北师大版七年级数学上学期《第5章 一元一次方程》 单元练习（word版含答案）

第5章
一元一次方程
一．选择题
1．下列方程中是一元一次方程的是（　　）
A．+1＝3
B．x2﹣2x﹣1＝0
C．3x﹣y＝4
D．x﹣1＝3x
2．下列所给条件，不能列出方程的是（　　）
A．某数比它的平方小6
B．某数加上3，再乘以2等于14
C．某数与它的的差
D．某数的3倍与7的和等于29
3．若关于x的方程2x﹣（2a﹣1）x+3＝0的解是x＝3，则a＝（　　）
A．1
B．0
C．2
D．3
4．下列等式变形正确的是（　　）
A．若﹣3x＝5，则x＝﹣
B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
5．解是x＝2的方程是（　　）
A．2（x﹣1）＝6
B．
C．
D．
6．若方程3x+6＝12的解也是方程6x+3a＝24的解，则a的值为（　　）
A．
B．4
C．12
D．2
7．若某件商品的原价为a元，提价10%后，欲恢复原价，应降价（　　）
A．
B．
C．
D．
8．某车间28名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，求多少人生产螺栓？设：有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母．依题意列方程应为（　　）
A．12x＝18（28﹣x）
B．2×12x＝18（28﹣x）
C．12×18x＝18（28﹣x）
D．12x＝2×18（28﹣x）
二．填空题
9．在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有　
　，方程有　
　．（填入式子的序号）
10．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　
　．
11．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　
　．
12．若（k﹣1）x|k|+3＝﹣1是关于x的一元一次方程，则k＝　
　．
13．已知x＝2是关于x的一元一次方程1﹣2ax＝x+a的解，则a的值为　
　．
14．若关于的方程|1﹣x|＝mx有解，则实数m的取值范围　
　．
15．若关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，则a＝　
　．
三．解答题
16．已知是方程的解，求m的值．
17．阅读题：课本上有这样一道例题：“解方程：
解：去分母得：6（x+15）＝15﹣10（x﹣7）…①
6x+90＝15﹣10x+70…②
16x＝﹣5
…③
…④
请回答下列问题：
（1）得到①式的依据是　
　；
（2）得到②式的依据是　
　；
（3）得到③式的依据是　
　；
（4）得到④式的依据是　
　．
18．解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21；
（2）﹣1＝+x；
（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3；
（4）﹣＝．
19．关于x的方程（m﹣1）xn﹣3＝0是一元一次方程．
（1）则m，n应满足的条件为：m　
　，n　
　；
（2）若此方程的根为整数，求整数m的值．
20．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”，例如：2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程2x＝﹣4是和解方程．
（1）判断﹣3x＝是否是和解方程，说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5x＝m﹣2是和解方程，求m的值．
21．“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
22．“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了二种方案：
方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利　
　元．
方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利　
　元．
问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12，点P为数轴上一动点．
（1）数轴上点A表示的数为　
　．点B表示的数为　
　；
（2）数轴上是否存在一点P，使点P到点A、点B的距离和为16，若存在，请求出此时点P所表示的数；若不存在，请说明理由；
（3）点P以每秒1个单位长度的速度从C点向左运动，点Q以每秒2个单位长度从点B出发向左运动，点R从点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，它们同时出发，运动的时间为t秒，请求点P与点Q，点R的距离相等时t的值．
24．如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
25．已知数轴上三点A，O，B的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x的值是　
　；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之比是5：1？若存在，请求出x的值：若不存在请说明理由；
（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度从点O向左运动时，点A和点B分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么几分钟时点P到点A，点B的距离相等？
参考答案
一．选择题
1．解：A、分母中含有未知数是分式方程，故此选项错误；
B、未知项的最高次数为2是一元二次方程，故此选项错误；
C、含有两个未知数，是二元一次方程，故此选项错误；
D、是一元一次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．解：设某数为x，
A、x2﹣x＝6，是方程，故本选项错误；
B、2（x+3）＝14，是方程，故本选项错误；
C、x﹣x，不是方程，故本选项正确；
D、3x+7＝29，是方程，故本选项错误．
故选：C．
3．解：把x＝3代入方程得到：6﹣3（2a﹣1）+3＝0
解得：a＝2．
故选：C．
4．解：A、若﹣3x＝5，则x＝﹣，错误，故本选项不符合题意；
B、若，则2x+3（x﹣1）＝6，错误，故本选项不符合题意；
C、若5x﹣6＝2x+8，则5x﹣2x＝8+6，错误，故本选项不符合题意；
D、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
5．解：将x＝2分别代入题目中的四个选项得：
A、2（x﹣1）＝2（2﹣1）＝2≠6，所以，A错误；
B.＝+1＝2＝X＝2，所以，B正确；
C.＝＝，所以，C错误；
D.＝＝≠1﹣x＝1﹣2＝﹣1，所以D错误；
故选：B．
6．解：3x+6＝12，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2，
将x＝2代入6x+3a＝24中得：12+3a＝24，
解得：a＝4．
故选：B．
7．解：提价10%后价格为1.1a，设应降价为x，
则恢复原价，降价为1.1a﹣a，
降价为x＝，
化简得：x＝，
故选：C．
8．解：∵有x名工人生产螺栓，
∴有（28﹣x）名工人生产螺母，
∵每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，
∴螺栓有12x，螺母有18×（28﹣x）个，
故方程为2×12x＝18（28﹣x），
故选：B．
二．填空题
9．解：等式有②③④，方程有②④．
故答案为：②③④，②④．
10．解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1﹣，
解得：a＝1．
故答案是：1．
11．解：根据题意得：3a+5＝4a．
故答案为：3a+5＝4a．
12．解：由题意可知：，
∴k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．解：把x＝2代入方程得1﹣4a＝2+a，
解得a＝﹣．
故答案是：﹣．
14．解：|1﹣x|＝mx，
①当x≥1时，x﹣1＝mx，（1﹣m）x＝1，m≠1时，x＝，
∴≥1，解得：0＜m＜1；
②当x＜1时，1﹣x＝mx，（1+m）x＝1，m≠﹣1时，x＝，
＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，
∴m＜﹣1或m≥0；
综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．
故答案为：m≥0或m＜﹣1．
方法二：利用图象法，讨论y＝|1﹣x|和y＝mx有交点即可得出结论：
m≥0或m＜﹣1．
15．解：∵4x+3＝7，
∴x＝1．
∵关于x的方程5x﹣1＝2x+a的解与方程4x+3＝7的解相同，
∴方程5x﹣1＝2x+a的解为x＝1．
∴5﹣1＝2+a，
解得：a＝2．
故答案为：2．
三．解答题
16．解：根据题意得：3（m﹣×）+×＝5m，
解得：m＝﹣．
17．解：
（1）得到①式的依据是等式性质2：等式两边同时乘（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．
（2）得到②式的依据是乘法分配律．
（3）得到③式的依据是等式性质1：等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，两边依然相等．
（4）得到④式的依据是等式性质2．
18．解：（1）移项得：﹣3x﹣4x＝21﹣7，
合并得：﹣7x＝14，
系数化为1得：x＝﹣2；
（2）去分母得：2（x+4）﹣10＝5（x﹣2）+10x，
去括号得：2x+8﹣10＝5x﹣10+10x，
移项得：2x﹣15x＝﹣8，
系数化为1得：x＝；
（3）去括号得：9y+2y﹣8＝3，
移项合并得：11y＝11，
系数化为1得：y＝1；
（4）方程可变形为﹣＝4﹣8x，
去分母得：9（30x﹣15）﹣2（20x﹣10）＝18（4﹣8x）
整理得：270x﹣135﹣40x+20＝72﹣144x
移项合并得：374x＝187
系数化为1得：x＝．
19．解：（1）根据一元一次方程的定义得：
m﹣1≠0，n＝1，
即m≠1，n＝1，
故答案为：≠1，＝1；
（2）由（1）可知方程为（m﹣1）x﹣3＝0，则x＝
∵此方程的根为整数，
∴为整数．
又m为整数，则m﹣1＝﹣3，﹣1，1，3，
∴m＝﹣2，0，2，4．
20．解：（1）∵﹣3x＝，
∴x＝﹣，
∵﹣3＝﹣，
∴﹣3x＝是和解方程；
（2）∵关于x的一元一次方程5x＝m﹣2是和解方程，
∴m﹣2+5＝，
解得：m＝﹣．
故m的值为﹣．
21．解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得
x：600＝100：60
∴x＝1000
∴1000﹣600﹣100＝300
答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得
y＝200+y
∴y＝500
答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
22．解：由已知得：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：
1000×52.5＝52500（元）．
故答案为：52500．
30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：
0.5×30×5000+（52.5﹣0.5×30）×100＝78750（元）．
故答案分为：78750．
由已知分析存在第三种方案．
设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，依题意得：
8x+0.5×（30﹣x）＝52.5，
解得：x＝5，30﹣x＝25，
所以销售后所获利润为：1000×5×8+5000×25×0.5＝102500（元）．
23．解：（1）由题意得：数轴上点A表示的数为﹣10，点B表示的数为2，
故答案为：﹣10，2；
（2）∵AB＝12，
∴P不可能在线段AB上，
所以分两种情况：
①如图1，当点P在BA的延长线上时，PA+PB＝16，
∴PA+PA+AB＝16，
2PA＝16﹣12＝4，
PA＝2，
则点P表示的数为﹣12；
②如图2，当点P在AB的延长线上时，同理得PB＝2，
则点P表示的数为4；
综上，点P表示的数为﹣12或4；
（3）由题意得：t秒P点到点Q，点R的距离相等，则此时点P、Q、R所表示的数分别是6﹣t，2﹣2t，﹣10+5t，
①6﹣t﹣（2﹣2t）＝6﹣t﹣（﹣10+5t），
t＝，
②6﹣t﹣（2﹣2t）＝（﹣10+5t）﹣（6﹣t），
t＝4，
答：点P与点Q，点R的距离相等时t的值是或4秒．
24．解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；
（2）①2x+1＝x﹣8
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB＝BC，
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，
∴|m+3|+|m﹣2|＝8，
当m＞2时，解得，m＝3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解，
当m＜﹣3时，m＝﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．
25．解：（1）由题意得，|x﹣（﹣3）|＝|x﹣1|，
解得x＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得，|x+3|＝5|x﹣1|，
x+3＝5（x﹣1），x+3＝﹣5（x﹣1），
解得x＝，x＝2，
答：当x＝或x＝2时，存在点P，使点P到点A，点B的距离之比是5：1；
（3）设运动时间为t，点P表示的数为﹣3t，点A表示的数为﹣3﹣t，点B表示的数为1﹣4t，
∵点P到点E，点F的距离相等，
∴|﹣3t﹣（﹣3﹣t）|＝|﹣3t﹣（1﹣4t）|，
∴﹣2t+3＝t﹣1或﹣2t+3＝1﹣t，
解得t＝或t＝2．
答：或2分钟时，点P到点A，点B的距离相等．