2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第2章 圆》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湘教新版九年级下册数学《第2章
圆》单元测试卷
一．选择题
1．下图中∠ACB是圆心角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
3．已知，如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，以AB的中点D为圆心DC为半径，作圆心角为90°的扇形DEF，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．π﹣2
D．π﹣1
4．如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（　　）
A．k倍
B．2k倍
C．3k倍
D．
k倍
5．若过⊙O内一点P的最长弦的长度为8，最短弦的长度为4，则OP的长为（　　）
A．
B．2
C．3
D．4
6．已知⊙O的半径为3cm，且点P在⊙O外，则线段PO的长度为（　　）
A．等于6cm
B．大于3cm
C．小于3cm
D．等于3cm
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
8．如图，?O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（　　）
A．PC?CA＝PB?BD
B．CE?AE＝BE?ED
C．CE?CD＝BE?BA
D．PB?PD＝PC?PA
9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝AB．已知⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF＝：2，当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是（　　）
A．9
B．4
C．12或4
D．12或9
二．填空题
11．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝　
　．
12．如图，点A、B、C均在⊙O上，D是AB的延长线上的一点．若∠CBD＝70°，则∠AOC的大小为　
　．
13．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是　
　．
14．《九章算术》是我国数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“直角三角形短直角边长为8步，长直角边长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”如图，请写出内切圆直径是　
　步．
15．已知，如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且与x轴、y轴分别交于点A、B，点A的坐标为（，0），⊙M的切线OC与直线AB交于点C．则∠ACO＝　
　度．
16．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝　
　cm时，⊙M与OA相切．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为　
　．
18．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　
　．　
　
19．如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长　
　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，⊙O的圆心在AB边上，且分别与AC、BC分别相切于点D、B，若AB＝6cm，AC＝10cm，则⊙O的半径为　
　cm．
三．解答题
21．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．
22．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
23．如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
24．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若BD＝3，AD＝5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．
25．如图，在7×7的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，一条圆弧经过A，B，C三点．
（1）在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O；
（2）求弧AC的长．
26．如图1所示，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝78°，AC＝10．数学实践课上，小敏用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2所示），并通过上网查到以下几个数据：sin78°≈098，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．请你帮助她解决下列问题：
（1）∠ABC＝　
　°；
（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．
27．如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．
（1）求证：∠FEB＝∠ECF；
（2）求⊙O的半径长．
（3）求线段EF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；
C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
2．解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；
C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；
D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，
故选：C．
3．解：连接CD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠B＝45°，AB＝2，
∵CA＝CB，AD＝BD，
∴CD＝AB＝BD＝，CD⊥AB，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠BDF＝∠CDE，
在△BDG和△CDH中，
，
∴△BDG≌△CDH（ASA），
∴图中阴影部分的面积＝扇形EDF的面积﹣四边形DHCG的面积
＝扇形EDF的面积﹣△BDC的面积
＝﹣××＝﹣1，
故选：B．
4．解：∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以A为圆心的圆上，
∴∠BDC＝∠CAB，∠DBC＝∠DAC，
∵∠DAC＝k∠CAB，
∴∠DBC＝k∠CAB＝k×2∠BDC＝k∠BDC，
故选：A．
5．解：连接OC，如图所示：
根据题意得：AB＝8，CD＝4，CD⊥AB于点P，
则OC＝OA＝4，
∵CD⊥AB，
∴CP＝CD＝2，
∴OP＝＝＝2，
故选：B．
6．解：点P在⊙O外且⊙O的半径为3cm，
可知点P到圆心的距离大于r，即PO大于3，
故选：B．
7．解：
连接OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠A＝60°，
∵OD＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OB＝2，
∴AB＝2+2＝4，
故选：D．
8．解：∵∠P＝∠P，∠A＝∠D，
∴△PAB∽△PDC，
∴＝，
∴PB?PD＝PC?PA，
故选：D．
9．解：如图，连接OA，OB，
∵BM为⊙O的切线，
∴∠OBM＝90°，
∵∠MBA＝130°，
∴∠ABO＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：B．
10．解：当边BC所在的直线与⊙O相切时，如图1所示：
过点G作GN⊥AB，垂足为N，
则EN＝NF，GN＝AD＝8，
又∵EG：EF＝：2，
∴EG：EN＝：1，
设EN＝x，则GE＝x，
在Rt△GEN中，根据勾股定理得：（
x）2﹣x2＝64，
解得：x＝4，
∴GE＝4，
设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2+ON2，
得：r2＝16+（8﹣r）2，
解得：r＝5，
∴OK＝NB＝5，
∴EB＝9，
又∵AE＝AB，
∴AB＝12；
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，如图2所示：
∴OH＝AN＝5，
∴AE＝1．
又∵AE＝AB，
∴AB＝4；
故选：C．
二．填空题
11．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，
∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．
又∵PA?PB＝PC?PD，
∴4×6＝PD2，
则PD＝4．
故答案是：4．
12．解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝70°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×70°＝140°．
故答案为140°．
13．解：根据题意得，S扇形＝lR＝＝30（cm2）．
故答案为30cm2．
14．解：根据题意，直角三角形的斜边为＝17，
所以直角三角形的内切圆的半径＝＝3，
所以直角三角形的内切圆的直径为6．
故答案为6．
15．解：∵AB＝2，OA＝，
∴cos∠BAO＝＝，
∴∠OAB＝30°，∠OBA＝60°；
∵OC是⊙M的切线，
∴∠BOC＝∠BAO＝30°，
∴∠ACO＝∠OBA﹣∠BOC＝30°．
故答案为：30．
16．解：设⊙M与OA相切于N，
连接MN，
∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，
∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．
故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，
故答案为：6．
17．解：如图，P点为△ABC的外接圆的圆心，其坐标为（5，5）．
故答案为（5，5）．
18．解：连接PA，PA，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，
∴PH＝＝＝3，
∴P的坐标是（3，3），
故答案为：（3，3）．
19．解：连接OA，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，OC＝4，
∴AC＝BC＝AB＝3，
在Rt△OAC中，∵OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
20．解：如图，连接OD，
∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，
∴BC＝＝8（cm），
∵AC、BC分别相切于点D、B，
∴CD＝BC＝8（cm），
∴AD＝AC﹣CD＝2（cm），
在Rt△AOD中，AO＝AB﹣OB＝6﹣OB＝6﹣OD，
根据勾股定理，得
（6﹣OD）2＝OD2+22，
解得，OD＝（cm），
则⊙O的半径为cm．
故答案为：．
三．解答题
21．证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，
∵＝，
∴AB＝AC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
22．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
23．解：CD＝CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC＝∠BOC，
又∵OA＝OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD＝OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD＝CE．
24．解：（1）∵CD平分∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADC，
∴＝，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）如图，作CM⊥ED于点M，
由（1）知：∠CDA＝∠BDC＝60°，
∵CE∥BD，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，
∵∠BCD＝60°﹣∠ACD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE＝3，
∴DC＝DE＝DA+AE＝8，
∵CM⊥ED，
∴DM＝DE＝4，
∴CM＝＝4，
∴△CAE面积为：
AE?CM＝6．
25．解：（1）如图，连接AB，BC
作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线的交于点O，
则点O即为所示；
（2）连接A，AO，OC，
∵AC2＝62+22＝40，OA2+OC2＝42+22+42+22＝40，
∴AC2＝OA2+OC2，
∴∠AOC＝90°，
在Rt△AOC中，∵OA＝OC＝2，
∴的长＝＝π，
26．解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝＝108°，
∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，
故答案为：30；
（2）作CQ⊥AB于Q，
在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，
∴QC＝AC?sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，
在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2QC＝19.6，
∴GC＝BC﹣BG＝9.6．
27．解：（1）∵CB，CD是⊙O的切线，
∴CB＝CD，∠ODC＝∠OBC＝90°，
又∵OB＝OD，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠OCD＝∠OCB，
又∵EF⊥OG，
∴∠EFO＝90°，
∴∠OEF+∠EOF＝90°，
∵∠BOC+∠BCO＝90°，∠EOF＝∠BOC，
∴∠FEB＝∠ECF；
（2）在Rt△BCE中，BE＝＝＝8，
∵tan∠OED＝＝，
∴＝，
∴OD＝3，
即⊙O的半径为3；
（3）由勾股定理得，
OE＝＝＝5，
OC＝＝＝3，
∵∠FEO＝∠DCO，∠EFO＝∠CDO＝90°，
∴△EOF∽△COD，
∴＝，
即：＝，
∴EF＝2．