人教版数学九年级上册 24.3正多边形和圆同步测试试题（一）Word版含答案

正多边形和圆同步测试试题（一）
一．选择题
1．下列说法错误的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆内接四边形的对角互补
C．任意三角形都有一个外接圆
D．正n边形的中心角等于
2．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　）
A．45°
B．36°
C．35°
D．30°
4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
5．半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
6．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（　　）
A．△AED
B．△ABD
C．△BCD
D．△ACD
7．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（　　）
A．2
B．2
C．3
D．2
8．如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（　　）
A．3：5
B．2：
C．4：3
D．5：4
9．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG的面积为4，则五边形ABDEF的面积为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
10．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．正六边形的边长为2，则边心距为　
　．
12．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为　
　．
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　
　．
14．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转　
　°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为　
　．
15．定义：如果几个全等的正n边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，那么我们称作正n边形的环状连接．如图1，我们可以看作正八边形的环状连接，中间围成一个正方形．
（1）若正六边形作环状连接，如图2，中间可以围成的正多边形的边数为　
　；
（2）若边长为a的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为　
　．（用含a的代数式表示）
三．解答题
16．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
17．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　
　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．
19．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°
（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝　
　度，并说明理由．
（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝　
　，且∠EON＝　
　度．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
∴选项A符合题意；
B、∵圆内接四边形的对角互补，
∴选项B不符合题意；
C、∵任意三角形都有一个外接圆，
∴选项C不符合题意；
D、∵正n边形的中心角等于，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝rsin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
3．【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正n边形，
则＝120°，
解得：n＝6，
故选：B．
5．【解答】解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．
四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，
正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．
∵RRR，
∴a＜b＜c，
故选：A．
6．【解答】解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，
∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ACD的外心，
故选：D．
7．【解答】解：延长DE交AG于T．
由题意FG＝2EF，∠EFC＝∠EFT＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴∠EFT＝60°，
∴∠EFT＝∠FET＝∠ETF＝60°，
∴EF＝FT＝ET，
∴TG＝TF＝ET，
∴∠FEG＝90°，
∵AB＝AF＝EF＝，
∴EG＝EFtan60°＝3，
故选：C．
8．【解答】解：连接BF，AD交于Q，BF交GM于P，
则BF⊥AD，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，AB＝AF，
∴∠AGH＝∠AFQ＝30°，
设正六边形ABCDEF的边长为2a，FP＝x，
∴PG＝x，AQ＝a，
∴GM＝2a+，HG＝2a﹣2x，
∵若图中4块阴影的面积相等，
∴×（2a﹣2x）×（a﹣x）＝（2a++2a）x，
解得：x＝a，
GH＝2a﹣a＝a，GM＝2a+a＝a，
∴该矩形的长与宽之比为＝3：5，
故选：A．
9．【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，
∵ABCDEF正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°
∵△BDG是等边三角形，
∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，
又CG＝CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，
∴S△AEF＝2，
设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH＝x，
∴BD＝2x，
∴CGBH＝2，
即2x×x＝2，
∴x2＝2，
∴S四边形ABDE＝ABBD＝2x2x＝4x2＝8，
∴五边形ABDEF的面积为：2+8＝10．
故选：C．
10．【解答】解：连接AG、GE、EC，如图所示：
在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，
∴△ABC≌△AHG（SAS），
∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，
∴AC＝CE＝EG＝AG，
∴四边形ACEG是菱形，
∵∠BAC＝∠CAH＝22.5°，∠BAH＝135°，
∴∠CAG＝135°﹣22.5°﹣22.5°＝90°，
∴四边形ACEG为正方形，
∴∠CAE＝45°，
∴＝sin45°＝，
故选：A．
二．填空题
11．【解答】解：如图所示：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝AC＝；
故答案为：．
12．【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故答案为：36°．
13．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝．
∴正方形的边长是，
故答案为：．
14．【解答】解：如图2所示：
将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．
在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，
则MN＝PM＝AM，
∵AM+MN+BN＝AB＝4，
∴AM+AM+AM＝4，
解得：AM＝4﹣2，
则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；
故答案为：（），32﹣32．
15．【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240°，
故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，
而正六边形的内角为120°，
所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；
（2）若边长为1的正n边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为360°﹣60°＝300°，
所以正n边形的一个内角是150°，
所以（n﹣2）×180＝150n，
解得n＝12，
所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27a．
故答案为：6；27a．
三．解答题
16．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
17．【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，
∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，
∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，
∴∠MON＝33°．
19．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，
在△ABN和△BCM中，