北师大版八年级数学下册课件：1.1 第1课时 等腰三角形的性质（26张）

(共26张PPT)
第一章
三角形的证明
1
第1课时
等腰三角形的性质
知识回顾
问题
在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
4.同位角相等，两直线平行；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
情景导入
问题
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?
获取新知
SSS、SAS、ASA是基本事实，不需要证明，是证明其他定理的基本依据，而AAS不是，需要证明，你能证明AAS吗？
AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
知识点一：AAS的证明
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
F
E
D
C
B
A
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识点二：等边对等角
等腰三角形的相关概念回顾：
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
议一议
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
定理
等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
我们曾经用折纸的方法说明了等腰三角形的性质。实际上折痕将等腰三角形分成两个全等三家形，这启发我们可以做一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
证明：作底边的中线AD，则BD=CD.
∴
△BAD≌
△CAD
(SSS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
AB=AC
(
已知
)，
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边)，
在△BAD和△CAD中，
A
B
C
D
方法一：作底边的中线
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
AB=AC
(
已知
),
∠BAD=∠CAD
(
已作
),
AD=AD
(公共边),
∴
△BAD
≌
△CAD
(SAS).
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中，
A
B
C
D
方法二：作顶角的角平分线
实际上，过顶点作底边上的高也是可以的，这个在学习了后面直角三角形的内容后就能说明了
例题讲解
例1
(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
导引：若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(3)若顶角为90°，底角为
若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三
角形内角和定理．因此顶角为90°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，
当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.
因此顶角为40°或70°.
获取新知
知识点三：等腰三角形的三线合一
想一想：由△BAD≌
△CAD，除了可以得到∠B=
∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？得到什么结论？
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC,
∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
BD=CD
(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,
∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
在△ABC中,
例题讲解
例2
如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证:AF⊥BC.
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
随堂演练
1.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(　　)
A.
∠B=∠C
B.
AD=AE
C.
BD=CE
D.
BE=CD
D
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC
D．∠EBC＝∠ABE
C
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，
∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
75°,
30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.若AB=6,
CD=4,则△ABC的周长是　　.
20
6.如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，
解得x=36
°.
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
7.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,∠DBC=
∠BAC.
求证:BD⊥AC.请你将下面的证明过程补充完整,并在相应的括号内注明理由.
证明:如图,过点A作AE⊥BC于点E,交BD于点F.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴∠CAE=
∠　　　　(　　　　　　　　
).?
∵∠DBC=∠BAC,
∴∠CAE=∠DBC(　　　　　).
∵∠1=∠2,∠ADF=180°-∠2-　　　　,
∠BEF=180°-∠1-　　　　,?
∴∠ADF=∠BEF=90°,
∴BD⊥AC(　　　　　　).
BAC
等腰三角形的三线合一
等量代换
∠CAE
∠DBC
垂直的定义
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质.