第27章 小结与复习 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
第二十七章
圆
小结与复习
华东师大版
九年级数学下册
教学课件
要点梳理
1
【知识与技能】
1.掌握圆的相关概念和定理.
2.圆的相关概念和定理的应用.
【过程与方法】
通过对本章知识的系统复习，使学生对本章知识能够全面的了解，掌握.
【情感态度】
在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决圆的相关问题的一般方法.
【教学重点】
掌握圆的相关概念和定理.
【教学难点】
圆的相关概念和定理的应用.
学习目标
要点梳理
·
一、与圆有关的概念
1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2.弦:连结圆上任意两点的线段.
3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4.劣弧:小于半圆周的圆弧.
5.优弧:大于半圆周的圆弧.
要点梳理
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意]
(1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
要点梳理
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。
10.三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心。
[注意]
(1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。(2)一个三角形的外接圆是唯一的。
要点梳理
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心。
[注意]
(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。(2)一个三角形的内切圆是唯一的。
要点梳理
12.正多边形的相关概念
(1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
要点梳理
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
点P在圆内；
d＜r
点P在圆上；
d=r
点P在圆外.
d＞r
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系。
要点梳理
2.直线与圆的位置关系
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的
位置关系
图形
d与r的关系
公共点个数
公共点名称
直线名称
2个
交点
割线
1个
切点
切线
0个
相离
相切
相交
d＞r
d=r
d＜r
要点梳理
三、
圆的基本性质
1.
圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_______所在的直线都是它的对称轴。
直径
2.
有关圆心角、弧、弦的性质
(1)在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
要点梳理
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、有关定理及其推论
1.垂径定理
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　
　.
[注意]
①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
要点梳理
2.圆周角定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
(3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径.
[注意]
“同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.
要点梳理
3.与切线相关的定理
(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
要点梳理
五、圆中的计算问题
1.弧长公式
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________.
2.扇形面积公式
半径为R，圆心角为n°的扇形面积S=
____________.
或
3.弓形面积公式
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
要点梳理
(3)圆锥的侧面积为　
　.
[注意]
圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长。
(4)圆锥的全面积为　
　.
4.圆锥的侧面积
(1)圆锥的侧面展开图是一个　
　.
(2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　
　.
扇形
l
要点梳理
5.圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
其中l为正n边形的周长.
考点讲练
2
考点讲练
核心知识点一
圆周角定理
例1
在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则∠BAD的度数是（
）
A.
72°
B.54°
C.
45°
D.36
°
A
B
C
D
B
考点讲练
135°
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的度数是
.
C
D
B
A
P
O
图a
针对训练
考点讲练
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点，
∠CDB=20
°,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,则∠E等于
.
O
C
A
B
E
D
图b
50°
考点讲练
核心知识点二
垂径定理
例2
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为
mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析
设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.
考点讲练
A
O
B
C
E
F
图a
3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE
⊥AC,OF
⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于
.
（
针对训练
考点讲练
A
B
C
D
P
O
图b
D’
P
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96
°和36
°，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是
.
（
（
考点讲练
核心知识点三
与圆有关的位置关系
B
北
60°
30°
A
C
例3
如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在B处测得灯塔A在北偏东600的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东300的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由。（参考数据
=1.732）
考点讲练
解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
考点讲练
B
北
60°
30°
A
C
D
解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.
∵∠ABC=30°，∴AB=2x.
BD=
x.
∵∠ACD=90°-30°=60°，
∴
AD=CD×tan60°，CD=
.
BC=BD-CD=
=8.
解得
x=
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险。
考点讲练
5.
☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是（
）
A．点A在☉O内部
B．点A在☉O上
C．点A在☉O外部
D．点A不在☉O上
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与
☉O的关系。
D
针对训练
考点讲练
例4
如图，
O为正方形对角线上一点，以点O
为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
A
B
C
D
O
M
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M,
∴
∠OMC=90
°,
∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.
∴AC是∠BCD的角平分线，
∴ON=OM，
∴
CD与☉O相切.
N
考点讲练
A
B
C
D
O
M
(2)解:
∵正方形ABCD的边长为1,AC=
.
设☉O的半径为r,则OC=
.
又易知△OMC是等腰直角三角形，
∴OC=
因此有
，解得
.
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.
考点讲练
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
考点讲练
6.（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O，
∠AOD=30
°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么
秒钟后☉P与直线CD相切.
4或8
解析：
根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
针对训练
A
B
D
C
P
P2
P1
E
考点讲练
例5
已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，过
上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.
(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC，
∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，
∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.
∴∠DOE＝
∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
考点讲练
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C，
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
(2)若PA＝4
cm，求△PDE的周长．
考点讲练
核心知识点四
圆中的计算问题
例6
如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上,
OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形OEF的面积?
解：∵四边形OABC为菱形
∴OC=OA=1
∵
∠AOC=120°，∠1=∠2
∴
∠FOE=120°
又∵点C在以点O为圆心的圆上
考点讲练
7.（1）一条弧所对的圆心角为135
°
，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为
.
（2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.
40cm
针对训练
考点讲练
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
考点讲练
例7
如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积。
考点讲练
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合，
点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴
AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在Rt△AC'C中，得
∴正方形ABCD外接圆的半径为
∴正方形ABCD的边长为
考点讲练
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于
”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件。
方法总结
考点讲练
9.
如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．
（1）求正方形EFGH的面积；
解：（1）∵正六边形的边长与其半径相等，∴EF=OF=5.
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=EF=5，
∴正方形EFGH的面积是25.
针对训练
考点讲练
（2）∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE
+∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF=
（1800-∠OFG）
=
（1800-1500）=150.
（2）连接OF、OG，求∠OGF的度数．
考点讲练
核心知识点五
与圆有关的作图
·
a
b
c
d
a
例8
如何解决“破镜重圆”的问题：
O
·
考点讲练
例9
如何作圆内接正五边形怎么作?
·
O
E
72°
B
A
D
C
（1）用量角器作72°的中心角，得圆的五等分点；
（2）依次连接各等分点，得圆的内接正五边形。
考点讲练
核心知识点六
圆的综合
[解析]
连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.
例10
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.
（1）求证：BC=2DE.
考点讲练
解：（1）证明：连接BD，
∵AB为直径，∠ABC=90°，
∴BE切☉O于点B.
又∵DE切☉O于点D，∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB.
∵∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠C=∠CDE，DE=CE.
∴BC=BE+CE=2DE.
考点讲练
（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.
在Rt△ABC中，
∴AB=BC?
=
在Rt△ABC中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴
即
∴
（2）若tanC=
,DE=2，求AD的长.
考点讲练
10.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的☉O交AC于点D，连接BD.
针对训练
考点讲练
解：（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD=3，BD=4，∴AB=5.
∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∵
即
∴BC=
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.
考点讲练
又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠D=90°，
∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
即∠BDE+∠CDE=90°.
∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.
∴ED与☉O相切.
（2）证明：连接OD，在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.
又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与☉O相切.
知识小结
3
知识小结
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
弧长与扇形面积的计算
圆的对称性
圆是中心对称图形
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
直线与圆的位置的关系
切线长定理
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
切线
三角形的内切圆
正多边形与圆
作图
课后作业
4
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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