六年级下册数学教案- 总复习 点阵中的规律西师大版

点阵中的规律
教学目标：
1、知识与技能：能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系；
2、过程与方法：通过学生观察讨论操作，使学生加深对数与形的认识,培养学生归纳与抽象概括的能力；
3、情感态度价值观：使学生初步感受数学文化的博大精深，培养学生的爱国情感。
重点：发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。
难点：1、教给学生探索知识的方法,培养学生归纳与抽象概括的能力；
2、渗透“数形结合”这一数学思想方法。
教具准备：电脑课件一套。
教学过程
一、谈话导入，激发兴趣
师：古希腊有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯。他非常喜欢数学，就连参加一些社会活动或者散步的时候也不忘思考数学问题，说句不文雅的话，他就连上厕所的几分钟时间也不放过对数学问题的思考。他对数学的喜爱用一个成语来形容的话，我会用“如痴如醉”。有一次，他到海边散步，发现沙滩上有很多小石子，这些小石子被海水冲涮地非常光滑。于是他就蹲下身子玩弄这些小石子，他用这些小石子摆成了不同的几何图形，于是发现了摆出来的小石头个数与图形的形状之间有密切的联系。
今天这节课我们来通过动手画图的方法来发现数与形有什么秘密与规律，怎么样，有信心吗?有同学们这句话，张老师也有信心百倍了。(板书课题：点阵中的规律）
二、自主探索，发现规律
1、探究正方形点阵中的规律
（1）猜一猜，画一画：
看看：让毕达哥拉斯这位数学家着迷的点阵图，边看边说出各个点阵的点子数。
师依次出示前四个正方形点阵图，并引导学生想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？你能画出来吗？（画在练习第1题上）

（ ） （ ） （ ） （ ）
（2）研究规律
①观察图形的特点：能说出各个点阵的点数还是不够，仔细观察点阵图，你还有什么其它的发现？【可能学生能够发现各个点阵的形状是正方形的，1行1列、2行2列、3行3列…还能用算式来表示每个点阵的点数。】
②猜想、计算：根据所画的图形，你能用一个简单的算式来表示点数吗？都想说，我可要看谁的表现最好这个机会给他了。第一个图形是1×1…
师：你真聪明！刚才我们从这些图形中得到正方形的数。在研究正方形数时，你又能联系到“形”去思考，把数与形结合起来了。
③思考感悟特征：照这样的规律继续画下去，第100个点阵的点数如何用算式来表示？第n个呢？引导学生逐步完善自己的想法，建立总结正方形点阵规律的模型。
小组讨论：你觉得每个正方形点阵的点子总数与什么有关系？
④概括特征：每个正方形点阵的点子总数可以看作是一个相同数字相乘的积（行与列的个数一样），也就是这个数字与点阵的序号有关，与每个正方形点阵每排的点子数也有关系。
2、体会划分方法不同呈现的规律也就不同。
刚才研究了一组正方形点阵中隐含的规律，那么对于同一个点阵来说，如果划分的方法不同，所呈现的规律也就不同。
（1）请大家仔细观察第五个正方形点阵中点的划分方法，谁能最快发现其中规律？
电脑演示:学生可能会有如下发现：①是用折线划分开的。②每条线内的点分别是1、3、5、7、9。用磁铁在黑板上演示，从第二个开始，再增多几个，能摆成稍大的正方形。感悟增多3、5、7、9。③这个正方形点阵的点数就可以表示为：1＋3＋5＋7＋9=25。
（2）如果把每条线所包围的点子数记下来，如何用算式来表示？
第一条线：? 1?????????????????? = 1；
第二条线：? 1＋3??????????????? = 4；
第三条线：? 1＋3＋5???????????? = 9；
第四条线：? 1＋3＋5＋7????????? = 16；
第五条线：?1＋3＋5＋7＋9??????? = 25；
（3）每条线所包围的点子数与前面研究的一组正方形点阵的点子数有什么关系？
（正好是第一到第五个点阵的点子数。）
（4）思考：表示这个正方形点阵的点数的算式有什么特点？
（这个点阵的点子总数可以看作是从1开始的几个连续奇数的和。）
（5）如果按这样的划分方法划分第六个正方形点阵，它的点数该如何表示？
1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ 36；
三、延伸应用，形成策略
师生谈话：除了我们刚才研究的正方形点阵，请大家猜猜看，还会有什么形状的点阵呢？
【依学生的回答依次出示长方形、三角形点阵】
1、探究长方形点阵规律。
（ ）（ ） （ ） （ ）
（1）讨论特点：这些长方形点阵有什么特点？
①学生观察、计算、猜测、想象。（电脑演示1~3）
你是怎么发现的？又是如何用算式表示每个长方形点阵的点子数？
学生通过讨论很快达成共识： 1×2；2×3；3×4；4×5；
②画一画：请你独立画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。（学生画图并写出算式交流。）算式表示为：5×6；
③思考讨论：你们觉得自己所写的算式中的数字与图形中的点子之间有什么关系？
学生的发现：乘法算式中的第二个因数总是比第一个因数多1，第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。当学生并没有发现第一个因数与点阵序号间的关系，我要求他们写出18个点阵的点数，学生出现了两种不同的答案：17×18、18×19。在争论各自的理由时，学生的注意力才联系到了点阵的序号与算式的关系，从而确定了正确答案。
④概括特征与规律：照这样继续写，你能写出第n个长方形点阵的点数吗？【n×（n＋1）】
3、探索三角形点阵中的规律。
看来对于任何一个点阵，只要我们认真观察研究，总能发现其独特的规律。
在小组内研究三角形点阵中的规律，要求：
（1）动手操作：观察给出的四个三角形点阵的规律，画出第五个三角形点阵。
（2）猜测、想象、观察、计算：对自己画出的第五个三角形点阵进行划分，你能想到哪些不同的划分方法？分别用算式表示点数。（学生活动）全班交流：
划分一：横向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
划分二：竖向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
划分三：斜向划分，1＋2＋3＋4＋5＝15；
（三种划分方法，学生应该能很轻松地用语言表述出自己的想法：这样的三角形点阵的点数是从1开始的连续自然数的和。学生能发现其它划分方法的给予表扬）
4、同学们真了起！发现并总结了各个不同的点阵图中隐藏的规律。那么你觉得应该从哪些方面来探究点阵的规律？
学生交流：仔细观察点阵的形状；数清每一行的点子数；看清前后两个点阵的变化……
四、探索三角形点阵与正方形点阵的联系
师：刚才我们通过操作，从三角形和正方形中找出了三角形数与正方形数的特点，那么三角形数与正方形数有什么联系呢?请看屏幕。
①斜向划分：把这个5×5的正方形点阵用斜线进行了划分，
你有什么新的发现？
学生发现如下：算式里最大的数是5；
从1开始加到5再加回到1；这个算式是两边对称的；
这个点阵的点数是中间那个数字5乘5的积；
②在学生充分发表意见基础上，引导学生概括得出：一个正方形数可以写成两个相邻三角形数的和。用算式表示为1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1；
③教师引导：照这样的规律类推，第六个点阵的点数如何表示？第10个呢？第n个呢？
五、数形结合思想的运用
擂台挑战赛（看谁反应最快又回答正确，小组比赛，快且准的组加颗星 ）
1、观察下图中已有的几个图形，按规律画出下一个图形。
2、数一数，并在括号中填上适当的算式。
（ ） （ ） （ ） （ ）
列式计算： 第10个点阵有多少个点？第15个点阵有多少个点？
3、请画出最后一个方框内的图形

1 5 9 13 17
4、从数到形。计算：+＋＋＋=？
【这是一道异分母分数加法，如果采用通分的方法将很麻烦。如果利用数形结合的思想，即使是未学习过通分的学生也能轻松解答】。请看屏幕。
课件演示：（分的过程）
师：你能看出计算的结果吗？
师：你是怎样知道的？
生：从图形看这道题实际上是从一个正方形中减去它的，
也就是1－=
六、课堂总结
1、点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如广州第十六届运会开幕式上的“表演”等，都是把一个人看作了一点，来排列有规律的队形。你还知道什么地方运用了点阵的知识？
五子棋、阅兵式的方队、节日的花坛……
2、张老师送同学们一句话：好好用你勤劳的手，好好用你智慧的脑吧!
课后思考：
根据这个规律，我们班有51人，能拼成一个正三角形吗？为什么？至少要添上几人？还可以怎么办？（添上4人）或（减少6人）
师：老师可不想采用减少这种办法，因为我们班的每一位同学都是文明守纪，乐于探索的好学生，我才不舍得一个同学离开呢，你们说是吗？
点阵中的规律练习设计 班级： 姓名：
1、想像、猜测：下一个点阵图会是什么样子呢？你能画出来吗？
2、画出第五个长方形点阵并用算式表示出点数。
3、下图中已有的几个图形，按规律画出下一个图形。
4、数一数，并在括号中填上适当的算式。
（ ） （ ） （ ） （ ）
列式计算： 第10个点阵有多少个点？ 第15个点阵有多少个点？
5、找规律，请画出最后一个方框内的图形

1 5 9 13 17
6、从数到形。计算：+＋＋＋=？师：你能看出计算的结果吗？