沪科版（2012）初中数学八年级上册 13.1.3 命题与证明（1） 教案

命题与证明（1）
教学目标：
1．通过“对顶角相等”与“三角形的内角和”两例的回顾，初步理解证明的含义，知道推理的基本过程和因果关系的表述．
2．体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光．
教学重点：理解演绎证明的过程．
教学难点：演绎证明因果关系的表述．
教学过程：
教师活动
学生活动
教学设计意图
一、复习旧知，理解概念师：一般来说，证明是指人们为获得使人信服的结论所采用的手段，有“实践证明”、“历史证明”、“举例证明”等多种形式；而对数学结论的正确性进行证明，还有更为严格的形式．问1：怎样才算严格的数学证明呢？下面以“对顶角相等”为例进行分析．问2：你会用哪些方法来导出“对顶角相等”？教师归纳补充：方法一：直观说明；
方法二：操作确认；方法三：推理论证．请结合图形，说明理由．∵∠1与∠2是邻补角（已知），∴∠1＋∠2＝180°，（邻补角的意义），∵∠1与∠3是邻补角（已知），∴∠1＋∠3＝180°，（邻补角的意义），∴∠2＝∠3（同角的补角相等）．问3：这些方法中，哪一种最可靠、最有说服力？师：像第三种方法，称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式．在本书中演绎证明以后简称为证明．我们再举一个例子，“三角形内角和等于180o”．问4：你会用哪些方法来导出“三角形内角和等于180o”？根据剪拼得到内错角相等，从而两直线平行，启发了添加辅助线的方法．请结合图形，说明理由．过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠EAB+∠A+∠FAC=180°（平角的意义），∴∠B+∠A+∠C=180°（等量代换）．二、表述因果，领悟证明通过以上两例，我们初步知道了什么是演绎证明．还从中看到演绎证明的每一步推理都必须有依据，通常把每一步的依据写在由其得到的结论后面的括号内；整个证明由一段一段的因果关系连接而成，段与段前后连贯，有序展开．下面，以“对顶角相等”为例进行因果分析：第一段：因：∠1与∠2是邻补角果：∠1＋∠2＝180°，依据：邻补角的意义第二段：因：∠2与∠3是邻补角果：∠2＋∠3＝180°，依据：邻补角的意义第三段：因：∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，果：∠1＝∠3，依据：同角的补角相等证明过程可以简写为：∵∠1与∠2是邻补角（已知），∴∠1＋∠2＝180°，（邻补角的意义），同理，∠1＋∠3＝180°，∴∠2＝∠3（同角的补角相等）．从整体上看，前一段的“果”为后一段提供了“因”，一连串这样连贯、有序的因果关系组成了完整的证明．三、课堂练习1．请说一说“三角形内角和等于180o”的因果关系．答：第一段：因：EF∥BC，果：∠EAB=∠B，∠FAC=∠C依据：两直线平行，内错角相等第二段：因：∠EAB=∠B，∠FAC=∠C和∠EAB+∠A+∠FAC=180°果：∠B+∠A+∠C=180°依据：等量代换2．补充练习阅读下面的证明过程，在括号内填人适当的理由，并在横线上说明其中的因果关系．已知：BD平分∠ABC，DE//BC，求证：BE=DE．证明：∵
BD平分∠ABC(
)∴∠l=∠2(
)∵DE//BC(
)∴∠2=∠3(
)∴∠l=∠3(
)∴BE=DE(
)第一段第二段第三段第四段3．课本P86
练习1、21．阅读下面的证明过程，说一说其中的因果关系．已知：如图，∠AOC与∠COB互为邻补角，OD平分∠AOC，OE平分∠COB．求证：∠DOE=90o．证明：∵OD平分∠AOC(已知)，∴∠1=∠AOC(角平分线的意义)．同理∠2=∠COB．∴∠1+∠2=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)(等式性质)．∵∠AOC与∠COB互为邻补角(已知)，∴∠AOC+∠COB=180o(邻补角的意义)，得∠1+∠2=90o(等量代换)，∴∠DOE=90o．2．已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边BC、AB、AC上，且DF∥AB，DE∥AC，试利用平行线的性质证明∠A+∠B+∠C=180°．四、课堂小结谈谈这节课你有什么收获、体会或想法?五、布置作业练习册：习题19.1（1）
预设学生不会回答．学生讨论回答．学生口述．答3：第三种方法．答4：（1）分别度量三个内角，求出它们的和；（2）利用三角形纸板．裁下它的三个内角再拼在一起，发现它们组成了一个平角．（3）几何说理．已知角平分线的意义已知两直线平行，内错角相等等量代换等角对等边BD平分∠ABCDE//BC∠l=∠3BE=DE学生练习．第一段：因：OD平分∠AOC果：∠1=∠AOC第二段：因：OE平分∠COB果：∠2=∠COB第三段：因：∠1=∠AOC，∠2=∠COB果：∠1+∠2=∠AOC+∠COB=(∠AOC+∠COB)第四段：因：∠AOC与∠COB互为邻补角果：∠AOC+∠COB=180o第五段：因：∠AOC+∠COB=180o，∠1+∠2=(∠AOC+∠COB)果：∠1+∠2=90o第六段：因：∠1+∠2=90o果：∠DOE=90o证明：∵DF∥AB（已知），∴∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等），同理，∠C=∠EDB，∵DE∥AC（已知），∴∠A=∠DEB（两直线平行，同位角相等），∵DF∥AB（已知），∴∠DEB=∠EDF（两直线平行，内错角相等），∴∠A=∠EDF（等量代换），∵∠FDC
+∠EDF+∠EDB
=180°（平角的意义），∴∠B+∠A+∠C=180°（等量代换），即∠A+∠B+∠C=180°．预设学生：1．证明的含义；2．推理的基本过程和因果关系的表述．
通过对学生熟悉的“对顶角相等”的论证，使学生理解严格的数学证明，感悟到学习演绎证明的必要性．使学生了解到学习演绎证明可以使我们的思维严格、缜密，其表达条理清楚、无可辩驳．通过第二个举例“三角形内角和等于180°”，使学生再次感悟到学习演绎证明的必要性．通过举例，使学生明白证明中的因果，并逐步掌握因果关系的正确表述．对因果关系的正确表述进行训练．补充练习为书后的练习设置铺垫，帮助学生理解证明过程中的分段和每一段中的因果关系．对因果关系的正确表述进行训练．第2题是让学生在理清因果关系的基础上尝试自己写出完整的证明过程，体会演绎证明的过程．梳理知识点，培养学生归纳反思的能力．