人教版九年级上册数学 24.1.2 垂直于弦的直径 同步习题（word版含解析）

24.1.2
垂直于弦的直径
同步习题
一．选择题
1．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（　　）
A．CE＝DE
B．＝
C．∠BAC＝∠BAD
D．OE＝BE
3．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，弦CD⊥AB于E，AB＝10，CD＝8，则OE的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（　　）
A．GH
B．EF
C．CD
D．AB
7．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（　　）
A．5
B．4
C．
D．2
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（　　）
A．
B．
C．6
D．
9．如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．（20﹣10）m
B．20m
C．30m
D．（20+10）m
二．填空题
11．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝　
　cm．
12．AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为　
　．
13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为　
　．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　
　．
15．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
①AD　
　AN（填“＞”，“＝”或“＜”）；
②AB＝8，ON＝1，⊙O的半径为　
　．
三．解答题
16．在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
17．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
18．如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）则弦AC、BD所夹的锐角α的度数是多少？
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
由垂径定理可得M为AE的中点，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴CM＝，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，
解得：AM＝，
∴AE＝2AM＝．
故选：C．
2．解：根据垂径定理和等弧对等弦，得A、B、C正确，只有D错误．
故选：D．
3．解：连接OC，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴CD＝2CE＝8，∠OEC＝90°，
∴CE＝4，
由勾股定理得：OE＝＝3．
故选：B．
4．解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，
连接OA，
根据垂径定理，得：BM＝AB＝3，
根据勾股定理，得：OA＝＝5，
即⊙O的半径为5．
故选：D．
5．解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC＝，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
6．解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH，
故选：A．
7．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
8．解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴DG＝MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH＝DH＝CD＝3，
∴OH＝＝＝4，
∴BH＝9，
∴BC＝＝3，
∴BN＝BC＝，
∴ON＝＝，
∵sin∠BCH＝＝，即＝，
∴DG＝，
∴MN＝DG＝，
∴OM＝MN﹣ON＝，
∴DM＝＝，
∴DE＝2DM＝．
故选：A．
9．解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H．
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB＝3，∠AHO＝90°，
∵OA＝5，
∴OH＝＝＝4，
根据垂线段最短可知OC的最小值＝4，
故选：B．
10．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
设AB＝OB＝OA＝rm，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AB，
∴C，D，O三点共线，
∴AD＝DB＝rm，
在Rt△AOD中，
∴OD＝r，
∵OD+CD＝OC，
∴r+5＝r，
解得：r＝（20+10）m，
∴这段弯路的半径为（20+10）m
故选：D．
11．解：∵CD⊥OB，
∴CE＝DE＝CD＝4，
在Rt△OCE中，OE＝＝3，
∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．
故答案为8．
12．解：∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，
若∠OAM＝30°，
则tan∠OAM＝，
∴AM＝6，
∴AB＝2AM＝12；
若∠AOM＝30°，
则tan∠AOM＝，
∴AM＝2，
∴AB＝2AM＝4．
故答案为：12或4．
13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
而OE⊥AB，OF⊥CD，
∴PO平分∠BPD，
∴∠APO＝∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP＝∠OPC，
∴∠APO＝∠AOP，
∴PA＝AO＝5，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝3，
在Rt△POE中，PO＝＝3．
故答案为3．
14．解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2，EF＝，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，
∴CD＝2DF＝10﹣2．
故答案为：10﹣2．
15．解：（1）AD＝AN，
证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD，
故答案为＝；
（2）设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为，
故答案为．
16．解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，
∵直径是52cm，
∴OB＝26cm，
∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），
由勾股定理知，
BD＝＝24（cm），
∴AB＝48cm．
17．（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，
∴OC＝AB＝8，
又∵BE＝OE，
∴OE＝4，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
18．解：（1）过点O作OE⊥AB于E，连结OA、OB，如图，
∴AE＝BE＝AB，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OE＝AB＝；
（2）连结OC、OD，如图，
∵OC＝OD＝1，CD＝1，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∴∠α＝∠CAD+∠ADB＝30°+45°＝75°．