第21章
二次根式
一.选择题
1.使代数式有意义的x的取值范围是( )
A.x≥﹣3
B.x≤﹣3
C.x>﹣3
D.﹣3<x≤0
2.如果最简二次根式与是同类二次根式,那么3的值为( )
A.
B.±3
C.3
D.3
3.若1<x<4,则化简﹣=( )
A.﹣3
B.5﹣2x
C.3
D.5
4.已知是正整数,则实数n的最小值是( )
A.3
B.2
C.1
D.
5.已知﹣1<a<0,化简的结果为( )
A.2a
B.﹣2a
C.﹣
D.
6.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知:a+b=﹣5,ab=1,则+的值为( )
A.5
B.﹣5
C.25
D.5或﹣5
8.下列运算正确的是( )
A.?==±
B.(ab2)3=ab5
C.(x﹣y+)(x+y+)=(x+y)2
D.÷=﹣
9.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为cm,宽为4cm)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A.4cm
B.16cm
C.2(+4)cm
D.4(﹣4)cm
10.如图是一个按某种规律排列的数阵:
根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n﹣3)个数是(用含n的代数式表示)( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题
11.已知a=,则的值为
.
12.已知y=+17,则x+y的平方根为
.
13.化简:﹣=
.
14.将a根号外面的式子移到根号内是
.
三.解答题
15.已知:a=+2,b=﹣2,求代数式(a﹣3)(b﹣3)﹣(a2+b2)的值.
16.计算:
(1);
(2);
(3);
(4).
17.若x=,y=,求x2﹣xy+y2的值.
18.阅读下面的材料,解答后面给出的问题:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如与,与.这样,化简一个分母含有二次根式的式子时,采用分子、分母同乘分母的
有理化因式的方法就可以了,例如,.
(1)请你写出的有理化因式:
;
(2)请仿照上面给出的方法化简下列各式:
①;
②(b>0,b≠1);
(3)已知,,求的值.
19.先阅读下列材料,再解决问题:
阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数,形如,如果你能找到两个数m、n,使m2+n2=a,且mn=,则可变形为==|m±n|,从而达到化去一层根号的目的.
例如:====|1﹣|=﹣1
仿照上例完成下面各题:
①填上适当的数:===|
|=
;
②试将化简.
20.阅读下列解题过程:
==﹣1;
==﹣;
==﹣=2﹣;
…
解答下列各题
①=
;=
;
②观察下面的解题过程,请直接写出式子=
.
③利用这一规律计算:
(+++…+)(+1).
21.材料一:《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂,从部分到整体,由低维到高惟,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
材料二:恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形,可以把无理数运算转化为有理数运算,可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如当x=时,求的值.为解答这题,若直接把x=代入所求的式中,进行计算,显然很麻烦,我们可以通过恒等变形,对本题进行解答.
方法一:将条件变形,因x=,得x﹣1=.再把所求的代数式变形为关于(x﹣1)的表达式.原式=(x3﹣2x2﹣2x)+2=[x2(x﹣1)﹣x(x﹣1)﹣3x]+2=[x(x﹣1)2﹣3x]+2=(3x﹣3x)+2=2.
方法二:先将条件化成整式,再把等式两边同时平方,把无理数运算转化为有理数运算.
由x﹣1=,可得x2﹣2x﹣2=0,即x2﹣2x=2,x2=2x+2.
原式=x(2x+2)﹣x2﹣x+2=x2+x﹣x2﹣x+2=2
请参照以上的解决问题的思路和方法,解决以下问题:
(1)若a2﹣3a+1=0,求2a3﹣5a2﹣3+的值;
(2)已知x=,求的值.
22.某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地,长方形绿地的长BC为,宽AB为,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为,宽为.
(1)长方形ABCD的周长是多少?
(2)除去修建花坛的地方,其它地方全修建成通道,通道上要铺上造价为5元/m2的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元?(结果化为最简二次根式)
23.据报道2016年9月12日有一个熊孩子把34楼的啤酒瓶搬到28楼然后扔下去,所幸并没有人员伤亡,熊孩子也被家长打的屁股开花;据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t=(不考虑风速的影响).
(1)从50米高空抛物到落地所需时间t1的值是多少?
(2)从100米高空抛物到落地所需时间t2的值是多少?(求t的值)
(3)t2是t1的多少倍?
24.细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题:
OA1=1;
OA2==;
S1=×1×1=;
OA3==; S2=××1=;
OA4==; S3=××1=;
(1)推算出OA10=
.
(2)若一个三角形的面积是.则它是第
个三角形.
(3)用含n(n是正整数)的等式表示上述面积变化规律;
(4)求出S12+S22+S23+…+S2100的值.
25.由于全球气候变暖,导致一些冰川融化消失.在冰川消失12年后,一种低等植物苔藓就开始在岩石上丛生.每一丛苔藓都会近似长成圆形,毎丛苔藓的直径d(单位:厘米)与冰川消失之后经过的时间t(单位:年)近似地满足关系式.
(1)求关系中t的取值范围;
(2)计算冰川消失21年后,一丛苔藓的直径;
(3)如果测得一丛苔藓的直径是42厘米,那么冰川大约是在多少年前消失的?
参考答案
一.选择题
1.解:∵代数式有意义,
∴2x+6>0,
∴x>﹣3,
故选:C.
2.解:∵最简二次根式与是同类二次根式,
∴3a+8=12﹣a,
解得:a=1,
故,
故选:D.
3.解:∵1<x<4,
原式=|x﹣4|﹣|x﹣1|
=﹣(x﹣4)﹣(x﹣1)
=﹣x+4﹣x+1
=5﹣2x.
故选:B.
4.解:是正整数,则实数n的最小值为.
故选:D.
5.解:
=﹣
=||﹣||,
当﹣1<a<0时,原式=a﹣+=2a.
故选:A.
6.解:A、原式=|a|,不符合题意;
B、原式为最简二次根式,符合题意;
C、原式=,不符合题意;
D、原式=3,不符合题意.
故选:B.
7.解:∵a+b=﹣5,ab=1,
∴a<0,b<0,
+=﹣﹣=﹣,
又∵a+b=﹣5,ab=1,
∴原式=﹣=5;
故选:A.
8.解:A、,故选项错误;
B、(ab2)3=a3b6,故选项错误;
C、
=
=
=(x+y)2,故选项正确;
D、,故选项错误;
故选:C.
9.解:设小长方形卡片的长为x,宽为y,
根据题意得:x+2y=,
则图②中两块阴影部分周长和是2+2(4﹣2y)+2(4﹣x)=2+4×4﹣4y﹣2x=2+16﹣2(x+2y)=2+16﹣2=16(cm).
故选:B.
10.解:由图中规律知,前(n﹣1)行的数据个数为2+4+6+…+2(n﹣1)=n(n﹣1),
所以第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n﹣3)个数的被开方数是
n(n﹣1)+n﹣3=n2﹣3,
所以第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n﹣3)个数是.
故选:C.
二.填空题
11.解:∵a==﹣1,=+1,
∴
=
=|a﹣|
=﹣a
=+1﹣(﹣1)
=2.
故答案为:2.
12.解:∵y=+17,
∴x﹣8≥0且8﹣x≥0,
∴x≥8且x≤8,
∴x=8,y=17,
∴x+y=8+17=25,
∴x+y的平方根是±5.
故答案是:±5.
13.解:∵2﹣=(4﹣2)
=(3﹣2+1)
=(﹣1)2,
2+=(4+2)
=(3+2+1)
=(+1)2,
∴原式=﹣
=(﹣1)﹣()
=﹣﹣﹣
=﹣.
故答案为:﹣.
14.解:a=﹣(﹣a)=﹣=﹣.
故答案为:.
三.解答题
15.解:∵a=+2,b=﹣2,
∴a+b=+2+﹣2=2,ab=(+2)(﹣2)=3﹣4=﹣1,
则(a﹣3)(b﹣3)﹣(a2+b2)
=ab﹣3a﹣3b+9﹣[(a+b)2﹣2ab]
=ab﹣3(a+b)+9﹣[(a+b)2﹣2ab]
=﹣1﹣6+9﹣(12+2)
=﹣1﹣6+9﹣14
=﹣6﹣6.
16.解:(1)原式=2﹣+
=;
(2)原式=(3﹣)×2
=×2
=10;
(3)原式=5﹣7﹣(12+4+1)
=﹣2﹣13﹣4
=﹣15﹣4;
(4)原式=1﹣2+2+3
=4.
17.解:∵x==2﹣,y==2+,
∴x+y=4,xy=1,
∴原式=(x+y)2﹣3xy=42﹣3×1=13.
18.解:(1)由题意可得,
的有理化因式是3﹣,
故答案为:3﹣;
(2)①===17﹣12;
②∵(b>0,b≠1),
∴===1+;
(3)∵=+2,=﹣2,
∴a+b=2,ab=1,
∴
=
=
=
=
=5.
19.解:①
=
=
=|﹣|
=﹣;
故答案为:﹣;﹣;
②原式=
=+.
20.解:①==﹣;
=
=﹣;
②==+.
③(+++…+)(+1)
=(﹣1+﹣+﹣+…+﹣)(+1)
=(﹣1)(+1)
=2020﹣1
=2019.
故答案为:﹣;﹣;+.
21.解:(1)∵a2﹣3a+1=0,
∴a2﹣3a=﹣1,a2+1=3a,a+=3,
∴2a3﹣5a2﹣3+
=2a(a2﹣3a)+(a2﹣3a)+3a﹣3+
=2a×(﹣1)+(﹣1)+3a﹣3+
=﹣2a﹣1+3a﹣3+
=a﹣4+
=3﹣4
=﹣1;
(2)∵x=2+,
∴x﹣2=,
∴
=
=
=
=
=
=
=
=
=.
22.解:(1)长方形ABCD的周长=2()=2(9+8)=18+16(m),
答:长方形ABCD的周长是18+16(m),
(2)购买地砖需要花费=5[]
=5[72﹣(14﹣1)]
=5(72﹣13)
=360﹣65(元);
答:购买地砖需要花费(360﹣65)元;
23.解:(1)当h=50时,t1===(秒);
(2)当h=100时,t2====2(秒);
(3)∵==,
∴t2是t1的倍.
24.解:(1))∵OAn2=n,
∴OA10=.
故答案为:;
(2)若一个三角形的面积是,
∵Sn==,
∴=2=,
∴它是第20个三角形.
故答案为:20;
(3)结合已知数据,可得:OAn2=n;Sn=;
(4)S12+S22+S23+…+S2100
=++++…+
=
=
25.解:(1)t﹣12≥0
解得t≥12;
(2)当t=21时,d=7×=7×3=21cm
答:冰川消失21年后苔藓的直径为21cm;
(2)当d=42时,=6,即t﹣12=36,解得t=48
答:冰川约是在48年前消失的.