人教版 九年级上册数学 23.1 图形的旋转 同步训练（word含答案）

人教版 九年级数学 23.1 图形的旋转 同步训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为 (　　)
A．30° B．90° C．120° D．180°
2. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，OB＝1 cm，∠B′＝60°，那么A′B的长是(　　)
A．4 cm B．3 cm
C．2 cm D．(4－)cm
4. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－1，2) B．(1，4)
C．(3，2) D．(－1，0)
5. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(　　)
图7－ZT－1
A．(－1，2＋) B．(－，3)
C．(－，2＋) D．(－3，)
6. 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为(　　)
A．4 B．2
C．6 D．2
7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是(　　)
A．AC＝AD B．AB⊥EB
C．BC＝DE D．∠A＝∠EBC
8. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(，－1) B．(1，－)
C．(2，0) D．(，0)
9. 2018·桂林 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点M在边CD上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为(　　)
A．3 B．2 C. D.
10. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(　　)
A．90°－α　　 B．α　　 C．180°－α　　 D．2α
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是由△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：________________________________________________________________________________________________________________________________________________.

12. 如图，△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 .将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，CE′＝________．

13. 如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．

14. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则∠B的度数为________．

15. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．

16. 如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF，连接EF，若AB＝3，AC＝2，且α＋β＝∠B，则EF＝________.

17. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．
三、解答题（本大题共4道小题）
18. 将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 .
(1)求GC的长；
(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．
19. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝60°，∠ABC＝30°，AD＝CD.
求证：BD2＝AB2＋BC2.
20. 2019·福建 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的度数；
(2)若α＝60°，F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．
　　
21. (1)如图 (a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
人教版 九年级数学 23.1 图形的旋转 同步训练-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】C
2. 【答案】D　
3. 【答案】B　[解析] ∵旋转前、后的两个图形是全等图形，AB＝4 cm，OB＝1 cm，∴A′B′＝AB＝4 cm，OB′＝OB＝1 cm.
在△OB′B中，∵∠B′＝60°，OB′＝OB，
∴△OB′B是等边三角形，∴BB′＝OB＝1 cm，
∴A′B＝A′B′－BB′＝4－1＝3(cm)．
4. 【答案】C　
5. 【答案】B　[解析] 如图，过点B′作B′H⊥y轴于点H.
由题意得，OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，
∴OH＝3，∴B′(－，3)．
6. 【答案】D　[解析] 由旋转可得，S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20，即AD2＝20，∴AD＝2 .
∵DE＝2，∴在Rt△ADE中，AE＝＝2 .故选D.
7. 【答案】D　[解析] 由旋转的性质可知，AC＝CD，但∠A不一定是60°，所以不能证明AC＝AD，所以选项A错误；因为旋转角度不定，所以选项B不能确定；因为不确定AB和BC的数量关系，所以BC和DE的数量关系不能确定，所以选项C不能确定；由旋转的性质可知∠ACD＝∠BCE，AC＝DC，BC＝EC，所以2∠A＝180°－∠ACD，2∠EBC＝180°－∠BCE，从而可证选项D是正确的．
8. 【答案】A
9. 【答案】C　[解析] 如图，连接BM.
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE.
∵△ADM绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，
∴∠FAB＝∠MAE，
∴∠FAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，
即∠FAE＝∠MAB，
∴△FAE≌△MAB(SAS)，
∴EF＝BM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝3.
∵DM＝1，
∴CM＝2.
∵在Rt△BCM中，BM＝＝，
∴EF＝.
10. 【答案】C　[解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
二、填空题（本大题共7道小题）
11. 【答案】将△OCD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度即可得到△AOB(答案不唯一)　
[解析] 观察图形可知，将△OCD绕点C顺时针旋转90°，再向左平移2个单位长度可得到△AOB(答案不唯一)，注意是顺时针旋转还是逆时针旋转．
12. 【答案】＋　[解析] 如图，连接CE′，
∵△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝2 ，
∴AB＝BC＝2 ，BD＝BE＝2.
∵将△BDE绕点B逆时针旋转后得△BD′E′，
∴D′B＝BE′＝BD＝2，∠D′BE′＝90°，
∠D′BD＝∠ABE′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
∴△ABD′≌△CBE′(SAS)，
∴∠D′＝∠CE′B＝45°.
过点B作BH⊥CE′于点H，
在Rt△BHE′中，BH＝E′H＝BE′＝，
在Rt△BCH中，CH＝＝，
∴CE′＝＋.故答案为＋.
13. 【答案】5　[解析] 由勾股定理，得AC＝＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝.又AB′＝AB＝2 ，∴AE＝EB′＝，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.
14. 【答案】15°　[解析] 由旋转的性质可知AB＝AD，
∠BAD＝150°，∴∠B＝∠ADB＝×(180°－150°)＝15°.
15. 【答案】18　[解析] 如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝AC·AE＝×6×6＝18.

16. 【答案】　[解析] ∵α＋β＝∠B，∴∠EAF＝∠BAC＋∠B＝90°，∴△AEF是直角三角形，且AE＝AB＝3，AF＝AC＝2，∴EF＝＝.
17. 【答案】24＋16 　[解析] 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BP′A，连接PP′.
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CBA＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP′.
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理，得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝BP2＋PP′·AP＝24＋16 .
故答案为24＋16 .
三、解答题（本大题共4道小题）
18. 【答案】
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠B＝60°，BC＝2 ，
∴AB＝4，AC＝6.
∵DF垂直平分AB，∴AD＝2 .
又∵∠DAG＝30°，
∴DG＝2，AG＝4，
∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.
(2)MD＝ND.
证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝DB＝AD.
又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB＝60°.
∵CN⊥DB，∴ND＝DB.
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°.
又∵∠A＝30°，
∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.
∵HM⊥AD，∴MD＝AD.
又∵AD＝DB，∴MD＝ND.
(3)连接DG，则DG⊥AD′.
由(2)知∠A＝∠EDA，
由平移知∠E′D′A＝∠EDA，
∴∠A＝∠E′D′A.
∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，
∴D′G＝AG，
∴DD′＝AD＝2 .
19. 【答案】
证明：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转60°，得到△CDE，连接BE，
则∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠DCE，AB＝CE，BD＝DE.
又∵∠ADC＝60°，∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD＝BE.
又∵∠ECB＝360°－∠BCD－∠DCE＝360°－∠BCD－∠A＝360°－(360°－∠ADC－∠ABC)＝90°，
∴△ECB是直角三角形，
∴BE2＝CE2＋BC2，即BD2＝AB2＋BC2.
20. 【答案】
解：(1)∵△ABC绕点C顺时针旋转角α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝(180°－30°)＝75°，
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)证明：连接AD.
∵F是边AC的中点，∠ABC＝90°，
∴BF＝AC.
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴BF＝AB.
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，BC＝CE，CD＝CA，DE＝AB，
∴DE＝BF，△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴BE＝CB.
∵F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△CFD≌△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
21. 【答案】
解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.
∴DG＝DE，CG＝BE.
又∵DE⊥DF，
∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.
∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，
∴BE＋CF＞EF.
②BE2＋CF2＝EF2.
证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.
由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.
(2)EF＝BE＋CF.
证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，
∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.
∵∠ABD＋∠C＝180°，
∴∠ABD＋∠DBM＝180°，
∴点A，B，M共线，
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF.
在△DEM和△DEF中，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF.