人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 同步训练（word版含答案）

人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 同步训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，已知PA＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：
甲：作底边AB的中线PC；
乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则(　　)
A．甲、乙两种作法都正确
B．甲的作法正确，乙的作法不正确
C．甲的作法不正确，乙的作法正确
D．甲、乙两种作法都不正确
2. (2019?天水)如图，等边的边长为2，则点的坐标为
A． B．
C． D．
3. （2020·临沂）如图，在中，，，，则（ ）
A.40° B.50° C.60°. D.70°
4. （2020·聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．145° D．150°
5. (2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
6. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么符合题意的点C的个数是 (　　)
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
8. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝BE，AN＝AD，则△CMN的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形
9. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为 (　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. （2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（　　）
A．随着θ的增大而增大 B．随着θ的增大而减小 C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.
12. （2020·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
13. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD
③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD
　　　
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.

15. 在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．
16. 【题目】（2020·滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为________．
三、解答题（本大题共4道小题）
17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．

18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．
19. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；
(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．
20. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H.易证PE＋PF＝CH.证明过程如下：
连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.
又∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
∴AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.
∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH.
如图②，若P为BC延长线上的点，其他条件不变，PE，PF，CH之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 同步训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】A　
2. 【答案】B
【解析】如图，过点作于点，
∵是等边三角形，∴，．∴点的坐标为．故选B．
3. 【答案】D
【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且，，可得：；然后根据两直线平行内错角相等且可得：，所以选D．
4. 【答案】B
【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC、∠B均与∠C相等．即：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝65°．∵DF∥AB，∴∠ EDC＝∠B＝65°．∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
5. 【答案】D
【解析】(1)当70°是顶角时，另两个角相等，都等于×(180°－70°)＝55°；(2)当70°是底角时，另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°．因此另外两个内角的底数分别是55°，55°或70°，40°．故选D．
6. 【答案】 C
7. 【答案】D　[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.
∴CA＝CB.
∴△ABC是等腰三角形．
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠DAB＝∠CAD＝36°.
∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，
∴△ACD是等腰三角形．
∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.
∴△ADB是等腰三角形．
8. 【答案】 C
【解析】 由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝BE，AN＝AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．
9. 【答案】 B　
10. 【答案】C
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA，∴△BCP和△ABP均是等腰三角形.在△BCP中，∠CBP=θ，BC=BP，∴∠BPC=90°-θ.在△ABP中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C．
二、填空题（本大题共6道小题）
11. 【答案】32　[解析] 由题意知，应分两种情况：
(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；
(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．
12. 【答案】10或11．
【解析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
13. 【答案】②③④　【解析】
序号 正误 逐项分析
① × △BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出AB＝AC
② √ ∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形
③ √ 由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
④ √ 由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
14. 【答案】46　[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，
∴∠C＝∠BDC＝(180°－46°)＝67°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.
15. 【答案】(－2，2)　[解析] ∵点P(4，2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.
∴对称点P′的坐标为(－2，2)．

16. 【答案】80°
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°，因此本题填80°．

三、解答题（本大题共4道小题）
17. 【答案】
解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°.
∵AB⊥AD，AD＝4 cm，∴BD＝8 cm.
∵∠ADB＝90°－∠B＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°＝∠C.
∴CD＝AD＝4 cm.
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm)．
18. 【答案】
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.
∴∠ACD＝∠B.
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠EAB.
∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.
∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．
19. 【答案】
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵DB＝DC，∴点D在BC的垂直平分线上．
∴直线AD是BC的垂直平分线．∴AD⊥BC.
(2)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
(3)DE＝AC＋BE.
理由：同(2)得∠BAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠EDA.∴DE＝AE.
∵AB＝AC，∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.
20. 【答案】
解：PE＝PF＋CH.证明如下：
连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.∵S△ABP＝S△ACP＋S△ABC，
∴AB·PE＝AC·PF＋AB·CH.
∵AB＝AC，∴PE＝PF＋CH.