北师大版九年级数学上学期 1.1 菱形的性质与判定 同步练习（Word版 含答案）

1.1
菱形的性质与判定
一．选择题
1．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．△ABD与△ABC的周长相等
B．△ABD与△ABC的面积相等
C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16a
B．12a
C．8a
D．4a
3．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（　　）
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD．
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．BA＝BC
B．AC、BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
5．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（　　）
A．等腰梯形
B．正方形
C．矩形
D．菱形
6．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
7．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
8．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是（　　）
A．16
B．16
C．8
D．8
9．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（　　）
A．a
B．a
C．a
D．a
二．填空题
10．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　
　．
11．已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是　
　（答案不唯一）．
三．解答题
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
13．如图1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD；∠ACB＝∠DCE＝90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
16．如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE＝PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？
17．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，BC＝CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．
（1）求证：BE＝DG；
（2）若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A+∠DGC．
20．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．
参考答案
一．选择题
1．
B．
2．
C．
3．
A．
4．
B．
5．
D．
6．
C．
7．
B．
8．
C．
9．
C．
二．填空题
10．四边形EFGH是菱形．
11．平行四边形ADEF为菱形．
三．解答题
12．（1）证明：∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，
∴CE＝AE＝BE，
∵AF＝AE，
∴AF＝CE，
在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE＝AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC＝CE，
由（1）知，AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE＝60°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠CAE＝90°﹣60°＝30°．
13．（1）证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°．
在△BCF和△ECH中，，
∴△BCF≌△ECH（ASA），
∴CF＝CH（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°，
∴∠1＝∠2＝45°．
∵∠E＝45°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH＝180°﹣∠A＝135°＝∠ACD，
又∵∠A＝∠D＝45°，
∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），
∵AC＝CD，
∴四边形ACDM是菱形．
14．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，
∴AE＝AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
15．（1）证明：由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，
∴EF∥CA，
∴∠FEA＝∠CAE，
∵AF＝CE＝AE，
∴∠F＝∠FEA＝∠CAE＝∠ECA．
在△AEC和△EAF中，
∵
∴△EAF≌△AEC（AAS），
∴EF＝CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由如下：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝AB，
∵DE垂直平分BC，
∴∠BDE＝90°
∴∠BDE＝∠ACB
∴ED∥AC
又∵BD＝DC
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AB的中点，
∴BE＝CE＝AE，
又∵AE＝CE，
∴AE＝CE＝AB，
又∵AC＝AB，
∴AC＝CE，
∴四边形ACEF是菱形．
16．解：是菱形．
理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE＝PF，
∴AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC＝∠CAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
17．证明：∵AC＝AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF+∠CAF＝90°，
∵∠ACF+∠PCA＝90°，
∴∠PCA＝∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵AF∥CP，AE∥CQ，
∴∠EPC＝∠PAF＝∠FQC，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝CB（等腰三角三线合一），
∵AF是CD边上的中线，
∴CF＝CD，
∵CB＝DC，
∴CE＝CF，
∵PC⊥CD，QC⊥BC，
∴∠ECP+∠PCQ＝∠QCF+∠PCQ＝90°，
∴∠PCE＝∠QCF，
∴△PEC≌△QFC（AAS），
∴PC＝QC，
∴四边形APCQ是菱形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．
∴CG⊥AD．
∴∠AEB＝∠CGD＝90°．
∵AE＝CG，
∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．
∴BE＝DG；
（2）解：当BC＝AB时，四边形ABFG是菱形．
证明：∵AB∥GF，AG∥BF，
∴四边形ABFG是平行四边形．
∵Rt△ABE中，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∵BC＝AB
∴BE＝CF
∴EF＝AB
∴AB＝BF
∴四边形ABFG是菱形，
19．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE＝BC，
∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB，
∴DE＝EF；
（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG＝∠DGC，
∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，
∴CD＝DB＝AD，
∴∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1＝90°，
∵∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠1＝∠DCB＝∠B，
∵∠A+∠ADG＝∠1，
∴∠A+∠DGC＝∠B．
20．（1）证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED＝CD．
∴∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°．（1分）
∴AB∥CD，DE∥CF．（2分）
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，（3分）
∴四边形EFCD是菱形．（4分）
（2）解：连接DF，与CE相交于点G，（5分）
由CD＝4，可知CG＝2，（6分）
∴，（7分）
∴．（8分）