§3.1 排列与组合
3．1.1 基本计数原理
学习目标 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步．
1．在分类加法计数原理中，n类不同方案中的方法可以相同．( × )
2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( √ )
3．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )
一、分类加法计数原理
例1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有( )
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个
答案 A
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．
延伸探究
1．若本例条件不变，结论变为“则方程＋＝1表示焦点位于y轴上的椭圆”有( )
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个
答案 A
解析 因为椭圆的焦点在y轴上，所以m(教师)2.若本例条件变为“设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他条件不变，有( )
A．8个
B．10个
C．12个
D．16个
答案 B
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.
当m＝5时，n＝1,2,3,4.
当m＝4时，n＝1,2,3.
当m＝3时，n＝1,2.
当m＝2时，n＝1.
即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个)．
反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
跟踪训练1 某校高三共有三个班，各班人数如下表：
男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解 (1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：
第一类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第二类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第三类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第一类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第二类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第三类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．
二、分步乘法计数原理
例2 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)．问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
解 (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法．
根据分步乘法计数原理，得P(a，b)可表示平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；
第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法．
根据分步乘法计数原理，得P(a，b)可表示第二象限点的个数为3×2＝6.
反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步．
(2)计数：求出每一步中的方法数．
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．(用数字作答)
答案 18 6
解析 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个)．
若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个)．
三、两个基本计数原理的综合应用
例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解 (1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．
(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．
(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．
(学生)反思感悟 使用两个基本计数原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．
跟踪训练3 如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解 要从甲地到丙地共有两类不同的方案：
第一类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：
第一步，从甲地到乙地，有3条公路可走；
第二步，从乙地到丙地，有2条公路可走．
根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法．
第二类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法．
由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法．
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3
B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24
D．以上都不对
答案 B
2．从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3
D．2
答案 B
解析 根据分类加法计数原理，共有3＋2＝5(种)．
3．现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为( )
A．7
B．64
C．12
D．81
答案 C
解析 要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．
4．用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的两位偶数．
答案 2
解析 写成没有重复数字的两位偶数分两步：第一步，个位数是偶数有1种选法；第二步，选十位数有2种选法，故可写出1×2＝2(个)没有重复数字的两位偶数．
5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
答案 36
解析 第一步取数b，有6种方法，第二步取数a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)虚数．
1．知识清单：
(1)分类加法计数原理．
(2)分步乘法计数原理．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误．
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种
B．9种
C．3种
D．26种
答案 B
解析 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法．
2．从9道选择题与3道填空题中任选1道题进行解答，不同的选择方法有( )
A．10种
B．12种
C．13种
D．14种
答案 B
3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )
A．1
B．3
C．6
D．9
答案 D
解析 这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点．
4．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为( )
A．2＋4＋3
B．2×4＋3
C．2×3＋4
D．2×4×3
答案 B
解析 分两类，第一类是从甲地经乙地到丙地，有2×4＝8(种)走法，第二类是直接从甲地到丙地，有3种走法．所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3.
5．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )
A．4个
B．7个
C．10个
D．12个
答案 C
解析 当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；
当b＝3时，c＝4,5,6；
当b＝4时，c＝4,5,6,7.
故共有1＋2＋3＋4＝10(个)这样的三角形．
6．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法________种．
答案 16
解析 由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法．
7．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．
答案 5 6
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法．
对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的一个开关；
第二步，合上B中的一个开关，
故有2×3＝6(种)不同的方法．
8．用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有________个．
答案 15
解析 分三类：
第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；
第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个．
所以可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．
9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
解 (1)选1人，可分三类：
第一类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第二类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第三类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．
(2)选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：
第一步，选教师，有3种不同的选法；
第二步，选男同学，有8种不同的选法；
第三步，选女同学，有5种不同的选法．
共有3×8×5＝120(种)不同的选法．
10．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解 分两类完成：
第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；
第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，共有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．
由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．
11．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A．24种
B．36种
C．42种
D．60种
答案 D
解析 每个比赛项目的场馆选择都有4种，于是总的方案共有4×4×4＝64(种)，在每一个场馆比赛的项目超过两项即三项的安排方案有1种，共4种选择，于是在同一个场馆比赛的项目不超过两项的安排方案共有64－4＝60(种)．
12．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
答案 ABD
解析 当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，故有3×2＝6(个)，选项B正确；若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误．
13.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26
B．24
C．20
D．19
答案 D
解析 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
14．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为________．
答案 13
解析 由已知得ab≤1.
当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
所以共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
15．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有( )
A．32个
B．34个
C．36个
D．38个
答案 A
解析 先把集合中的元素分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选1个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)满足题意的子集．
16．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2
000大的四位偶数？
解 完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2
000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2
000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2
000大的四位偶数，其方法步骤同第二类．对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2
000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).(共54张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.
2.会用这两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝
种不同的方法.
m1＋m2＋…＋mn
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝
种不同的方法.
思考 如何区分“完成一件事”是分类还是分步？
答案 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步.
m1×m2×…×mn
1.在分类加法计数原理中，n类不同方案中的方法可以相同.(
)
2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.(
)
3.在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、分类加法计数原理
√
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.
当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，
即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个).
解析 因为椭圆的焦点在y轴上，所以m√
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.
当m＝5时，n＝1,2,3,4.
当m＝4时，n＝1,2,3.
当m＝3时，n＝1,2.
当m＝2时，n＝1.
即所求的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10(个).
2.若本例条件变为“设集合A＝{1,2,3,4,5}，m，n∈A”，其他条件不变，有
A.8个
B.10个
C.12个
D.16个
√
反思感悟
应用分类加法计数原理应注意如下问题
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事.
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法，即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的.
跟踪训练1 某校高三共有三个班，各班人数如下表：
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？
?
男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
解 从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有三类不同的方案：
第一类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第二类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第三类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
?
男生人数
女生人数
总人数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
解 从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
第一类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第二类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第三类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法.
二、分步乘法计数原理
例2 已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：
(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
解 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第一步，确定a的值，共有6种方法；
第二步，确定b的值，也有6种方法.
根据分步乘法计数原理，得P(a，b)可表示平面上的点的个数是6×6＝36.
(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
解 确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步，确定a，由于a<0，所以有3种不同的确定方法；
第二步，确定b，由于b>0，所以有2种不同的确定方法.
根据分步乘法计数原理，得P(a，b)可表示第二象限点的个数为3×2＝6.
反思感悟
利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步.
(2)计数：求出每一步中的方法数.
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.
跟踪训练2
从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共____个，其中不同的偶函数共
___个.(用数字作答)
解析 一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的二次函数3×3×2＝18(个).
若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6(个).
18
6
三、两个基本计数原理的综合应用
例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
解 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法.
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
解 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法.
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法.
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法.
反思感悟
使用两个基本计数原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理.
跟踪训练3
如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解 要从甲地到丙地共有两类不同的方案：
第一类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成：
第一步，从甲地到乙地，有3条公路可走；
第二步，从乙地到丙地，有2条公路可走.
根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法.
第二类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法.
由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为
A.1＋1＋1＝3
B.3＋4＋2＝9
C.3×4×2＝24
D.以上都不对
√
2.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为
A.6
B.5
C.3
D.2
1
2
3
4
5
√
解析 根据分类加法计数原理，共有3＋2＝5(种).
1
2
3
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5
3.现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的选法种数为
A.7
B.64
C.12
D.81
√
解析 要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；
第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.
故共有4×3＝12(种)不同的配法.
4.用1,2,3这三个数字能写出____个没有重复数字的两位偶数.
1
2
3
4
5
2
解析 写成没有重复数字的两位偶数分两步：
第一步，个位数是偶数有1种选法；
第二步，选十位数有2种选法，故可写出1×2＝2(个)没有重复数字的两位偶数.
1
2
3
4
5
5.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有_____个.
36
解析 第一步取数b，有6种方法，第二步取数a，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(个)虚数.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
1.知识清单：
(1)分类加法计数原理.
(2)分步乘法计数原理.
2.方法归纳：分类讨论.
3.常见误区：“分类”与“分步”不清，导致计数错误.
4
课时对点练
PART
FOUR
1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有
A.24种
B.9种
C.3种
D.26种
解析 不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.
基础巩固
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√
2.从9道选择题与3道填空题中任选1道题进行解答，不同的选择方法有
A.10种
B.12种
C.13种
D.14种
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√
3.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是
A.1
B.3
C.6
D.9
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√
解析 这件事可分为两步完成：
第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；
第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法.
根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点.
4.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为
A.2＋4＋3
B.2×4＋3
C.2×3＋4
D.2×4×3
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解析 分两类，第一类是从甲地经乙地到丙地，有2×4＝8(种)走法，第二类是直接从甲地到丙地，有3种走法.
所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3.
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5.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有
A.4个
B.7个
C.10个
D.12个
√
解析 当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；
当b＝3时，c＝4,5,6；
当b＝4时，c＝4,5,6,7.
故共有1＋2＋3＋4＝10(个)这样的三角形.
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6.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一个门出，共有不同走法____种.
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解析 由分步乘法计数原理得共有4×4＝16(种)走法.
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7.若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有____种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有____种不同的方法.
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解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5(种)不同的方法.
对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的一个开关；
第二步，合上B中的一个开关，
故有2×3＝6(种)不同的方法.
8.用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有____个.
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解析 分三类：
第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；
第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个.
所以可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个).
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9.有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
解 选1人，可分三类：
第一类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第二类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第三类，从女同学中选1人，有5种不同的选法.
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法.
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(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
解 选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：
第一步，选教师，有3种不同的选法；
第二步，选男同学，有8种不同的选法；
第三步，选女同学，有5种不同的选法.
共有3×8×5＝120(种)不同的选法.
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10.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解 分两类完成：
第一类：当A或B中有一个为0时，表示直线为x＝0或y＝0，共有2条；
第二类：当A，B都不取0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第一步，确定A的值，从1,2,3,5中选一个，共有4种不同的方法；
第二步，确定B的值，共有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线.
由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条).
11.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有
A.24种
B.36种
C.42种
D.60种
综合运用
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√
解析 每个比赛项目的场馆选择都有4种，于是总的方案共有4×4×4＝64(种)，在每一个场馆比赛的项目超过两项即三项的安排方案有1种，共4种选择，于是在同一个场馆比赛的项目不超过两项的安排方案共有64－4＝60(种).
12.(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程
＝1的说法正确的是
A.可表示3个不同的圆
B.可表示6个不同的椭圆
C.可表示3个不同的双曲线
D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
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√
√
解析 当m＝n>0时，方程
＝1表示圆，故有3个，选项A正确；
当m≠n且m，n>0时，方程
＝1表示椭圆，故有3×2＝6(个)，选项B正确；
若椭圆的焦点在x轴上，则m>n>0，当m＝4时，n＝2,3；当m＝3时，n＝2，即所求的椭圆共有2＋1＝3(个)，选项D正确；
当mn<0时，方程
＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误.
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解析 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.
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13.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为
A.26
B.24
C.20
D.19
√
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14.满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为_____.
13
解析 由已知得ab≤1.
当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能.
所以共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
15.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有
A.32个
B.34个
C.36个
D.38个
拓广探究
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解析 先把集合中的元素分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选1个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)满足题意的子集.
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16.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2
000大的四位偶数？
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解 完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2
000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2
000大的四位偶数，可以分三步完成：
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第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法.
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2
000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2
000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).
