
9．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥
B．②⑤⑥
C．②③⑤
D．①⑤⑥
10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
二．填空题
11．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝
．
12．二次函数y＝﹣x2+2x的最大值为
．
13．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足
．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是
秒．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为
．
16．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（7，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是
．
18．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是
．
19．抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为
．
20．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点，若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，若存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似．请求出点N的坐标
．
三．解答题
21．若函数y＝（a﹣1）x（b+1）+x2+1（x≠0）是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，画出函数y＝（x﹣1）2的图象．
23．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
24．已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
2
0
…
求这个二次函数的表达式．
25．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
26．阅读以下内容，并回答问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1，b1，c1是常数，a1≠0）与y＝a2x2+b2x+c2（a2，b2，c2是常数，a2≠0）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
（1）请写出函数y＝﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”的表达式及其顶点的坐标；
（2）已知函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A'，B'，C'，试判断过点A'，B'，C′的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）是否互为“旋转函数”，并说明理由．
27．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
D、该函数符合一次函数的定义，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故选：B．
3．解：∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，
∴y1＝2，y2＝﹣1，y3＝14，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
4．解：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
则x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或3，
故选：C．
5．解：依题意，设A点坐标为（﹣8，y），
代入抛物线方程得：y＝﹣×64＝﹣16，
即水面到桥拱顶点O的距离为16米．
故选：C．
6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
故选：D．
7．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以④正确；
故选：D．
8．解：y＝2x2+3x﹣1＝2（x2+x+）﹣1﹣＝2（x+）2﹣，即y＝2（x+）2﹣，
故选：C．
9．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为B（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
10．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，
若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|，故选项B错误，
若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，
若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：y＝﹣2x2+8x﹣8
＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
12．解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴当x＝1时，y有最大值为1．
故答案为：1．
13．解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
14．解：由题意得，
s＝75t﹣1.5t2
＝﹣1.5（t2﹣50t+625﹣625）
＝﹣1.5（t﹣25）2+937.5，
即当t＝25秒时，飞机才能停下来．
故答案是：25．
15．解：∵顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，
∴y＝2或y＝5或y＝6，
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点只能为（2，2）或（4，6）或（5，5），
∵该函数图象的顶点为不与A、B重合，
∴M（4，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，把B（5，5）代入得a（5﹣4）2+6＝5，解得a＝﹣1；
∴a的值为﹣1．
故答案为﹣1．
16．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴≥，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
17．解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜7时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜7．
18．解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
19．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3中，a＝﹣2，b＝﹣8，c＝3，
∴﹣＝﹣＝﹣2，y＝＝＝11，
∴其顶点坐标是（﹣2，11），
∴关于y轴对称的点的坐标是（2，﹣11）．
故答案为：（2，﹣11）．
20．解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵抛物线经过原点，
∴a（0﹣1）2+1＝0，
解得，a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，
，
解得，，，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣3），
∴AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝3，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
设点N的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，﹣n2+2n），
当△ONM∽△ABC时，＝，即＝，
解得，n1＝﹣1，n2＝5，
当△ONM∽△CBA时，＝，即＝，
解得，n1＝，n2＝，
综上所述，点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0），
故答案为：（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
三．解答题
21．解
①a﹣1+1≠0且b+1＝2，解得a≠0，b＝1．
②a﹣1＝0且b为任意实数，解得a＝1，b为任意实数．
③a为任意实数且b+1＝1或0，解得a为任意实数，b＝0或﹣1．
综上所述，当a≠0，b＝1或a＝1，b为任意实数或a为任意实数，b＝0或﹣1时，y＝（a﹣1）xb+1+x2+1是二次函数．
22．解：函数y＝（x﹣1）2，
列表：
描点、连线，
．
23．（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3），
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．
24．解：∵抛物线经过点（1，0），（﹣2，），（0，），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，
把（1，0）代入得a（1+1）2+2＝0，解得a＝﹣，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+2．
25．解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
26．解：（1）由y＝﹣x2+4x﹣3函数可知，a1＝﹣1，b1＝4，c1＝﹣3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝4，c2＝3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝x2+4x+3，
函数的对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）是，理由：
当x＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
当y＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（2，0），B1（﹣3，0），C1（0，﹣3）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+3），
同理可得：a2＝，b2＝，c2＝﹣3，
∴a1+a2＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）互为“旋转函数”．
27．解：由题意得：a＞0且△＝b2﹣4ac≤0，
即（）2≤，
故t＝＝1++≥1++3（）2＝3（）2+≥，
当且仅当＝﹣时等号成立，
而（）2，无最大值，故t无最大值，
故t最小值为，无最大值．
二次函数》单元测试卷
一．选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣
B．y＝2x2﹣x﹣1
C．y＝
D．y＝x+2
2．将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+2）2﹣1
B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣（x+2）2+5
D．y＝﹣（x﹣2）2+5
3．已知点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y1＜y2
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为（ ）
A．﹣6m
B．12m
C．16m
D．24m
6．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①2a+b＝0；②若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝1；③a﹣b+c＞0；④当m≠1时，a+b＞am2+bm．其中正确的有（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
8．将二次函数y＝2x2+3x﹣1化为y＝（x+h）2+k的形式为（ ）
A．y＝2（x+）2﹣
B．y＝2（x+）2﹣
C．y＝2（x+）2﹣
D．y＝2（x+）2﹣
9．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），与x轴的一个交点为A（﹣4，0）．点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．
①2a+b＝0；
②abc＜0；
③抛物线与x轴的另一个交点是（4，0）；
④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；
⑤a+b+c＞﹣m+n；
⑥不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．
其中结论正确的是（ ）
A．①④⑥
B．②⑤⑥
C．②③⑤
D．①⑤⑥
10．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD
二．填空题
11．把y＝﹣2x2+8x﹣8配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝
．
12．二次函数y＝﹣x2+2x的最大值为
．
13．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足
．
14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝75t﹣1.5t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是
秒．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为
．
16．已知关于x的二次函数y＝mx2﹣2x+1，当x＜时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
17．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（7，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是
．
18．已知y＝x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是
．
19．抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3的顶点关于y轴对称的点的坐标为
．
20．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点，若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，若存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似．请求出点N的坐标
．
三．解答题
21．若函数y＝（a﹣1）x（b+1）+x2+1（x≠0）是二次函数，试讨论a、b的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，画出函数y＝（x﹣1）2的图象．
23．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
24．已知某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
2
0
…
求这个二次函数的表达式．
25．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
26．阅读以下内容，并回答问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1，b1，c1是常数，a1≠0）与y＝a2x2+b2x+c2（a2，b2，c2是常数，a2≠0）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
（1）请写出函数y＝﹣x2+4x﹣3的“旋转函数”的表达式及其顶点的坐标；
（2）已知函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A'，B'，C'，试判断过点A'，B'，C′的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）是否互为“旋转函数”，并说明理由．
27．二次函数y＝ax2+bx+c，其图象都在x轴及其上方，设t＝，则t的最值为多少？
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
C、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
D、该函数符合一次函数的定义，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2；
再向下平移3个单位为：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故选：B．
3．解：∵点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（3，y3）在函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，
∴y1＝2，y2＝﹣1，y3＝14，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
4．解：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
则x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或3，
故选：C．
5．解：依题意，设A点坐标为（﹣8，y），
代入抛物线方程得：y＝﹣×64＝﹣16，
即水面到桥拱顶点O的距离为16米．
故选：C．
6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
故选：D．
7．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以②错误．
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以④正确；
故选：D．
8．解：y＝2x2+3x﹣1＝2（x2+x+）﹣1﹣＝2（x+）2﹣，即y＝2（x+）2﹣，
故选：C．
9．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝2a0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为B（﹣4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，﹣1＜1，
∴a+b+c＞a﹣b+c，
∵直线y2＝mx+n（m≠0）经过抛物线的顶点坐标为B（﹣1，﹣3），
∴a﹣b+c＝﹣m+n，
∴a+b+c＞﹣m+n，所以⑤正确；
∵当﹣4＜x＜﹣1时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为﹣4＜x＜﹣1．所以⑥正确．
故选：B．
10．解：∵抛物线过点A（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项A错误，
若a＜0且y1＜y2，则|1﹣x1|＜|1﹣x2|，故选项B错误，
若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，则a＞0，故选项C错误，
若x1+x2＝2（x1≠x2），则AB∥CD，故选项D正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：y＝﹣2x2+8x﹣8
＝﹣2（x2﹣4x+4）
＝﹣2（x﹣2）2．
故答案为：﹣2（x﹣2）2．
12．解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴当x＝1时，y有最大值为1．
故答案为：1．
13．解：由题意得：2﹣k≠0，
解得：k≠2，
故答案为：k≠2．
14．解：由题意得，
s＝75t﹣1.5t2
＝﹣1.5（t2﹣50t+625﹣625）
＝﹣1.5（t﹣25）2+937.5，
即当t＝25秒时，飞机才能停下来．
故答案是：25．
15．解：∵顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，
∴y＝2或y＝5或y＝6，
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点只能为（2，2）或（4，6）或（5，5），
∵该函数图象的顶点为不与A、B重合，
∴M（4，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，把B（5，5）代入得a（5﹣4）2+6＝5，解得a＝﹣1；
∴a的值为﹣1．
故答案为﹣1．
16．解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴≥，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
17．解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜7时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为﹣1＜x＜7．
18．解：∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m＝3时，x2+3x﹣6＜0，
由y＝x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2+x﹣6＜0，
由y＝x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故答案为：﹣3＜x＜．
19．解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3中，a＝﹣2，b＝﹣8，c＝3，
∴﹣＝﹣＝﹣2，y＝＝＝11，
∴其顶点坐标是（﹣2，11），
∴关于y轴对称的点的坐标是（2，﹣11）．
故答案为：（2，﹣11）．
20．解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵抛物线经过原点，
∴a（0﹣1）2+1＝0，
解得，a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，
，
解得，，，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣3），
∴AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝3，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
设点N的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，﹣n2+2n），
当△ONM∽△ABC时，＝，即＝，
解得，n1＝﹣1，n2＝5，
当△ONM∽△CBA时，＝，即＝，
解得，n1＝，n2＝，
综上所述，点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0），
故答案为：（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
三．解答题
21．解
①a﹣1+1≠0且b+1＝2，解得a≠0，b＝1．
②a﹣1＝0且b为任意实数，解得a＝1，b为任意实数．
③a为任意实数且b+1＝1或0，解得a为任意实数，b＝0或﹣1．
综上所述，当a≠0，b＝1或a＝1，b为任意实数或a为任意实数，b＝0或﹣1时，y＝（a﹣1）xb+1+x2+1是二次函数．
22．解：函数y＝（x﹣1）2，
列表：
描点、连线，
．
23．（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3），
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．
24．解：∵抛物线经过点（1，0），（﹣2，），（0，），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，
把（1，0）代入得a（1+1）2+2＝0，解得a＝﹣，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+2．
25．解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
26．解：（1）由y＝﹣x2+4x﹣3函数可知，a1＝﹣1，b1＝4，c1＝﹣3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝1，b2＝4，c2＝3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝x2+4x+3，
函数的对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）是，理由：
当x＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
当y＝0时，y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（2，0），B1（﹣3，0），C1（0，﹣3）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝（x﹣2）（x+3），
同理可得：a2＝，b2＝，c2＝﹣3，
∴a1+a2＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝﹣（x+2）（x﹣3）互为“旋转函数”．
27．解：由题意得：a＞0且△＝b2﹣4ac≤0，
即（）2≤，
故t＝＝1++≥1++3（）2＝3（）2+≥，
当且仅当＝﹣时等号成立，
而（）2，无最大值，故t无最大值，
故t最小值为，无最大值．