华东师大版九年级上学期数学《第21章 二次根式》 单元练习（Word版 含解析）

第21章
二次根式
一．选择题
1．使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣3
B．x≤﹣3
C．x＞﹣3
D．﹣3＜x≤0
2．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么3的值为（　　）
A．
B．±3
C．3
D．3
3．若1＜x＜4，则化简﹣＝（　　）
A．﹣3
B．5﹣2x
C．3
D．5
4．已知是正整数，则实数n的最小值是（　　）
A．3
B．2
C．1
D．
5．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（　　）
A．2a
B．﹣2a
C．﹣
D．
6．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知：a+b＝﹣5，ab＝1，则+的值为（　　）
A．5
B．﹣5
C．25
D．5或﹣5
8．下列运算正确的是（　　）
A．?＝＝±
B．（ab2）3＝ab5
C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2
D．÷＝﹣
9．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）
A．4cm
B．16cm
C．2（+4）cm
D．4（﹣4）cm
10．如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知a＝，则的值为　
　．
12．已知y＝+17，则x+y的平方根为　
　．
13．化简：﹣＝　
　．
14．将a根号外面的式子移到根号内是　
　．
三．解答题
15．已知：a＝+2，b＝﹣2，求代数式（a﹣3）（b﹣3）﹣（a2+b2）的值．
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．若x＝，y＝，求x2﹣xy+y2的值．
18．阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的
有理化因式的方法就可以了，例如，．
（1）请你写出的有理化因式：　
　；
（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：
①；
②（b＞0，b≠1）；
（3）已知，，求的值．
19．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且mn＝，则可变形为＝＝|m±n|，从而达到化去一层根号的目的．
例如：＝＝＝＝|1﹣|＝﹣1
仿照上例完成下面各题：
①填上适当的数：＝＝＝|　
　|＝　
　；
②试将化简．
20．阅读下列解题过程：
＝＝﹣1；
＝＝﹣；
＝＝﹣＝2﹣；
…
解答下列各题
①＝　
　；＝　
　；
②观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　
　．
③利用这一规律计算：
（+++…+）（+1）．
21．材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如当x＝时，求的值．为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一：将条件变形，因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2．
方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．
由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．
原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；
（2）已知x＝，求的值．
22．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
23．据报道2016年9月12日有一个熊孩子把34楼的啤酒瓶搬到28楼然后扔下去，所幸并没有人员伤亡，熊孩子也被家长打的屁股开花；据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t＝（不考虑风速的影响）．
（1）从50米高空抛物到落地所需时间t1的值是多少？
（2）从100米高空抛物到落地所需时间t2的值是多少？（求t的值）
（3）t2是t1的多少倍？
24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：
OA1＝1；
OA2＝＝；　　
S1＝×1×1＝；
OA3＝＝；　　　　S2＝××1＝；
OA4＝＝；　　　　S3＝××1＝；
（1）推算出OA10＝　
　．
（2）若一个三角形的面积是．则它是第　
　个三角形．
（3）用含n（n是正整数）的等式表示上述面积变化规律；
（4）求出S12+S22+S23+…+S2100的值．
25．由于全球气候变暖，导致一些冰川融化消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上丛生．每一丛苔藓都会近似长成圆形，毎丛苔藓的直径d（单位：厘米）与冰川消失之后经过的时间t（单位：年）近似地满足关系式．
（1）求关系中t的取值范围；
（2）计算冰川消失21年后，一丛苔藓的直径；
（3）如果测得一丛苔藓的直径是42厘米，那么冰川大约是在多少年前消失的？
参考答案
一．选择题
1．解：∵代数式有意义，
∴2x+6＞0，
∴x＞﹣3，
故选：C．
2．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a+8＝12﹣a，
解得：a＝1，
故，
故选：D．
3．解：∵1＜x＜4，
原式＝|x﹣4|﹣|x﹣1|
＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣1）
＝﹣x+4﹣x+1
＝5﹣2x．
故选：B．
4．解：是正整数，则实数n的最小值为．
故选：D．
5．解：
＝﹣
＝||﹣||，
当﹣1＜a＜0时，原式＝a﹣+＝2a．
故选：A．
6．解：A、原式＝|a|，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝3，不符合题意．
故选：B．
7．解：∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
+＝﹣﹣＝﹣，
又∵a+b＝﹣5，ab＝1，
∴原式＝﹣＝5；
故选：A．
8．解：A、，故选项错误；
B、（ab2）3＝a3b6，故选项错误；
C、
＝
＝
＝（x+y）2，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选：C．
9．解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：x+2y＝，
则图②中两块阴影部分周长和是2+2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2+4×4﹣4y﹣2x＝2+16﹣2（x+2y）＝2+16﹣2＝16（cm）．
故选：B．
10．解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵a＝＝﹣1，＝+1，
∴
＝
＝|a﹣|
＝﹣a
＝+1﹣（﹣1）
＝2．
故答案为：2．
12．解：∵y＝+17，
∴x﹣8≥0且8﹣x≥0，
∴x≥8且x≤8，
∴x＝8，y＝17，
∴x+y＝8+17＝25，
∴x+y的平方根是±5．
故答案是：±5．
13．解：∵2﹣＝（4﹣2）
＝（3﹣2+1）
＝（﹣1）2，
2+＝（4+2）
＝（3+2+1）
＝（+1）2，
∴原式＝﹣
＝（﹣1）﹣（）
＝﹣﹣﹣
＝﹣．
故答案为：﹣．
14．解：a＝﹣（﹣a）＝﹣＝﹣．
故答案为：．
三．解答题
15．解：∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝+2+﹣2＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，
则（a﹣3）（b﹣3）﹣（a2+b2）
＝ab﹣3a﹣3b+9﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝ab﹣3（a+b）+9﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝﹣1﹣6+9﹣（12+2）
＝﹣1﹣6+9﹣14
＝﹣6﹣6．
16．解：（1）原式＝2﹣+
＝；
（2）原式＝（3﹣）×2
＝×2
＝10；
（3）原式＝5﹣7﹣（12+4+1）
＝﹣2﹣13﹣4
＝﹣15﹣4；
（4）原式＝1﹣2+2+3
＝4．
17．解：∵x＝＝2﹣，y＝＝2+，
∴x+y＝4，xy＝1，
∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝42﹣3×1＝13．
18．解：（1）由题意可得，
的有理化因式是3﹣，
故答案为：3﹣；
（2）①＝＝＝17﹣12；
②∵（b＞0，b≠1），
∴＝＝＝1+；
（3）∵＝+2，＝﹣2，
∴a+b＝2，ab＝1，
∴
＝
＝
＝
＝
＝5．
19．解：①
＝
＝
＝|﹣|
＝﹣；
故答案为：﹣；﹣；
②原式＝
＝+．
20．解：①＝＝﹣；
＝
＝﹣；
②＝＝+．
③（+++…+）（+1）
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）
＝（﹣1）（+1）
＝2020﹣1
＝2019．
故答案为：﹣；﹣；+．
21．解：（1）∵a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，a2+1＝3a，a+＝3，
∴2a3﹣5a2﹣3+
＝2a（a2﹣3a）+（a2﹣3a）+3a﹣3+
＝2a×（﹣1）+（﹣1）+3a﹣3+
＝﹣2a﹣1+3a﹣3+
＝a﹣4+
＝3﹣4
＝﹣1；
（2）∵x＝2+，
∴x﹣2＝，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
22．解：（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（9+8）＝18+16（m），
答：长方形ABCD的周长是18+16（m），
（2）购买地砖需要花费＝5[]
＝5[72﹣（14﹣1）]
＝5（72﹣13）
＝360﹣65（元）；
答：购买地砖需要花费（360﹣65）元；
23．解：（1）当h＝50时，t1＝＝＝（秒）；
（2）当h＝100时，t2＝＝＝＝2（秒）；
（3）∵＝＝，
∴t2是t1的倍．
24．解：（1））∵OAn2＝n，
∴OA10＝．
故答案为：；
（2）若一个三角形的面积是，
∵Sn＝＝，
∴＝2＝，
∴它是第20个三角形．
故答案为：20；
（3）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；
（4）S12+S22+S23+…+S2100
＝++++…+
＝
＝
25．解：（1）t﹣12≥0
解得t≥12；
（2）当t＝21时，d＝7×＝7×3＝21cm
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21cm；
（2）当d＝42时，＝6，即t﹣12＝36，解得t＝48
答：冰川约是在48年前消失的．