3.1.2 排列与排列数
第1课时 排列与排列数
学习目标 1.理解并掌握排列的概念.2.能用计数原理推导排列数公式.3.理解并掌握排列数公式．
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．
知识点二 排列数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示．
思考 排列与排列数相同吗？
答案 排列数是对象排列的个数，两者显然不同．
知识点三 排列数公式及全排列
1．排列数的两种形式
(1)A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N＋，并且m≤n.
(2)A＝.
2．全排列：把n个不同对象全部取出的一个排列，叫做n个对象的全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.
1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．( × )
2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( √ )
3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( × )
4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同，得到的就是相同的排列．( × )
5．A＝5×2＝10.( × )
一、排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
解 (1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
(学生)反思感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
解 (1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．
(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．
若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；
在双曲线－＝1中，不管a>b还是a(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．
二、画树形图写排列
例2 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．
解 树形图(如图)：
由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
反思感悟 树形图的画法
(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位．
(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类．
(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止．
跟踪训练2 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
解 (1)由题意画树形图，如图．
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．
(2)由题意画树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
三、排列数公式的应用
命题角度1 利用排列数公式求值
例3－1 计算A和A.
解 A＝15×14×13＝2
730，
A＝6×5×4×3×2×1＝720.
命题角度2 利用排列数公式化简
例3－2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；
(2)化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)．
解 (1)∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
(2)由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m)＝A.
命题角度3 利用排列数公式证明
例3－3 求证A－A＝mA.
证明 ∵A－A＝－
＝·＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
反思感悟 排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数．
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
跟踪训练3 不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
答案 D
解析 由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，解得7又所以2≤x≤8，②
由①②及x∈N＋，得x＝8.
1．(多选)下面问题中，不是排列问题的是( )
A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
答案 BCD
解析 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A．甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B．甲乙丙、乙丙甲
C．甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D．甲乙、甲丙、乙丙
答案 C
解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．
3．A等于( )
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
答案 C
4．89×90×91×92×…×100可表示为( )
A．A
B．A
C．A
D．A
答案 C
解析 89×90×91×92×…×100＝＝＝A.
5.＝________.
答案 36
解析 ＝＝36.
1．知识清单：
(1)排列的定义．
(2)“树形图”法列举排列．
(3)排列数，排列数公式．
(4)全排列，阶乘的概念．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：
(1)排列定义不明确．
(2)忽视A中“n，m是自然数”这个条件．
1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有( )
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
答案 BD
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
2．设m∈N＋，且m<15，则A等于( )
A．(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)
B．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)
C．(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
D．(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
答案 C
解析 A是指从20－m开始依次连续的6个数相乘，即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)．
3．已知A－A＝10，则n的值为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案 B
解析 由A－A＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6
B．4
C．8
D．10
答案 B
解析 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．
5．下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
答案 D
解析 A＝，
而AA＝n×＝，
∴AA＝A.
6．若集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．
答案 3
解析 由题意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3个元素．
7．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．
答案 12 bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
8．方程3A＝2A＋6A的解为________．
答案 5
解析 由排列数定义可得得x≥3，x∈N＋，
原方程可化为3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴可化为3x2－17x＋10＝0，
即(3x－2)(x－5)＝0，
解得x＝5或x＝(舍去)．
9．写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
解 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．
10．计算下列各题：
(1)A；(2).
解 (1)A＝10×9×8＝720.
(2)＝
＝＝＝.
11．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8
B．5
C．3
D．0
答案 C
解析 A＝1，A＝2，A＝6，A＝24，个位数之和为1＋2＋6＋4＝13，而A，A，…，A都含有5和至少一个偶数，∴个位数字均为0，∴S的个位数字为3.
12．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种
B．5种
C．6种
D．12种
答案 C
解析 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
13．化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝________.
答案 (n＋1)！－1
解析 ∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！，
∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
14．不等式A<140A的解集为________．
答案 {4,5}
解析 由A<140A知，x≥3且x∈N＋，
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x(x－1)(x－2)，
解得3因为x∈N＋，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}．
15．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有________种．
答案 14
解析 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．
16．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
解 由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，
∴A－A＝62，
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.
∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
∵m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N＋，
∴
解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站．第2课时 排列数的应用
学习目标 1.能应用排列知识解决简单的实际问题.2.能解决有限制条件的排列问题．
一、简单的排列问题
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 (1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法．
(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．
反思感悟 对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解．
跟踪训练1 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( )
A．15
B．30
C．12
D．36
答案 B
解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种)．
(2)3盆不同品种的花排成一排，共有________种不同的排法．
答案 6
解析 共有3×2×1＝6(种)不同的排法．
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2－1 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法．
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，
女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有A种排法，
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1
440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有AA＝144(种)不同的排法．
命题角度2 定序问题
例2－2 7人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法．
解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有＝2
520(种)不同的排法．
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的.
故有＝840(种)不同的排法．
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2－3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 (1)方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法．
第二类，含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2
160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A＝2
160(种)排法．
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，所以符合要求的排法有A－A＝2
160(种)．
(2)把位置作为研究对象，先考虑特殊位置．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1
800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有A·A＝1
200(种)方法．
(4)间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1
860(种)排法．
(学生)反思感悟 排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决．
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解 (1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此共有A·A＝4
320(种)不同的排法．
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
(3)方法一 (位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14
400(种)不同的排法．
方法三 (元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14
400(种)不同的排法．
(4)方法一 (位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此共有A·A＋A·A·A＝36
000(种)不同的排法．
方法二 (间接法)三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A－A·A＝36
000(种)不同的排法．
三、数字问题
例3 用0,1,2,3,4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
(5)在没有重复数字的五位数中，比42
130小的数有几个？按从小到大排列，则第61个数是多少？
(6)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？
解 (1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成4×5×5×5×5＝2
500(个)五位数．
(2)方法一 考虑特殊位置“万位”，从1,2,3,4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字作全排列，有A种排法，故共有A·A＝96(个)符合条件的五位数．
方法二 先考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排法，故共有A·A＝96(个)符合条件的五位数．
(3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是3的倍数，将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有A种排法，故有2AA个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全排列，故有2A种排法．所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20(个)符合条件的三位数．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)符合条件的五位数．
(5)按分类加法计数原理，当万位数字为1,2,3时均可以，共有A·A个数．当万位数字为4，千位数字为0,1时均满足，共有A·A个数，当万位数字为4，千位数字为2，百位数字为0,1时均满足，共有(A·A－1)个数，所以比42
130小的数有A·A＋A·A＋A·A－1＝87(个)．万位是1,2的各有A个数，万位是3，千位是0,1的各有A个数，所以共有2A＋2A＝60(个)数，故第61个数为32
014.
(6)运用排除法，先将1,3在奇数位上排列，有A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列，有A种排法，而其中1,3在个位和百位上，0在万位上的排法不合题意，有A·A种排法．所以符合条件的五位数共有AA－AA＝32(个)．
反思感悟 数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0.(2)有无重复数字．(3)奇偶数．(4)某数的倍数．(5)大于(或小于)某数．
跟踪训练3 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序排列，则240
135是第几个数．
解 (1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A个；个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A个和AA个．
故能被3整除的五位数有A＋AA＝216(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A个数，
∴240
135是第A＋3A＋1＝193(个)数，
即240
135是第193个数．
1．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为( )
A．5
B．10
C．20
D．60
答案 C
解析 不同的送书种数为5×4＝20.
2．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为( )
A．144
B．72
C．36
D．12
答案 A
解析 先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法．
3．由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是( )
A．12
B．16
C．20
D．24
答案 A
解析 符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有AA＝12(种)．
4．有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有________种不同的种法．
答案 1
680
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1
680(种)．
5．从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有________个．
答案 24
1．知识清单：
(1)排列的简单应用．
(2)排列数的应用．
①排队问题．
②数字问题．
2．方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法．
3．常见误区：实际问题理解错误．
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
答案 A
解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A＝3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法．
2．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( )
A．A种
B．A种
C．AA种
D．2A种
答案 C
解析 司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有AA种不同的分配方法．
3．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一列，则第72个数为( )
A．1
543
B．2
543
C．3
542
D．4
532
答案 C
解析 首位是1的四位数有A＝24(个)，
首位是2的四位数有A＝24(个)，
首位是3的四位数有A＝24(个)，
由分类加法计数原理得，
首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．
由此第72个数为3
542.
4．要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20
B．16
C．10
D．6
答案 B
解析 不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．
5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．3×3!
B．3×(3！)3
C．(3！)4
D．9!
答案 C
解析 利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C.
6．用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
答案 210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，则4个数字有A＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件．
7一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．
答案 20
解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法．
8．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
答案 36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．
9．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
(2)可以排出多少个不同的三位数？
解 (1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．
第一步，得百位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果．
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．
(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．
10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
(2)2个唱歌节目互不相邻；
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
解 (1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1
440(种)排法．
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目，有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30
240(种)排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列，共有A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2
880(种)排法．
11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是( )
A．9
B．10
C．18
D．20
答案 C
解析 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20(种)排法，
因为＝，＝，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是20－2＝18.
12．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为( )
A．54
B．45
C．5×4×3×2
D．5
答案 D
解析 由于参观票只有4张，而人数为5，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．
13．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有________种．
答案 1
008
解析 由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有AA＝1
440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA＝48(种)．
因此，满足题意的方案共有1
440－2×240＋48＝1
008(种)．
14．用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：
(1)三位数________个；
(2)无重复数字的三位数________个；
(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．
答案 (1)900 (2)648 (3)144
解析 (1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)．
(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数．
(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：百位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按百位分两类：
第一类，百位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；
第二类，百位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)．
由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)．
15．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
答案 15
解析 将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来，分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
16.如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？
解 如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有＝2
520(种)．(共71张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.能应用排列知识解决简单的实际问题.
2.能解决有限制条件的排列问题.
内
容
索
引
题型探究
随堂演练
课时对点练
题型探究
1
PART
ONE
例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
一、简单的排列问题
解 从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有
＝7×6×5＝210(种)不同的送法.
(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.
反思感悟
对于简单的排列问题，其解题思路可借助分步乘法计数原理进行，即采用元素分析法或位置分析法求解.
跟踪训练1 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为
A.15
B.30
C.12
D.36
解析 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，故不同的火车票有6×5＝30(种).
√
(2)3盆不同品种的花排成一排，共有_____种不同的排法.
解析 共有3×2×1＝6(种)不同的排法.
6
二、排队问题
命题角度1 “相邻”与“不相邻”问题
例2-1
3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
命题角度2 定序问题
例2-2
7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；
解 甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法.
命题角度3 元素的“在”与“不在”问题
例2-3 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？
解 方法一 把元素作为研究对象.
方法二 把位置作为研究对象.
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象，先考虑特殊位置.
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
解 把位置作为研究对象.
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
解 间接法.
反思感悟
排队问题的解题策略
排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.
(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.
(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.
(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.
(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.
跟踪训练2 三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
解 (插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
三、数字问题
例3 用0,1,2,3,4五个数字：
(1)可组成多少个五位数？
解 各数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可组成4×5×5×5×5＝2
500(个)五位数.
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
(5)在没有重复数字的五位数中，比42
130小的数有几个？按从小到大排列，则第61个数是多少？
(6)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？
反思感悟
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0.(2)有无重复数字.(3)奇偶数.(4)某数的倍数.(5)大于(或小于)某数.
跟踪训练3 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的：
(1)能被5整除的五位数；
(2)能被3整除的五位数；
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序排列，则240
135是第几个数.
即240
135是第193个数.
2
随堂演练
PART
TWO
1
2
3
4
5
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为
A.5
B.10
C.20
D.60
√
解析 不同的送书种数为5×4＝20.
2.3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A.144
B.72
C.36
D.12
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是
A.12
B.16
C.20
D.24
√
1
2
3
4
5
4.有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地里，有______种不同的种法.
1
680
解析 将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1
680(种).
1
2
3
4
5
24
5.从1,2,3,4这4个数字中选出3个数字构成无重复数字的三位数有_____个.
1.知识清单：
(1)排列的简单应用.
(2)排列数的应用.
①排队问题.
②数字问题.
2.方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法.
3.常见误区：实际问题理解错误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
3
课时对点练
PART
THREE
1.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有
＝3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
3.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一列，则第72个数为
A.1
543
B.2
543
C.3
542
D.4
532
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个).
由此第72个数为3
542.
4.要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是
A.20
B.16
C.10
D.6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3!
B.3×(3！)3
C.(3！)4
D.9!
√
6.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有_____个七位数符合条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
210
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有______种.
20
解析 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法.
8.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种.(用数字作答)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？
解 三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一.
第一步，得百位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)可以排出多少个不同的三位数？
解 三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)2个唱歌节目互不相邻；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
11.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是
A.9
B.10
C.18
D.20
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
12.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为
A.54
B.45
C.5×4×3×2
D.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 由于参观票只有4张，而人数为5，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票.
因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.
又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
15
16
13.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有_______种.
1
008
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因此，满足题意的方案共有1
440－2×240＋48＝1
008(种).
14.用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：
(1)三位数______个；
1
2
3
4
5
6
7
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13
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15
16
900
解析 由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个).
(2)无重复数字的三位数_______个；
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
648
解析 百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数.
(3)小于500且无重复数字的三位奇数______个.
1
2
3
4
5
6
7
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14
15
16
144
解析 小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：百位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按百位分两类：
第一类，百位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；
第二类，百位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种).
由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种).
15.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示____种不同的信号.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
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13
14
15
16
16.如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有
＝2
520(种).(共54张PPT)
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
1.理解并掌握排列的概念.
2.能用计数原理推导排列数公式.
3.理解并掌握排列数公式.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照
排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.
一定的顺序
知识点二 排列数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的
，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.
思考 排列与排列数相同吗？
答案 排列数是对象排列的个数，两者显然不同.
所有排列的个数
知识点三 排列数公式及全排列
1.排列数的两种形式
(1)
＝
＝
，其中m，n∈N＋，并且m≤n.
2.全排列：把n个不同对象
取出的一个排列，叫做n个对象的全排列，全排列数为
＝n！(叫做n的阶乘).规定：0！＝
.
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
全部
1
1.a，b，c与b，a，c是同一个排列.(
)
2.同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(
)
3.在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(
)
4.从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同，得到的就是相同的排列.(
)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
一、排列的概念
解 票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
解 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
解 不存在顺序问题，不属于排列问题.
解 每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(6)某班40名学生在假期相互通信.
解 A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题.
反思感悟
判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题：
(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.
解 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.
(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.
二、画树形图写排列
例2 将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法.
解 树形图(如图)：
由树形图知，所有排法有BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
反思感悟
树形图的画法
(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.
(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类.
(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止.
跟踪训练2
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
解 由题意画树形图，如图.
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个.
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.
解 由题意画树形图，如图.
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个.
三、排列数公式的应用
命题角度2 利用排列数公式化简
例3－2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；
解 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
(2)化简n(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋m).
反思感悟
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
化简得x2－19x＋84<0，解得7①
由①②及x∈N＋，得x＝8.
√
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
√
√
√
解析 选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关.
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
1
2
3
4
5
√
解析 从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
1
2
3
4
5
A.9×3
B.93
C.9×8×7
D.9×8×7×6×5×4×3
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
36
1.知识清单：
(1)排列的定义.
(2)“树形图”法列举排列.
(3)排列数，排列数公式.
(4)全排列，阶乘的概念.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：
(1)排列定义不明确.
(2)忽视
中“n，m是自然数”这个条件.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果.在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有
A.加法
B.减法
C.乘法
D.除法
解析 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
2.设m∈N＋，且m<15，则
等于
A.(20－m)(21－m)(22－m)(23－m)(24－m)(25－m)
B.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)
C.(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
D.(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m)
1
2
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5
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7
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11
12
13
14
15
16
√
解析
是指从20－m开始依次连续的6个数相乘，
即(20－m)(19－m)(18－m)(17－m)(16－m)(15－m).
1
2
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6
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15
16
√
4.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为
A.6
B.4
C.8
D.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析 列树形图如下：
故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种.
1
2
3
4
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16
√
1
2
3
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5
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3
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15
16
7.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b为首的不同的排列，它们分别是_______________________________________
__________________.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
解析 画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，
bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
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16
5
原方程可化为3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
∵x≥3，∴可化为3x2－17x＋10＝0，即(3x－2)(x－5)＝0，
1
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16
9.写出下列问题的所有排列：
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
解 列出每一个起点和终点情况，如图所示.
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.
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16
(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？
解 由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：
由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种.
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综合运用
1
2
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4
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14
15
16
√
12.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有
A.4种
B.5种
C.6种
D.12种
1
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√
解析 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
解析 ∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！，
∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.
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13.化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝_______________.
(n＋1)！－1
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16
{4,5}
由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x(x－1)(x－2)，
因为x∈N＋，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}.
15.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，则所有不同试验方法有____种.
拓广探究
1
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14
解析 如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
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16
16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
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16
即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62.
∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31，
∵m<2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N＋，
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解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
