江苏省南通市2020-2021学年高二上期期中考试数学试卷word版含解析

高二数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（ ）C
A． 8 B． 16 C．18 D．27
2.设false，则“false”是“false”的（ ）A
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.不等式false的解集为（ ）A
A．false B．false
C．false D．false
4.已知椭圆的准线方程为false，离心率为false，则椭圆的标准方程为（ ）C
A．false B．false C．false D．false
5.数列false中，false，false，则false的值为（ ）B
A．511 B．513 C．1025 D．1024
6.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把false个面包分给false个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的false是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A
A．false B．false C．false D．false
7.椭圆false的左、右焦点分别为false和false，P为椭圆C上的动点，若false，满足false的点P有（ ）个A
A．2个 B．4个 C.0个 D．1个
8.已知实数false且false，若不等式false对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围为( ) A
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.若实数false，则下列选项的不等式中，正确的是（ ）ABC
A．false B．false
C．false D．false
10.对任意实数a，b，c，给出下列结论，其中结论正确的是（ ）CD
A．“false”是“false”的充要条件
B．“false”是“false”的充分条件
C．“false”是“false”的必要条件
D．“false是无理数”是“false是无理数”的充要条件
11.设椭圆false的右焦点为false，直线false与椭圆交于false两点，则下述结论正确的是（ ）AD
A．false为定值 B．false的周长的取值范围是false
C．当false时，false为直角三角形 D．当false时，false的面积为false
12.已知数列false，false均为递增数列，false的前false项和为false，false的前false项和为false.且满足false，false，则下列结论正确的是( )ABC
A．false B．false C．false D．false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“false，false”的否定是__________________.
【答案】false，false
14.不等式false对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是_______．
【答案】false
15.若椭圆false的离心率为false，则m的值为_______.
【答案】false
16.对于数列false，定义false为数列false的“好数”，已知某数列false的“好数”false，记数列false的前false项和为false，若false对任意的false恒成立，则实数false的取值范围是__________．
【答案】false
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）与椭圆false有相同的焦点，且经过点false；
（2）经过false两点.
【解析】（1）椭圆false的焦点坐标为false，
∵椭圆过点false，
∴false，
∴false，
∴椭圆的标准方程为false.
（2）设所求的椭圆方程为false．
把false两点代入，得：false，解得false，
∴椭圆方程为false．
18（本小题满分12分）已知在等比数列false中，false，且false是false和false的等差中项．
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false满足false，求数列false的前false项和false．
【答案】（1）false；（2）false．
【解析】（1）设等比数列false的公比为false，则false，则false，false，
由于false是false和false的等差中项，即false，即false，解得false．
因此，数列false的通项公式为false；
（2）false，
false
false．
19（本小题满分12分）已知函数false.
（1）若关于x的不等式f(x)>0的解集是false，求实数a，b的值；
（2）若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0.
【解析】(1)
(2) ①当≥－1，即a≥1时，
不等式的解集为；
②当<－1，即0 不等式的解集为.
20（本小题满分12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为12万元，以后每年都增加4万元，工厂因新设备每年可收益50万元．
（1）工厂第几年开始获利?
（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总获利最大时，以8万元出售该设备.问哪种方案对工厂合算?
【解析】解：（1）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，
设第false年时累计的纯收入为false．
∴falsefalse
获利即为：false∴false
false又false∴false．
∴当false时，即第3年开始获利
（2）①年平均收入false万元
即年平均收益最大时．总收益为：false万元，此时false
②false∴当false时，false
总收益为false万元，此时false
比较两种方案，总收益均为110万元．但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．
21（本小题满分12分）已知椭圆false的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，false为坐标原点.
（1）求椭圆false的方程；
（2）过椭圆的右焦点false作直线false，与椭圆相交于false，false两点，求false面积的最大值，并求此时直线false的方程.
【解析】解：（1）由椭圆false的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，可得false，解得false，
即椭圆false的方程为false；
（2）由（1）可得椭圆的右焦点false，
设过椭圆的右焦点false作直线false的方程为false，
联立false，消false得：false，
设false，false，
则false，false，
则falsefalse，
令false，
则false，
当且仅当false，即false，即false时取等号，
故false面积的最大值为1,此时直线false的方程为false.
22（本小题满分12分）已知各项均为正数的两个数列false，false满足false，false，且false．
（1）求证：数列false为等差数列；
（2）求数列false的通项公式；
（3）设数列false，false的前n项和分别为false，false，求使得等式false成立的有序数对false．
【解析】（1）由题意得false，
即false．
因为数列false各项均为正数，所以false，即false，
故数列false是首项为1公差为1的等差数列．
（2）由（1）及false知false．
由false，得false．
所以false，上面两式相除得false，
所以数列false的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列．
由false及false知false，所以false，false，
所以false．
综上，数列false的通项公式为false．
（3）由（1）和（2）知false，false．
由false，得false，即false．
则必存在false，使得false，false，从而false．
若false，则false，故false
又因为false，所以false.
这与false矛盾，所以false．由于false，则只能false，false
此时false，false．