第2课时 组合数的应用
学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．
一、简单的组合问题
例1 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．
(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．
答案 (1)45 (2)21 (3)90
解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
即C＝＝＝45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种方法；
第2类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类加法计数原理，
共有C＋C＝＋＝＋＝15＋6＝21(种)不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝×＝90(种)．
反思感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)把一个实际问题转化为组合问题，体现了数学抽象的核心素养．
跟踪训练1 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35.
二、有限制条件的组合问题
例2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
解 (1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类女队长当选，有C＝495(种)选法，
第二类女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练2 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )
A．210种
B．420种
C．56种
D．22种
答案 A
解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．
三、分组、分配问题
命题角度1 平均分组
例3－1 (1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
解 (1)先从6本书中选2本给甲，有C种方法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC＝90(种)方法．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本，有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有A种方法．根据分步乘法计数原理，可得CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法．
命题角度2 不平均分组
例3－2 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？
解 (1)这是“不平均分组”问题，一共有CCC＝60(种)方法．
(2)在(1)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法．
命题角度3 分配问题
例3－3 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
解 可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有CCC＝90(种)方法；②“1,2,3型”，有CCCA＝360(种)方法；③“1，1,4型”，有CA＝90(种)方法，所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法．
(学生)反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
跟踪训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多1个球，有多少种放法？
(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法．
(2)这是全排列问题，共有A＝24(种)放法．
(3)方法一 先将4个小球分为3组，有种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，故共有·A＝144(种)放法．
方法二 先取4个球中的2个“捆”在一起，有C种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有A种投放方法，所以共有CA＝144(种)放法．
(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有C·2＝8(种)放法．
(5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC＝12(种)放法．
(6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成
4组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C＝286(种)放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球．
与几何有关的组合应用题
典例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以除A，B外的10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
解 (1)方法一 可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个)．
方法二 可作三角形C－C＝116(个)，
其中以C1为顶点的三角形有C＋C·C＋C＝36(个)．
(2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个)．
[素养提升] (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养．
1．某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有( )
A．C种
B．A种
C．C种
D．C种
答案 C
解析 只需再从其他7名队员中选3人，即C种选法．
2．在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为( )
A．4×13手
B．134手
C．A手
D．C手
答案 D
解析 本题实质上是从52个元素中取13个元素为一组，故一名参赛者可能得到C手不同的牌．
3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有______种不同选法．
答案 84
解析 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C＝＝＝84(种)选法．
4．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______．
答案 96
解析 从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96(种)．
5．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．
答案 18
解析 从4名男医生中选2人，有C种选法，从3名女医生中选1人，有C种选法，由分步乘法计数原理知，所求选法种数为CC＝18.
1．知识清单：
(1)简单的组合问题．
(2)有限制条件的组合问题．
(3)分组分配问题．
2．方法归纳：分类讨论、正难则反．
3．常见误区：分组分配问题中是否“均分”问题．
1．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )
A．5
040
B．36
C．18
D．20
答案 D
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)．
2．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )
A．60种
B．48种
C．30种
D．10种
答案 C
解析 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种)，故选C.
3．已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为( )
A．CC＋CC
B．(C＋C)(C＋C)
C．C－9
D．C－C
答案 A
解析 可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC，故选A.
4．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有( )
A．C·C种
B．CC＋CC种
C．C－C种
D．C－CC种
答案 B
解析 至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种抽法，(2)3件次品，2件正品，共CC种抽法，由分类加法计数原理得，抽法共有CC＋CC种．
5．空间中有10个点，其中有5个点(任意三点不共线)在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205
B．110
C．204
D．200
答案 A
解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.
6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．
答案 36
解析 把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36(种)保送方案．
7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
答案 4
186
解析 分两类，有4件次品的抽法为CC种；有3件次品的抽法有CC种，所以共有CC＋CC＝4
186(种)不同的抽法．
8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
答案 336
解析 当每个台阶上各站1人时有CA种站法；当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法．因此不同的站法种数为CA＋CCC＝210＋126＝336.
9．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解 可以分三类：
第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法；
第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法；
第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法．
根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法．
10．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
解 (1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况．
第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况．
第三步，将3个偶数、4个奇数进行排列，有A种情况．
所以符合题意的七位数有C·C·A＝100
800(个)．
(2)在(1)中的七位数中3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14
400(个)．
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝
5
760(个)．
(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)中，共有C·C·A·A＝28
800(个)．
11．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )
A．CCC
B．CAA
C.
D．CCCA
答案 A
解析 首先从14人中选出12人共C种，然后将12人平均分为3组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共C·C·C种．故选A.
12．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为( )
A．CC＋CC
B．CC＋CC
C．CC＋CC＋CC
D．CC＋CC
答案 C
解析 第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有CC个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与从OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有CC个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个．
由分类加法计数原理知，可作出的三角形的个数为CC＋CC＋CC.
13．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60种
B．63种
C．65种
D．66种
答案 D
解析 从1,2,3，…，9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：(1)取出的4个数都是偶数，取法有C＝1(种)；(2)取出的4个数中有2个偶数、2个奇数，取法有CC＝60(种)；(3)取出的4个数都是奇数，取法有C＝5(种)．根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种)．
14．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________．
答案 1
560
解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有＝20(种)．
若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有×＝45(种)．
故所有分组方法共有20＋45＝65(种)．
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A＝1
560(种)．
15．(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 BD
解析 任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这
2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD.
16．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解 (1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．
所以共有不同测试方法A·A·A＝103
680(种)．
(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法CCA＝576(种)．(共58张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题.
内
容
索
引
题型探究
随堂演练
课时对点练
题型探究
1
PART
ONE
例1 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.
(1)现要从中选2名去参加会议，有_____种不同的选法；
一、简单的组合问题
解析 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，
45
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有_____种不同的选法；
解析 可把问题分两类情况：
根据分类加法计数原理，
21
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_____种不同的选法.
90
反思感悟
(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
(2)把一个实际问题转化为组合问题，体现了数学抽象的核心素养.
跟踪训练1 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？
解 从口袋内的8个球中取出3个球，
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
二、有限制条件的组合问题
例2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
解 至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
(3)既要有队长，又要有女生当选.
解 分两类：
所以共有495＋295＝790(种)选法.
反思感悟
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
跟踪训练2 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
A.210种
B.420种
C.56种
D.22种
√
命题角度1 平均分组
例3-1
(1)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？
三、分组、分配问题
(2)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？
第一步，分为三份，每份两本，设有x种方法；
因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.
命题角度2 不平均分组
例3-2 (1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？
(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？
命题角度3 分配问题
例3－3 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？
反思感悟
“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
跟踪训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多1个球，有多少种放法？
解 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.
(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
与几何有关的组合应用题
典例 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点
D1，D2，D3，D4.
(1)以除A，B外的10个点中的3个点为顶点可作多
少个三角形？其中含C1点的有多少个？
核心素养之数学抽象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
CHOU
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
素养
提升
(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.
(2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养.
2
随堂演练
PART
TWO
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有_____种不同选法.
84
1
2
3
4
5
4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______.
96
5.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有_____种.
1
2
3
4
5
18
1.知识清单：
(1)简单的组合问题.
(2)有限制条件的组合问题.
(3)分组分配问题.
2.方法归纳：分类讨论、正难则反.
3.常见误区：分组分配问题中是否“均分”问题.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
3
课时对点练
PART
THREE
1.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是
A.5
040
B.36
C.18
D.20
解析 最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有
＝20(种).
基础巩固
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√
2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有
A.60种
B.48种
C.30种
D.10种
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16
5.空间中有10个点，其中有5个点(任意三点不共线)在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205
B.110
C.204
D.200
√
6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有_____种.
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36
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7.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种.
4
186
8.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是______.(用数字作答)
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16
9.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
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解 可以分三类：
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16
10.从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
解 分步完成：
(2)在(1)中3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
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(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
综合运用
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13.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
√
解析 从1,2,3，…，9这9个数中取出4个不同的数，其和为偶数的情况包括：
根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种).
14.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
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解析 先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
若4个组的人数按3,1,1,1分配，
若4个组的人数为2,2,1,1，
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
15.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为
A.1
B.2
C.3
D.4
拓广探究
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√
√
解析 任意两位同学之间交换纪念品共要交换
＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.
现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人.故选BD.
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16.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止.
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
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解 第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法
＝576(种).
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有的4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(共63张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解组合的定义、正确认识组合与排列的区别与联系.
2.掌握组合数公式及组合数的性质，并会运用它们进行计算.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 组合
1.组合的定义
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.
并成一组
2.排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
不同点
排列问题中对象有序，组合问题中对象无序
关系
组合数
与排列数
间存在的关系
＝_______
知识点二 组合数与组合数公式
组合数定义及表示
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示
组合数
公式
乘积形式
＝__________________________
阶乘形式
＝__________________
知识点三 组合数的性质
1.从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象作为一组是组合问题.
(
)
2.“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
一、组合概念的理解
解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
解 冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
解 3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
解 3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题.
反思感悟
排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可.
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合.
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
解 因为一种火车票与起点、终点的顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题.
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生.
解 由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题.
解 从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题.
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中：
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
反思感悟
组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举.
跟踪训练2
从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合.
解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种.
三、组合数公式与组合数性质的应用
∵n∈N＋，∴n＝10，
命题角度2 与组合数有关的证明
例3－2
√
√
√
√
又n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N＋，∴m＝2，
反思感悟
＝4
950＋200＝5
150.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.(多选)下面四组元素，是相同组合的是
A.a，b，c—b，c，a
B.a，b，c—a，c，b
C.a，c，d—d，a，c
D.a，b，c—a，b，d
√
√
√
2.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是
A.10
B.5
C.4
D.1
1
2
3
4
5
√
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法.
1
2
3
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5
√
1
2
3
4
5
4.给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是____.
2
解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题.
1
2
3
4
5
8
1.知识清单：
(1)组合的定义.
(2)用列举法写组合.
(3)组合数公式及组合数性质的应用.
2.方法归纳：枚举法.
3.常见误区：分不清是“排列”还是“组合”.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有
A.由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B.五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C.由1,2,3组成两位数的不同方法数
D.由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
解析 集合中元素具有无序性，A选项是组合问题，单循环比赛没有顺序问题，B选项是组合问题，C，D选项与顺序有关，不是组合问题.
基础巩固
1
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√
4.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为
A.3
B.4
C.12
D.24
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√
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
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√
√
√
解析 A是组合数公式；
B是组合数性质；
6.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为____.
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{2,3,4}
即n2－3n－10<0，解得－2由题设条件知n≥2，且n∈N＋，则n＝2,3,4，
故原不等式的解集为{2,3,4}.
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4或9
∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，
即x＝4或x＝9.
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9.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
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16
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
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(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
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16
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
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16
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
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16
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
11.(多选)下列问题是组合问题的有
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2
020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可
以构成多少条线段
C.集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个
D.从高三(1)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞
节目，有多少种选法
综合运用
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16
√
√
√
解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.
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12.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有
A.60种
B.36种
C.10种
D.6种
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√
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315
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16
{3,4}
解析 由题意，得3≤x≤5且x∈N＋.
15.从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则一共有_____种不同的取法，一共有____个不同的计算结果.
拓广探究
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解析 由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a，b)表示每一种取法，并且(a，b)与(b，a)是同一种取法.
从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)，共10种.
1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个.
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16
即x＝0或n＝3x.
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15
16
所以n＝15.
即所求x的值为5，n的值为15.3．1.3 组合与组合数
第1课时 组合与组合数、组合数的性质
学习目标 1.理解组合的定义、正确认识组合与排列的区别与联系.2.掌握组合数公式及组合数的性质，并会运用它们进行计算．
知识点一 组合
1．组合的定义
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
2．排列与组合的关系
相同点
两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
不同点
排列问题中对象有序，组合问题中对象无序
关系
组合数C与排列数A间存在的关系A＝CA
知识点二 组合数与组合数公式
组合数定义及表示
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示
组合数
公式
乘积形式
C＝
阶乘形式
C＝
知识点三 组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＋C＝C.
1．从a1，a2，a3三个不同对象中任取两个对象作为一组是组合问题．( √ )
2．“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．( × )
3．组合数C＝.( √ )
4．方程C＝C的解为x＝2.( × )
一、组合概念的理解
例1 给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
(学生)反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
解 (1)因为一种火车票与起点、终点的顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
二、组合的个数问题
例2 在A，B，C，D四位候选人中：
(1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；
(3)类比上述两个结果间的等量关系，你能找出排列数A与组合数C间的等量关系吗？
解 (1)从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.
(2)从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有C＝6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
(3)由(1)(2)我们发现，(2)中每一个组合都对应A个排列，即A＝CA.类比可知，从n个不同元素选出m个元素的排列数A与组合数C间的等量关系为A＝CA.
反思感悟 组合个数的求解策略
(1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举．
(2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解．
跟踪训练2 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？请写出所有组合．
解 先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示：
由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10种．
三、组合数公式与组合数性质的应用
命题角度1 化简与求值
例3－1 求值：
(1)3C－2C；
(2)C＋C.
解 (1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)∵∴9.5≤n≤10.5.
∵n∈N＋，∴n＝10，
∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝466.
命题角度2 与组合数有关的证明
例3－2 证明：mC＝nC.
证明 mC＝m·
＝
＝n·＝nC.
命题角度3 与组合数有关的方程或不等式
例3－3 (1)(多选)若C>C，则n的可能取值有( )
A．6
B．7
C．8
D．9
答案 ABCD
解析 由C>C得
??又n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
(2)已知－＝，求C＋C.
解 ∵－＝，
∴－＝，
即－
＝，
∴1－＝，
即m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21.
∵0≤m≤5，m∈N＋，∴m＝2，
∴C＋C＝C＋C＝C＝84.
反思感悟 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明．
(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N＋.
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质：
①C＝C；②C＝C＋C.
跟踪训练3 (1)计算：C＋C；
(2)证明：C＝C.
(1)解 C＋C＝C＋C＝＋200
＝4
950＋200＝5
150.
(2)证明 C＝·
＝＝C.
1．(多选)下面四组元素，是相同组合的是( )
A．a，b，c—b，c，a
B．a，b，c—a，c，b
C．a，c，d—d，a，c
D．a，b，c—a，b，d
答案 ABC
2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10
B．5
C．4
D．1
答案 B
解析 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
3．C＋C的值为( )
A．72
B．36
C．30
D．42
答案 B
解析 C＋C＝C＋C
＝＋＝15＋21＝36.
4．给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是________．
答案 2
解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题．
5．若C＝28，则n的值为________．
答案 8
解析 因为C＝28，所以n(n－1)＝28，又n∈N＋，所以n＝8.
1．知识清单：
(1)组合的定义．
(2)用列举法写组合．
(3)组合数公式及组合数性质的应用．
2．方法归纳：枚举法．
3．常见误区：分不清是“排列”还是“组合”．
1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )
A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1,2,3组成两位数的不同方法数
D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数
答案 AB
解析 集合中元素具有无序性，A选项是组合问题，单循环比赛没有顺序问题，B选项是组合问题，C，D选项与顺序有关，不是组合问题．
2．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种
B．C种
C．CA种
D．30种
答案 B
解析 三张票没区别，从10人中选3人，即C.
3．计算：C＋C＋C等于( )
A．120
B．240
C．60
D．480
答案 A
解析 C＋C＋C＝＋＋＝120.
4．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3
B．4
C．12
D．24
答案 B
解析 由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.
5．(多选)下列等式正确的有( )
A．C＝
B．C＝C
C．C＝C
D．C＝C
答案 ABC
解析 A是组合数公式；B是组合数性质；由C＝×＝C得C正确；D错误．
6．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为________．
答案 28
解析 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建C＝＝＝28(条)公路．
7．不等式C－n<5的解集为________．
答案 {2,3,4}
解析 由C－n<5，得－n<5，
即n2－3n－10<0，解得－2由题设条件知n≥2，且n∈N＋，则n＝2,3,4，
故原不等式的解集为{2,3,4}．
8．若C＝C，则x＝________.
答案 4或9
解析 ∵C＝C，
∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，
即x＝4或x＝9.
9．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？
(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？
(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？
解 (1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90.
(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C＝＝45.
(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝＝45.
(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝＝120.
(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A＝720.
10．已知2C＝C＋C，求C的值．
解 由题意得2×＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
11．(多选)下列问题是组合问题的有( )
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2
020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三个元素的子集有多少个
D．从高三(1)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
答案 ABC
解析 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，故选ABC.
12．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种
B．36种
C．10种
D．6种
答案 D
解析 甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有C＝＝6(种)不同的选法．
13．C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案 7
315
解析 原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7
315.
14．不等式C＋A<30的解集为________．
答案 {3,4}
解析 由题意，得3≤x≤5且x∈N＋.
当x＝3时，C＋A＝10＋6＝16<30成立；
当x＝4时，C＋A＝5＋24＝29<30成立；
当x＝5时，C＋A＝1＋60＝61>30.
所以不等式C＋A<30的解集为{3,4}．
15．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则一共有________种不同的取法，一共有________个不同的计算结果．
答案 10 8
解析 由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a，b)表示每一种取法，并且(a，b)与(b，a)是同一种取法．
从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)，共10种．
1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．
16．已知试求x和n的值．
解 由C＝C，得x＝2x或x＋2x＝n，
即x＝0或n＝3x.
显然当x＝0时，C无意义，
把n＝3x代入C＝C，
得C＝C，
即＝·，
所以＝，解得x＝5.
所以n＝15.
即所求x的值为5，n的值为15.
