2020-2021学年江苏淮安高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 2020?角的终边在(? ? ? ? )




A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
?
2. “α=π6”是“sinα=12”的(? ? ? ? )


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
?
3. 已知函数f(x)=e2x+1?3x，则f′(0)=(? ? ? ? )




A.0 B.?2 C.2e?3 D.e?3
?
4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则fπ3=(? ? ? ? )





A.12 B.1 C.2 D.3
?
5. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB=6cm，BC=6cm，AC=10.392cm（其中32≈0.866）．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于(?????????)





A.2π3 B.π4 C.π2 D.π3
?
6. 若cosπ6+α=?13，那么sin2π3+α的值为(? ? ? ? )




A.?13 B.13 C.?223 D.223
?
7. 设函数fx=sinωx+π5ω>0，已知f(x)在?π,π上单调递增，则ω的取值可以是(? ? ? ? )




A.1 B.12 C.25 D.15
?
8. 若函数fx=a2x2?2x+ln?x存在极值，则实数a的取值范围是(? ? ? ? )




A.?∞,1 B.(?∞,1] C.0,1 D.(0,1]
二、多选题
?
9. 下列命题中正确的命题是(? ? ? ? )
A.命题“?x∈R，使得x2?2x+1<0”的否定是真命题
B.x≤1 且y≤1是“x+y≤2”的充要条件
C.已知f′(x)是f(x)的导函数，若?x∈R，f′(x)≥0，则f′(1)D.已知a，b都是正数，且a+1b+1>ab，则a?
10. 设函数fx=sin2x+π4+cos2x+π4，则fx(? ? ? ? )


A.是偶函数 B.在区间0,π2上单调递增
C.最大值为2 D.其图象关于点π4,0对称
?
11. 将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数为y=g(x)，则下列结论正确的是(? ? ? ? )
A.函数g(x)的图象关于直线x=π3对称
B.函数g(x)的图象关于点(?π3,0)对称
C.函数g(x)在[?π24,5π24]上单调递减
D.函数g(x)在[0,?2π]上恰有4个极值点
?
12. 设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)+xf(x)=lnx，f(1)=12，则下列结论不正确的是(? ? ? ? )


A.xf(x)在(0,+∞)上单调递增 B.xf(x)在(0,+∞)上单调递减
C.xf(x)在(0,?+∞)上有极大值12 D.xf(x)在(0,?+∞)上有极小值12
三、填空题
?
13. 已知扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm，则此扇形的面积为________cm2．
?
14. 不等式sinx<0?，x∈?π2,π的解集为________.
?
15. 设当x=θ时，函数f(x)=sinx+3cosx取得最大值，则tan(θ+π4)=________.
?
16. 已知fx=x3?3x，若过点P?3,0的动直线l与f(x)有三个不同交点，自左向右分别为P，E，F，设线段EF的中点Ms,t，则s=________，t的取值范围为________．
四、解答题
?
17. 已知sinα=?255，且tanα<0．
(1)求tanα的值；

(2)求3sin(α?π)+cos(2π+α)cos(α+π2)+sin(3π2?α)的值．
?
18. 已知函数fx=x3+ax2+bx+1在x=?2处有极值，且曲线y=fx在点?1,f?1处的切线与直线x+y?1=0平行．
(1)求fx；

(2)求函数fx在区间?3,0上的最值．
?
19. 已知函数fx=sin2x+cosxsinx?π6.
(1)求fx的单调区间；

(2)若fx0+π6=1，求x0的值．
?
20. 已知函数fx=x2?2ax+2a2+2.
(1)若a=1，求函数fx的单调区间；

(2)求函数fx在区间?32,32上的最小值；
?
21. 如图，设A，B是半径为1的圆O上的动点，且A，B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点， △AOB为等边三角形，记以Ox轴正半轴为始边、射线OA为终边的角为θ.

(1)若点A的坐标为35,45，求5sin?θ?5cosπ+θ+3tanθ值；

(2)设fθ=|BC|2，求函数fθ的解析式和值域．
?
22. 设函数f(x)=ex+3x，g(x)=x2?7x?ex+tlnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程；

(2)设F(x)=f(x)+g(x)，若函数F(x)的导函数F′(x)存在两个不同的零点m，n(m
(3)在(2)的条件下证明：F(m)+3n>0．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏淮安高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
利用终边相同的角的集合得2020?=360?×5+220?，可得解.
【解答】
解：2020?=360?×5+220?，
所以2020?的终边与220?终边相同，
又220?=180?+40?为第三象限角，
故2020?终边在第三象限.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：当α=π6时，
sinα=12成立，
即“α=π6”是“sinα=12”的充分条件，
当α=5π6时，sinα=12也成立，
即“α=π6”是“sinα=12”的不必要条件，
综合得“α=π6”是“sinα=12”的充分不必要条件．
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
简单复合函数的导数
【解析】
利用求导法则即可得出．
【解答】
解：∵ f′(x)=2e2x+1?3，
∴ f′(0)=2e?3．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
正弦函数的周期性
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由图像得A=2，8π3?2π3=2π，所以T=4π,ω=12，点2π3,2代入函数得2sinπ3+φ=2，所以φ=π6，函数表达式为fx=2sinx2+π6，fπ3=2sinπ6+π6=3
【解答】
解：由题意知，A>0，ω>0.
由图像得A=2，8π3?2π3=12T，
所以T=4π，
所以ω=2πT=12，
所以函数f(x)=2sin(12x+φ).
将点2π3,2代入函数f(x)=2sin(12x+φ)，
得2sin(12×2π3+φ)=2，
即sin(π3+φ)=1，
所以φ=π2?π3=π6，
所以函数fx=2sinx2+π6，
所以fπ3=2sinπ6+π6=2×32=3.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
本题考查了直角三角形的边角关系．
【解答】
解：设∠ABC=2θ，
∴ ?sinθ=12ACAB=5.1966=0.866≈32，
∴ ?θ=π3，
∴ ?2θ=2π3．
故将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于π?2π3=π3.
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
【解析】
利用诱导公式得sin2π3+α=cosπ6+α，可得解.
【解答】
解：由(2π3+α)?π6+α=π2，
得2π3+α=π2+π6+α，
所以sin2π3+α=sin[π2+π6+α]=cosπ6+α=?13.
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令t=ωx+π5，则t∈[?πω+π5,πω+π5]，
因为f(x)在[?π,π]上单调递增，
∴ ?πω+π5≥?π2,πω+π5≤π2,
解得ω≤310.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
存在极值等价转化为f′x=0有解，建立方程，求解即可.
【解答】
解：因为函数存在极值，
所以f′x=ax?2+1x=0，在0，+∞有解，
所以ax2?2x+1=0在0，+∞有解，
当a=0时，显然成立，
当a<0时，Δ=4?4a>0，由韦达定理知，方程在0，+∞有解，成立；
当a>0时，对应函数y=ax2?2x+1，Δ=4?4a>0，所以a<1，
此时对称轴为：x=1a>0，故必有一正根，成立；
综上实数a的取值范围是?∞，1.
故选A.
二、多选题
9.
【答案】
A,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
???x2?2x+1=x?12≥0恒成立，A中的命题为假命题，所以A的否定为真命题，A正确
当x=3，y=?4时x+y≤2成立，显然B错误，
f′x≥0，说明fx为增函数，不能说明f′1a，b为正数，则ba+1>ab+1，所以b>a，即a【解答】
解：A，?x∈R，x2?2x+1=x?12≥0恒成立，故A中的命题为假命题，
所以A的否定为真命题，正确；
B，当x=3，y=?4时x+y≤2成立，错误；
C，f′x≥0，说明fx为增函数，不能说明f′1D，a，b为正数，则ba+1>ab+1，
所以b>a，即a故选AD.
10.
【答案】
A,D
【考点】
两角和与差的正弦公式
函数最值的应用
函数奇偶性的判断
函数的单调性及单调区间
【解析】
先化简，再根据定义及图像性质求解判断即可。
【解答】
解：由题意得，f(x)=22sin2x+22cos2x+22cos2x?22sin2x=2cos2x.
A，由f(?x)=2cos(?2x)=2cos2x=f(x)，得f(x)是偶函数，故选项正确；
B，由x∈(0,π2)，得2x∈(0,π)，即函数f(x)在区间0,π2上单调递减，故选项错误；
C，f(x)在定义域上最大值为2，故选项错误；
D，函数的对称中心是(kπ2+π4,0)，k∈Z，当k=0时函数的图象关于?点π4,0对称，故选项正确.
故选AD.
11.
【答案】
A,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，进一步求出函数的关系式，最后利用正弦型函数的性质求出结果．
【解答】
解：将函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向右平移π4个单位长度后，得到g(x)=2sin[2(x?π4)+π3]=2sin(2x?π6)的图象．
当x=π3时，g(π3)=2sinπ2=2．故函数的图象关于x=π3对称，故选项A正确；
当x=?π3时，g(?π3)=2sin(?2π3?π6)=2sin(?5π6)≠0，故选项B错误；
当?π24≤x≤5π24时，?π4≤2x?π6≤π4，所以函数g(x)在[?π4,π4]上单调递增，故选项C错误；
当x=π12，5π12，4π3，11π6时，函数取得极值点，故选项D正确．
故选AD．
12.
【答案】
A,B,C
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据条件，构造函数g(x)=xf(x)，利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．
【解答】
解：由x2f′(x)+xf(x)=lnx，
得x>0，
则xf′(x)+f(x)=lnxx，
即[xf(x)]′=lnxx.
设g(x)=xf(x)，
令g′(x)=lnxx>0，
得x>1，
令g′(x)<0，
得0则函数g(x)在(1,?+∞)上单调递增，在(0,?1)上单调递减，
即当x=1时，函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=12.
故选ABC.
三、填空题
13.
【答案】
1
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
利用扇形的弧长公式、面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：∵ 扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm，
∴ 扇形的弧长l=2×1=2cm，
∴ 扇形的面积为S=12lr=12×2×1=1．
故答案为：1.
14.
【答案】
?π2,0
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
利用三角函数的图象，数形结合即可解出.
【解答】
解：作出y=sinx，x∈?π,π的图象，如图所示，
由图可得，不等式sinx<0，x∈?π2,π的解集为?π2,0.
故答案为：?π2,0.
15.
【答案】
2+3
【考点】
两角和与差的正切公式
两角和与差的正弦公式
诱导公式
【解析】
f(x)解析式提取，利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由x＝θ时函数f(x)取得最大值，得到θ的取值，后代入正切公式中计算求值．
【解答】
解：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3).
∵ 当x=θ时，函数f(x)取得最大值，
∴ θ+π3=π2+2kπ,k∈Z，
∴ θ=π6+2kπ，k∈Z，
∴ tan(θ+π4)=tan(π6+2kπ+π4)
=tan(π4+π6)=1+331?33
=2+3．
故答案为：2+3.
16.
【答案】
32,?938,93
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
函数的零点与方程根的关系
【解析】
?
【解答】
解：如图：
设Ex1,y1，Fx2,y2，l:y=kx+3，
由x3?3x=kx+3，
得x+3x2?3x?k=0，
故x1，x2为方程x2?3x?k=0的两个根，所以s=x1+x22=32,
故点M在直线x=32上，f′x=3x2?3，
过P作fx的切线，设切点坐标为Ax0,y0x0≠?3，
则有f′x0=fx0x0+3，即2x02+3x0?3=0，
解得x0=32，
此时切线斜率k0=?34，切线方程为y1=?34x+3，
又f′?3=6，则P点处的切线方程y2=6x+3，
切线y1，y2与x=32的交点纵坐标分别为?938，93，
故t∈?938,93．
故答案为：32；(?938,93).
四、解答题
17.
【答案】
解：(1)∵ sinα=?255<0，tanα<0，
∴ α在第四象限，
∴ cosα=1?sin2α=55，
∴ tanα=sinαcosα=?2.
(2)3sin(α?π)+cos(2π+α)cos(α+π2)+sin(3π2?α)
=?3sinα+cosα?sinα?cosα
=7．
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
（1）由已知可求α在第四象限，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）由（1）利用诱导公式即可计算得解．
?
【解答】
解：(1)∵ sinα=?255<0，tanα<0，
∴ α在第四象限，
∴ cosα=1?sin2α=55，
∴ tanα=sinαcosα=?2.
(2)3sin(α?π)+cos(2π+α)cos(α+π2)+sin(3π2?α)
=?3sinα+cosα?sinα?cosα
=7．
18.
【答案】
解：(1)函数fx的导函数为f′x=3x2+2ax+b，
由题意得f′?2=0，f′?1=?1，
即4a?b=12，2a?b=4，
解得a=4，b=4．?
∴ fx=x3+4x2+4x+1．
(2)由(1)得f′x=3x2+8x+4=3x+2x+2．
当?3≤x≤0时，
令f′x>0，
得?3令f′x<0，
得?2∴ 函数fx在x=?2处取得极大值，在x=?23处取得极小值，
∴ f?3=?2，f?2=1，f?23=?527，f0=1，
∴ 函数fx在区间?3,0上的最小值为?2，最大值为1．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx的导函数为f′x=3x2+2ax+b，
由题意得f′?2=0，f′?1=?1，
即4a?b=12，2a?b=4，
解得a=4，b=4．?
∴ fx=x3+4x2+4x+1．
(2)由(1)得f′x=3x2+8x+4=3x+2x+2．
当?3≤x≤0时，
令f′x>0，
得?3令f′x<0，
得?2∴ 函数fx在x=?2处取得极大值，在x=?23处取得极小值，
∴ f?3=?2，f?2=1，f?23=?527，f0=1，
∴ 函数fx在区间?3,0上的最小值为?2，最大值为1．
19.
【答案】
解：(1)fx=sin2x+cosxsinx?π6
=sin2x+cosx32sinx?12cosx
=sin2x+32sinxcosx?12cos2x
=34sin2x?34cos2x+14
=3212sin2x?32cos2x+14
=32sin2x?π3+14，
令?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得?π12+kπ≤x≤5π12+kπ，?k∈Z.
令π2+2kπ≤2x?π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
可得?5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，?k∈Z，
故函数的单调递增区间为?π12+kπ,5π12+kπ，?k∈Z，
单调递减区间为5π12+kπ,11π12+kπ，?k∈Z．
(2)若fx0+π6=1，则32sin2x0+14=1，
∴ sin2x0=32，
2x0=π3+2kπ或2x0=2π3+2kπ，k∈Z，
∴ x0=π6+kπ或x0=π3+kπ?，k∈Z．
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
?
?
【解答】
解：(1)fx=sin2x+cosxsinx?π6
=sin2x+cosx32sinx?12cosx
=sin2x+32sinxcosx?12cos2x
=34sin2x?34cos2x+14
=3212sin2x?32cos2x+14
=32sin2x?π3+14，
令?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得?π12+kπ≤x≤5π12+kπ，?k∈Z.
令π2+2kπ≤2x?π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
可得?5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，?k∈Z，
故函数的单调递增区间为?π12+kπ,5π12+kπ，?k∈Z，
单调递减区间为5π12+kπ,11π12+kπ，?k∈Z．
(2)若fx0+π6=1，则32sin2x0+14=1，
∴ sin2x0=32，
2x0=π3+2kπ或2x0=2π3+2kπ，k∈Z，
∴ x0=π6+kπ或x0=π3+kπ?，k∈Z．
20.
【答案】
解：(1)fx=x?a2+a2+2，
∴ fx关于直线x=a对称，
当a=1时，fx在区间(?∞,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增．
(2)当afxmin=f?32=2a2+3a+174；
当?32≤a≤32时，fx在区间[?32,a]上单调递减，在(a,32]上单调递增，
fxmin=a2+2；
当a>32时，?fx在区间?32,32上单调递减，
fxmin=f32=2a2?3a+174.
【考点】
二次函数的性质
函数的最值及其几何意义
【解析】
?
?
【解答】
解：(1)fx=x?a2+a2+2，
∴ fx关于直线x=a对称，
当a=1时，fx在区间(?∞,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增．
(2)当afxmin=f?32=2a2+3a+174；
当?32≤a≤32时，fx在区间[?32,a]上单调递减，在(a,32]上单调递增，
fxmin=a2+2；
当a>32时，?fx在区间?32,32上单调递减，
fxmin=f32=2a2?3a+174.
21.
【答案】
解：(1)∵ 点A的坐标为35,45，
以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ．
∴ 根据三角函数的定义可知，sinθ=45，cosθ=35，tanθ=43，
5sin?θ?5cosπ+θ+3tanθ
=?5sinθ+5cosθ+3tanθ
=?5×45+5×35+3×43=3．
(2)∵ △AOB为正三角形，
∴ ∠AOB=60?．
∴ cos∠COB=cosθ+60?，
∴ fθ=|BC|2
=|OC|2+|OB|2?2|OC|?|OB|cos∠COB
=2?2cosθ+60?，
∵ 30?<θ<90?，
∴ fθ∈2,2+3．
【考点】
任意角的三角函数
余弦定理
余弦函数的定义域和值域
运用诱导公式化简求值
【解析】
?
【解答】
解：(1)∵ 点A的坐标为35,45，
以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ．
∴ 根据三角函数的定义可知，sinθ=45，cosθ=35，tanθ=43，
5sin?θ?5cosπ+θ+3tanθ
=?5sinθ+5cosθ+3tanθ
=?5×45+5×35+3×43=3．
(2)∵ △AOB为正三角形，
∴ ∠AOB=60?．
∴ cos∠COB=cosθ+60?，
∴ fθ=|BC|2
=|OC|2+|OB|2?2|OC|?|OB|cos∠COB
=2?2cosθ+60?，
∵ 30?<θ<90?，
∴ fθ∈2,2+3．
22.
【答案】
(1)解：f′(x)=ex+3，
f′(0)=4，
∴ y=f(x)在点(0,1)处的切线方程是：y?1=4x，
整理得：y=4x+1.
(2)解：F(x)=f(x)+g(x)=x2?4x+tlnx，x>0，
则F′(x)=2x?4+tx，
令F′(x)=0，即2x2?4x+t=0，
结合题意得：m+n=2，mn=t2，
01，则t>0，
而Δ=16?8t>0，
解得：t<2，
故0(3)证明：F(m)+3n=m2?4m+(4m?2m2)lnm+3(2?m)
=m2?7m+6+(4m?2m2)lnm，
令h(x)=x2?7x+6+(4x?2x2)lnx(0则h′(x)=?3+(4?4x)lnx<0，
故h(x)在(0,?1)上单调递减，
h(x)>h(1)=0，
故F(m)+3n>0．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：f′(x)=ex+3，
f′(0)=4，
∴ y=f(x)在点(0,1)处的切线方程是：y?1=4x，
整理得：y=4x+1.
(2)解：F(x)=f(x)+g(x)=x2?4x+tlnx，x>0，
则F′(x)=2x?4+tx，
令F′(x)=0，即2x2?4x+t=0，
结合题意得：m+n=2，mn=t2，
01，则t>0，
而Δ=16?8t>0，
解得：t<2，
故0(3)证明：F(m)+3n=m2?4m+(4m?2m2)lnm+3(2?m)
=m2?7m+6+(4m?2m2)lnm，
令h(x)=x2?7x+6+(4x?2x2)lnx(0则h′(x)=?3+(4?4x)lnx<0，
故h(x)在(0,?1)上单调递减，
h(x)>h(1)=0，
故F(m)+3n>0．