华东师大版八年级上册13.5.3角平分线的性质与判定（共21张ppt）
文档属性
| 名称 | 华东师大版八年级上册13.5.3角平分线的性质与判定（共21张ppt） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 277.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-04 06:03:18 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
13.5.3角平分线的性质
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。如图，OC是∠AOB的角平分线。
探索
点P是射线OC上的任意一点，过点P作PD⊥OB，PE
⊥OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长
P
A
O
B
C
E
D
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？
PD=PE
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
∵
PD⊥OA，PE⊥OB,
证明：
∴
∠PDO=
∠PEO=
90°
在△POD和△POE中
∴
△PDO≌△PEO（AAS）
∠
PDO＝∠PEO
∠
AOC＝∠BOC
OP=OP
∴
PD＝PE
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
用几何语言表示：
∴
PD
=
PE
（角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
（2）距离必须是垂直距离
（1）必须是角平分线上的点
∵
OC是∠AOB的角平分线
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
练习：
判断
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
例1、已知：AB=AC，BD=CD，
DE
⊥AB于点E，DF
⊥AC于点F。
求证：DE=DF
，
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
知识应用
DE=DC
4cm
3、如图在△ABC中∠C=900，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E。
．
（1）若AC=6cm，则DE+BD=
。
（2）若AB=10cm，△DBE的周长=
。
6cm
10cm
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
思考
证明:
∵
QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴
∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴
Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴
∠
QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用几何语言表示：
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F
F
D
E
D
E
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
想一想，点P在∠A
的
平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点。
例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
练习
教材P98练习1
2
1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
拓展与延伸
2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
D
小结:
1：画一个已知角的角平分线；
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
练习
教材P99习题2，3，4，5
13.5.3角平分线的性质
回忆
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴。如图，OC是∠AOB的角平分线。
探索
点P是射线OC上的任意一点，过点P作PD⊥OB，PE
⊥OA,点D、E为垂足，测量PD、PE的长
P
A
O
B
C
E
D
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系？
PD=PE
结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
A
O
B
P
E
D
∵
PD⊥OA，PE⊥OB,
证明：
∴
∠PDO=
∠PEO=
90°
在△POD和△POE中
∴
△PDO≌△PEO（AAS）
∠
PDO＝∠PEO
∠
AOC＝∠BOC
OP=OP
∴
PD＝PE
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
用几何语言表示：
∴
PD
=
PE
（角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等。）
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
（2）距离必须是垂直距离
（1）必须是角平分线上的点
∵
OC是∠AOB的角平分线
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
练习：
判断
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
例1、已知：AB=AC，BD=CD，
DE
⊥AB于点E，DF
⊥AC于点F。
求证：DE=DF
，
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
知识应用
DE=DC
4cm
3、如图在△ABC中∠C=900，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E。
．
（1）若AC=6cm，则DE+BD=
。
（2）若AB=10cm，△DBE的周长=
。
6cm
10cm
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
思考
证明:
∵
QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴
∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴
Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴
∠
QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
到角两边距离相等的点在角的平分线上。
B
A
D
O
P
E
C
∵
PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用几何语言表示：
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F
F
D
E
D
E
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
想一想，点P在∠A
的
平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点。
例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
练习
教材P98练习1
2
1、如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
拓展与延伸
2、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
3、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
D
小结:
1：画一个已知角的角平分线；
及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定结论：
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
练习
教材P99习题2，3，4，5