平行四边形特征复习学案
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文档简介
平行四边形特征复习学案
【学习目标】
1．探索并掌握平行四边形的特征．
2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．
3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．
【基础知识概述】
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示．
平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．
(3)平行四边形定义的作用：
①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．
②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．
2．平行四边形的特征：
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．
(2)平行四边形的对边平行且相等．
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．
②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段．
③互相平分指两条线段有公共的中点．
3．平行四边形特征的作用：
可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：
4．两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
(2)两平行线间的距离处处相等．
注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．
①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．
②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．
5．平行四边形的面积：
(1)如图12-1-2①，．
也就是 (a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图12-1-2②，有公共边BC，
则．
注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．
【例题精讲】
例1 如图12-1-3，已知的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE＝OF．为什么？
分析：要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合．
解：在中，
∵AB∥CD，OD＝OB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．
∴OE＝OF．
注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．
例2 (1)在中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．
(2)已知的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．
分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．
(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．
解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．
(2)由于在中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．
例3 如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．
分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．
∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，
AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．
答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．
注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．
②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．
思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？
提示：周长为80．
设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，
∴x＝8，
∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．
∴周长＝2(24＋16)＝80．
【学习方法指导】
1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．
2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．
【学习目标】
1．探索并掌握平行四边形的特征．
2．灵活运用平行四边形的特征解决问题．
3．平行四边形一般转化成三角形的问题来解决．
【基础知识概述】
1．平行四边形：
(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)平行四边形的表示：平行四边形用符号“”表示．
平行四边形ABCD记作，读作平行四边形ABCD．
(3)平行四边形定义的作用：
①由定义知平行四边形的两组对边分别平行．
②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．
2．平行四边形的特征：
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．
(2)平行四边形的对边平行且相等．
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
(5)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．
注意：①特征：都是通过连对角线把四边形问题转化成三角形问题来处理的，即通过平移或旋转，利用重合来证明的．
②夹在两条平行线间的平行线段是指端点分别在两条平行线上的平行线段．
③互相平分指两条线段有公共的中点．
3．平行四边形特征的作用：
可以用来证明线段相等、角相等及两直线平行等．如图12-1-1，有如下结论：
4．两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．
(2)两平行线间的距离处处相等．
注意：距离是指垂线段的长度，是大于0的．
①平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变．
②平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．
5．平行四边形的面积：
(1)如图12-1-2①，．
也就是 (a是平行四边形任何一边长，h必须是a边与其对边的距离)．
(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．
如图12-1-2②，有公共边BC，
则．
注意：这里的底是相对而言的，也就是高所在的边，平行四边形任意一边都可以作底，底确定后，高也就确定了．
【例题精讲】
例1 如图12-1-3，已知的对角线相交于点O，过O作直线交AB于E，交CD于F，可得OE＝OF．为什么？
分析：要得到OE＝OF，可先证得它们所在△AEO与△CFO(△BEO与△DFO)重合．
解：在中，
∵AB∥CD，OD＝OB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴将△BOE绕点O旋转180度后与△DOF重合．
∴OE＝OF．
注意：把线段与角归结为平行四边形的边，对角线或对角，利用平行四边形的特征证明．
例2 (1)在中，∠A︰∠B＝2︰3，求各角的度数．
(2)已知的周长为28cm，AB︰BC＝3︰4，求它的各边的长．
分析：(1)在平行四边形中，邻角是互补的，而对角是相等的，所以∠A与∠B必是邻角，其和为180°，可据此列式求出角度．
(2)平行四边形的对边相等，所以周长为邻边之和的2倍，可以据此列式求出各边长．
解：(1)由于∠A、∠B是平行四边形的两个邻角，所以∠A＋∠B＝180°．又因为∠A︰∠B＝2︰3，不妨可设∠A＝2k，∠B＝3k，那么2k＋3k＝180°，可以解得k＝36°，则∠A＝∠C＝72°，∠B＝∠D＝108°．
(2)由于在中，AB＝CD，BC＝AD．所以AB＋BC＋CD＋AD＝28，即AB＋BC＝14．由题意得AB︰BC＝3︰4，因此可设AB＝3k，BC＝4k，那么有3k＋4k＝14，解得k＝2，则AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝8cm．
例3 如图12-1-4，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．
分析：由平行四边形对边相等知AB＋BC＝平行四边形周长的一半＝30cm，又由△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm知AB—BC＝8cm，由此两式，可得各边长．
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，AO＝CO．
∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，
AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，
∴AB十BC＝30，AB－BC＝8，
∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11．
答：这个四边形各边长分别为19 cm，11 cm，19 cm，11 cm．
注意：①平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半．
②平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．
思考：如图12-1-4，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？
提示：周长为80．
设AB＝3x，则AD＝2x，依题意有3x－2x＝8，
∴x＝8，
∴AB＝3x＝3×8＝24，AD＝2x＝2×8＝16．
∴周长＝2(24＋16)＝80．
【学习方法指导】
1．学习平行四边形的特征时，按照对角、对边、对角线的顺序去理解，便于记忆和应用．
2．本节主要内容是平行四边形的定义及特征，并且要重点理解两条平行线间的距离的概念．