(共61张PPT)
考情分析
KAO
QING
FEN
XI
1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为
工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.
2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中
等难度.
内
容
索
引
考点一
考点二
专题强化练
1
考点一 三角恒等变换
PART
ONE
核心提炼
1.三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”.
2.三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化.
√
解析 由3cos
2α－8cos
α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos
α＝5，
即3cos2α－4cos
α－4＝0，
又因为α∈(0，π)，所以sin
α>0，
√
所以sin
β＝sin[α－(α－β)]＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
易错提醒
(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况.
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.
√
－2
2
考点二 正弦定理、余弦定理
PART
TWO
核心提炼
考向1 求解三角形中的角、边
考向2 求解三角形中的最值与范围问题
选②：因为(2a－b)sin
A＋(2b－a)sin
B＝2csin
C，
所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
(2)求△ABC周长的最大值.
在△ABC中，由余弦定理得
a2＋b2－2abcos
C＝3，即a2＋b2－ab＝3，
易错提醒
(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性.
(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围.
跟踪演练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为
A.4π
B.2π
C.π
D
.
√
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos
A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccos
A，
√
所以c＝4.
3
专题强化练
PART
THREE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
解析 由余弦定理得
1
2
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4
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√
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14
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
解析 在△ABC中，acos
B＋bcos
A＝2ccos
C，
则sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝2sin
Ccos
C，
即sin(A＋B)＝2sin
Ccos
C，
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，
1
2
3
4
5
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6.在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为
√
1
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3
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14
解析 因为A＝120°，a＝1，所以由正弦定理可得
二、多项选择题
1
2
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√
√
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14
解析 因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.
1
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所以a＝1，故C错误；
√
1
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√
1
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14
解析 ∵sin
2θ＝m，cos
2θ＝n，
1
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14
三、填空题
1
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整理得b2－a2＝2acsin
B－c2，
即b2＋c2－a2＝2acsin
B＝2bcsin
A，
由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos
A，
∴2bccos
A＝2bcsin
A，即cos
A＝sin
A，
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∴CF＝CE＝1.
∴在△FCB中，由余弦定理得
1
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解析 由题意知，4a2＝b2＋2c2?b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accos
B，
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四、解答题
13.(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C.
(1)求A；
解 由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.
①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A.
②
1
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(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值.
1
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14.(2020·重庆模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan
A).
(1)求角C；
1
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14
解 在△ABC中，由余弦定理知，
b2＋c2－a2＝2bccos
A，
所以2b2＝2bccos
A(1－tan
A)，
所以b＝c(cos
A－sin
A)，
得sin
B＝sin
C(cos
A－sin
A)，
所以sin(A＋C)＝sin
C(cos
A－sin
A)，
即sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin
Ccos
A－sin
Csin
A，
所以sin
Acos
C＝－sin
Csin
A，
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因为sin
A≠0，所以cos
C＝－sin
C，
所以tan
C＝－1，
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14
在△ABD中，由余弦定理知
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos
B
(答案不唯一)第3讲
三角恒等变换与解三角形
[考情分析] 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题.2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主，中等难度．
考点一 三角恒等变换
核心提炼
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化．
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由3cos
2α－8cos
α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos
α＝5，
即3cos2α－4cos
α－4＝0，
解得cos
α＝－或cos
α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin
α>0，
所以sin
α＝＝＝.
(2)已知sin
α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin
α＝，所以cos
α＝，
所以sin
β＝sin[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
跟踪演练1 (1)已知α∈，β∈，tan
α＝，则( )
A．α＋β＝
B．α－β＝
C．α＋β＝
D．α＋2β＝
答案 B
解析 tan
α＝＝
＝
＝＝＝tan，
因为α∈，β∈，
所以α＝＋β，即α－β＝.
(2)(tan
10°－)·＝________.
答案 －2
解析 (tan
10°－)·＝(tan
10°－tan
60°)·＝·＝·＝－＝－2.
考点二 正弦定理、余弦定理
核心提炼
1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos
A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos
A，cos
A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A.
考向1 求解三角形中的角、边
例2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值．
解 (1)由正弦定理及＝c，
得＝sin
C，
∵sin
C≠0，∴sin
A＝(1－cos
A)，
∴sin
A＋cos
A＝2sin＝，
∴sin＝，
又0
∴A＋＝，∴A＝.
(2)∵S△ABC＝bcsin
A＝bc＝4，∴bc＝16.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3bc，
又b＋c＝10，∴a2＝102－3×16＝52，∴a＝2.
考向2 求解三角形中的最值与范围问题
例3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝csin
A－acos
C，②(2a－b)sin
A＋(2b－a)sin
B＝2csin
C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的最大值．
解 (1)选①：因为a＝csin
A－acos
C，
所以sin
A＝sin
Csin
A－sin
Acos
C，
因为sin
A≠0，所以sin
C－cos
C＝1，
即sin＝，
因为0所以C－＝，即C＝.
选②：因为(2a－b)sin
A＋(2b－a)sin
B＝2csin
C，
所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos
C＝＝，
因为0(2)由(1)可知，C＝，
在△ABC中，由余弦定理得
a2＋b2－2abcos
C＝3，即a2＋b2－ab＝3，
所以(a＋b)2－3＝3ab≤，
所以a＋b≤2，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.
规律方法 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．
(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
跟踪演练2 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为( )
A．4π
B．2π
C．π
D.
答案 D
解析 由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos
A，a＝1，
所以b2＋c2－1＝2bccos
A，
又S＝bcsin
A,4S＝b2＋c2－1，
所以4×bcsin
A＝2bccos
A，
即sin
A＝cos
A，所以A＝，
由正弦定理得，＝2R，得R＝，
所以△ABC外接圆的面积为.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝3B，则的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(1,3)
C．(0,1]
D．(1,2]
答案 B
解析 A＝3B?＝＝＝＝＝2cos2B＋cos
2B＝2cos
2B＋1，即＝＝2cos
2B＋1，
又A＋B∈(0，π)，即4B∈(0，π)?2B∈?cos
2B∈(0,1)，∴∈(1,3)．
(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan
C＝，a＝b＝，BC边上的中点为D，则sin∠BAC＝________，AD＝________.
答案
解析 因为tan
C＝，所以sin
C＝，cos
C＝，
又a＝b＝，所以c2＝a2＋b2－2abcos
C＝13＋13－2×××＝16，所以c＝4.
由＝，得＝，
解得sin∠BAC＝.
因为BC边上的中点为D，所以CD＝，
所以在△ACD中，AD2＝b2＋2－2×b××cos
C＝，所以AD＝.
专题强化练
一、单项选择题
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，
所以cos
B＝＝＝.
2．(2020·全国Ⅲ)已知sin
θ＋sin＝1，则sin等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为sin
θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos?－cossin?＋
sincos?＋cossin?
＝2sincos?＝sin＝1.
所以sin＝.
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，＝1，B＝，则a的值为( )
A.－1
B．2＋2
C．2－2
D.＋
答案 D
解析 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，＝1，
所以＝1，所以tan
C＝1，C＝.
因为B＝，所以A＝π－B－C＝，
所以sin
A＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝.
由正弦定理可得＝，则a＝＋.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos
B＋bcos
A＝2ccos
C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为( )
A．1＋
B．2＋
C．4＋
D．5＋
答案 D
解析 在△ABC中，acos
B＋bcos
A＝2ccos
C，
则sin
Acos
B＋sin
Bcos
A＝2sin
Ccos
C，
即sin(A＋B)＝2sin
Ccos
C，
∵sin(A＋B)＝sin
C≠0，∴cos
C＝，∴C＝，
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，
即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin
C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
5．若α，β都是锐角，且cos
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β等于( )
A.
B.
C.或
D.或
答案 A
解析 因为α，β都是锐角，且cos
α＝<，
所以<α<，
又sin(α＋β)＝，而<<，
所以<α＋β<，
所以cos(α＋β)＝－＝－，
又sin
α＝＝，
所以cos
β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)·sin
α＝.
6．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c.若A＝120°，a＝1，则2b＋3c的最大值为( )
A．3
B.
C．3
D.
答案 B
解析 因为A＝120°，a＝1，所以由正弦定理可得
＝＝＝＝，
所以b＝sin
B，c＝sin
C，
故2b＋3c＝sin
B＋2sin
C
＝sin＋2sin
C
＝sin
C＋2cos
C＝sin(C＋φ)．
其中sin
φ＝，cos
φ＝，
所以2b＋3c的最大值为.
二、多项选择题
7．(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( )
A．cos
C＝
B．sin
B＝
C．a＝3
D．S△ABC＝
答案 AD
解析 因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理＝，得＝，即＝，所以cos
C＝，故A正确；因为cos
C＝，所以sin
C＝，所以sin
B＝sin
2C＝2sin
Ccos
C＝2××＝，故B错误；因为cos
B＝cos
2C＝2cos2C－1＝－，所以sin
A＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝×＋×＝，则cos
A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝bcsin
A＝×2×3×＝，故D正确．
8．已知0<θ<，若sin
2θ＝m，cos
2θ＝n且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有( )
A.
B.
C.
D.
答案 AD
解析 ∵sin
2θ＝m，cos
2θ＝n，
∴m2＋n2＝1，∴＝，
∴tan＝＝
＝＝＝＝.
三、填空题
9．(2020·保定模拟)已知tan＝，则＝________.
答案 －
解析 因为tan＝，所以＝，
即＝，解得tan
α＝－，
所以＝＝tan
α－＝－.
10．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且＝，则A＝________.
答案
解析 由正弦定理＝＝，
得＝，
整理得b2－a2＝2acsin
B－c2，
即b2＋c2－a2＝2acsin
B＝2bcsin
A，
由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos
A，
∴2bccos
A＝2bcsin
A，即cos
A＝sin
A，
∴tan
A＝1，∴A＝.
11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.
答案 －
解析 在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝，∴BD＝，∴FB＝BD＝.
在△ACE中，∵AE＝AD＝，AC＝1，∠CAE＝30°，
∴EC＝＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝＝＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cos∠FCB＝＝＝－.
12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则的最大值为________．
答案
解析 由题意知，4a2＝b2＋2c2?b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accos
B，
整理，得2accos
B＝－3a2＋3c2?cos
B＝，
因为2＝2＝2＝，
代入cos
B＝，整理得
2＝－，
令t＝，则2＝－(9t2－22t＋9)
＝－2＋，
所以2≤，所以≤，故的最大值为.
四、解答题
13．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin
Bsin
C.
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解 (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos
A．②
由①②得cos
A＝－.
因为0(2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，
从而AC＝2sin
B，
AB＝2sin(π－A－B)＝3cos
B－sin
B.
故BC＋AC＋AB＝3＋sin
B＋3cos
B
＝3＋2sin.
又0所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2.
14．(2020·重庆模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan
A)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cos
B＝.
解 (1)在△ABC中，由余弦定理知，
b2＋c2－a2＝2bccos
A，
所以2b2＝2bccos
A(1－tan
A)，
所以b＝c(cos
A－sin
A)，
又由正弦定理知，＝，
得sin
B＝sin
C(cos
A－sin
A)，
所以sin(A＋C)＝sin
C(cos
A－sin
A)，
即sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin
Ccos
A－sin
Csin
A，
所以sin
Acos
C＝－sin
Csin
A，
因为sin
A≠0，所以cos
C＝－sin
C，
所以tan
C＝－1，
又因为0(2)选择条件②，cos
B＝，
因为cos
B＝，且0B＝，
因为sin
A＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B
＝×＋×＝，
由正弦定理知＝，
所以a＝＝＝2，
在△ABD中，由余弦定理知
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos
B
＝(2)2＋()2－2×2××＝26，
所以AD＝.
(答案不唯一)