江苏省南通市某名校2021届高三上学期期中考试数学试卷word版含答案

江苏省南通2020-2021学年第一学期期中考试
高三数学
一、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合false，false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
【答案】C
2. 命题false：“false，false”的否定形式false为（ ）
A. false，false B. false，false
C. false，false D. false，false
【答案】D
3. 经过直线false和false的交点，且与直线false垂直的直线方程是（ ）
A. false B. false
C. false D. false
【答案】C
4. 已知角false的终边经过点false，则false（ ）.
A. false B. false C. false D. false
【答案】B
5. 已知函数false (false且false)的图像恒过定点false，点false在幂函数false的图像上，则false（ ）
A. false B. false C. 1 D. 2
【答案】D
6. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量false大约是false千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量false大约是false千克.下列各数中与false最接近的是（ ）
（参考数据：false，false）
A. false B. false C. false D. false
【答案】D
【详解】因为false，
所以false.
故false.
7. 已知对数函数f(x)=logax是增函数，则函数f(|x|+1)的图象大致是(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 已知函数false，方程false有4个不同的实数根，则false的取值范围是（ ）
A. false B. false C. false D. false
【答案】A
二、 多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线C：false，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的离心率等于半焦距的长
B. 双曲线false与双曲线C有相同的渐近线
C. 双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为false
D. 直线y＝kx＋b(k，bfalseR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【答案】ACD
10. 下列命题中是真命题的有（ ）
A. “false”是“false”的充分不必要条件
B. false，使false
C. false，false
D. 若角false是第一象限角，则false的取值集合为false
【答案】CD
11. 已知函数false的部分图象如图，将函数false的图象所有点的横坐标伸长到原来的false，再将所得函数图象向左平移false个单位长度，得到函数false的图象，则下列关于函数false的说法正确的是（ ）
A. 点false是false图象的一个对称中心
B. false是false图象的一条对称轴
C. false在区间false上单调递增
D. 若false，则false的最小值为false
【答案】BD
12. 某同学对函数false进行研究后，得出以下结论，其中正确是（? ）.
A. 函数y=f（x）的图象关于y轴对称；?
B. 对定义域中的任意实数x，|f（x）|≤1均成立；?
C. 函数y=f（x）的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；?
D. 对任意常数k＞0时，存在常数b>a>k，使函数y=f（x）在a,b上单调递减.
【答案】ABD
三、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知 f (x) 为偶函数，当 x ? 0 时， f (x) ? ln(?x) ? 3x ，则曲线 y ? f (x) 在点(1, ?3) 处的切线斜率是 .
【答案】-2
14. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比false还可以表示成false，则false____________________.
【答案】false
已知点false是抛物线false上动点，且点false在第一象限，false是抛物线的焦点，点false的坐标为false，当false取最小值时，直线false的方程为______．
【答案】x-y+1=0
16. 已知直线false：falsel:mx+y+3m-3=0与圆false交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若false,则false_________________.
【答案】4
【解析】
试题分析：因为false，且圆的半径为false，所以圆心false到直线false的距离为false，则由false，解得false，代入直线false的方程，得false，所以直线false的倾斜角为false，由平面几何知识知在梯形false中，false．
四、 解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，将序号补充在下面问题中，并解答.
在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且满足______.
（1）求角false的大小；
（2）若false，求false面积的最大值.
解：若选条件①：
（1）因为false，由正弦定理，得
false，
即false.
在false中，false，得false.
即false，又false，所以false，所以false.………………5分
（2）因为false，false，由余弦定理得false(当且仅当false时等号成立)，
结合三角形的面积公式得到false，
所以该三角形面积的最大值为false.………………………………………………………10分
若选条件②：
（1）结合余弦定理得到false，又false，所以false.
（2）同前
若选条件③：
（1）因为false，所以false，所以false.
又false，所以false.
（2）同前.
18. 已知函数false.
（1）当false时，求false；
（2）求解关于false的不等式false；
（3）若false恒成立，求实数false的取值范围.
解：（1）当false时，falsefalse…………4分
（2）由false得：false
false或false
当false时，解不等式可得：false或false
当false时，解不等式可得：false或false
综上所述：当false时，false的解集为false；当false时，false的解集为false.…………………………………………………………………8分
（3）由false得：false
false或false
①当false时，false，false
false或false，解得：false
②当false时，false，false
false或false，解得：false
综上所述：false的取值范围为false.…………………………………………12分
19. 已知圆false.
（1）求过点false且与圆C相切的直线false方程；
（2）点false，在直线false上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足对于圆C上任一点P，都有false为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.
解：（1）因为圆false，过点false且与圆C相切，
当斜率不存在时直线方程为false，显然成立；
当斜率存在时，设直线方程为false，即false，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即false，解得false
即false.
所以直线l的方程为false或false.…………………………………………………5分
（2）假设存在这样的点false，都有false（常数）
则有false
∴false
又false点在圆上，∴false
∴false
化简得：false
∴false
消去false得：false
∴false或false
又定点false不同于false点
∴false，false
∴满足条件的点false的坐标为false.………………………………………………………12分
20. 如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，false为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观. 在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使false垂直于false，且false的长不超过20米. 在扇形区域false内种植花卉，三角形区域false内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.
（1）设false（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；
（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.
【答案】（1）false，false；（2）当false时，改造景观的费用最低，最低费用为false元.
【详解】
解：（1）因为扇形false的半径为false，false，且false的长不超过20米，当false时，false，故false.
所以扇形false的面积：
false，false.
在false中，false， false ，
所以false的面积false，
从而false，false；……………5分
false设false，false，
则false，false，
令false，解得false，
从而当false时，false，当false，false，
因此false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增，
当false时，false取得最小值，false，
所以y的最小值为false元，…………………………………………………11分
答：当false时，改造景观的费用最低，最低费用为false元. …………12分
21. 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”．已知椭圆false上的点false的下辅助点为（1，﹣1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若△OMN的面积等于false，求下辅助点N的坐标；
（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的两点A，B，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB是对边平行且相等的四边形．求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时m2+t2的值．
【详解】
（1）因为椭圆E：false1，过点（1，false），辅助圆x2+y2＝a2过（1，1），所以可得a2＝12+（﹣1）2＝2，
所以椭圆的实半轴长的平方a2＝2，
所以false1，解得：b2＝1，
∴椭圆E的方程为：falsey2＝1；…………………………………………………………3分
（2）设点N（x0，y0），（x0>0，y0＜0），则由题意可得点M（x0，y1），（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x02+y02＝2，falsey12＝1，
故y02＝2y12，即y0false，
又S△OMNfalsex0（y1﹣y0）false，则x0y1false
联立false，可解得false或false，∴下辅助点N 的坐标为（false，false） 或（false，false）；……………………………………………………7分
（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立false整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，
则△＝8（m2+2﹣t2）＞0．
根据韦达定理得false，
因为四边形OAPB是对边平行且相等，即四边形OAPB恰好为平行四边形，
所以false．所以false，false
因为点P在椭圆E 上，所以false，
整理得false，即4t2＝m2+2，
在直线l：x﹣my﹣t＝0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0．
令x＝0，得false，令y＝0，得x＝t．
所以三角形OAB面积为false，
当且仅当m2＝2，t2＝1时，取等号，此时△＝24＞0．且有m2+t2＝3，
故所求m2+t2 的值为3．……………………………………………………………………12分
22. 已知函数false，false.
（1）设false的导函数为false，求false的最小值；
（2）设false，当false时，若false恒成立，求false的取值范围.
【答案】（1）false；（2）false.
【详解】
（1）∵false，令false，则false
所以false在false上单调递减；在false上单调递增
所以false的最小值为false
即false的最小值为false………………………………………………………4分
（2）当false时，若false成立，
即false对false恒成立，
亦即false①对false恒成立.
令false，
由（1）知false时false的最小值为false，所以false在false上单调递增.
则false在false上单调递增.
式即为false，
∴false在false上恒成立.
令false，则false.
①false时，false在false上恒成立，∴false，此时满足已知条件，
②当false时，由false，解得false.
当false时，false，此时false在false上单调递减；
当false时，false，此时false在false上单调递增.
∴false的最小值false，解得false.
综上，false的取值范围是false.……………………………………………………………12分