人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 培优训练（word含答案）

人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练
一、选择题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则(　　)
A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2
B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2
C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4
D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4
2. （2020·常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
3. 如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC＝36°，则劣弧的长是(　　)
A. 　　　 B. π 　　　 C. π 　　　 D. π
　
4. （2020·苏州）如图，在扇形false中，已知false，false，过false的中点false作false，false，垂足分别为false、false，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.false B.false C.false D.false
5. （2020·云南）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（　　）
A． B．1 C． D．
6. （2020·咸宁）如图，在false中，false，false，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. false B. false C. false D. false
7. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是(　　)
A. 18－9π B. 18－3π C. 9－ D. 18－3π

8. （2020·乐山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．π
9. （2020·淄博）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（　　）
A．2π+2 B．3π C． D．2
10. 如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(　　)
A. B. C．π D．2π

二、填空题
11. （2020·哈尔滨）一个扇形的面积是13πfalse，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度.
12. （2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．
13. （2020?呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　　．
14. (2020自贡)如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
15. （2020·江苏徐州）在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45?，则△ABC面积的最大值为 .
三、解答题
16. （2020·湖北荆州）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.
（1）求证：BC∥AD；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.

17. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E、F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．

18. （2020·内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，false于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若false，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
19. (2019?辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．


20. (2019?襄阳)如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线．
(1)求证：是圆的切线；
(2)若，，求优弧的长．


人教版 九年级数学 24.4 弧长和扇形面积 培优训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A　【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC＝π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝2π，∴l1∶l2 ＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝π∶2π＝1∶2.
2. 【答案】 C
【解析】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，这个圆锥的母线长是false，
这个圆锥的侧面积是false因此本题选C．
3. 【答案】B　【解析】连接OB、OC.
?劣弧BC⌒的长＝＝π.
4. 【答案】B
【解析】本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD为正方形,OC=false,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S阴影=S扇形OAB-S正方形CEOD=false-12=false-1，因此本题选B．
5. 【答案】 D．
【解析】设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，解得r＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．
6. 【答案】D
【解析】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=false=false，因此本题选D．

7. 【答案】A　【解析】∵∠DAB＝60°，DF⊥AB，AD＝6，∴DF＝AD·sin60°＝3，∠ADC＝120°，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形EDG＝6×3－＝18－9π.
8. 【答案】B
【解析】先求出AC、AB，再根据S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′求解即可．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2，∴AB＝＝；由旋转得，∴AB＝A′B′＝，BC＝B′C′＝1，∠CAC′＝90°，∴∠CAB′＝60°，∴S阴影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′＝－××1－＝．
9. 【答案】如图，
点O的运动路径的长的长+O1O2的长

，
故选：C．
10. 【答案】C　【解析】如解图，连接OE、OF，∵AB为⊙O的直径，AB＝12，∴AO＝OB＝6，∵⊙O与DC相切于点E，∴∠OEC＝90°，∵在?ABCD中，∠C＝60°，AB∥DC，∴∠A＝∠C＝60°，∠AOE＝∠OEC＝90°，∵在△AOF中，∠A＝60°，AO＝FO，∴△AOF是等边三角形，即∠AOF＝∠A＝60°，∴∠EOF＝∠AOE－∠AOF＝90°－60°＝30°，弧EF的长＝＝π.
解图
二、填空题
11. 【答案】130
【解析】本题考查了扇形面积公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键，根据S＝false＝false＝13π，解得：n＝130°，因此本题答案为130．
12. 【答案】false
【解析】本题考查了弧长公式false.∵n＝45°，r＝3，∴false，因此本题答案为false．

13. 【答案】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，
又∵D为BC的中点，
∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，
∴DE＝DC＝2，
∴∠DEC＝∠C＝20°，
∴∠BDE＝40°，
∴扇形BDE的面积＝，
故答案为：．
14. 【答案】故答案为：．
【解析】本题考查了矩形、相似三角形、圆、等边三角形等知识，构造△DOG∽△DFC，根据比例关系求出⊙O的半径，将阴影面积分割、补全构造成所求阴影面积．
解：连接OG，
∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，
∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，
设OG＝OF＝x，则，解得：x，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，
∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；
∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OHOQ，S扇形OGQ＝S扇形OQF，
∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）
＝S矩形OGCHS△OFQ（）．因此本题答案为：．
15. 【答案】false
【解析】本题属于定弦定角问题，需要通过辅助圆解决问题.以AB为边斜边向上作等腰直角三角形OAB，∵AB=6，∴OA=false，以O为圆，OA为半径画圆，由于∠C=45?=false∠AOB，所以点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴OD=falseAB=3，当点C在DO的延长线上时，△ABC的面积最大，等于：false.
三、解答题
16. 【答案】
（1）证明：依题意，得：△ABC≌△DBE，且∠ABD=∠CBE=60°，
∴AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠CBE=∠DAB，
∴BC∥AD；
（2）依题意，得：AB=BD=4，BC=BE=1，∠ABD=∠CBE=60°，
∴A，C两点旋转所经过的路径长之和为：false.
【解析】（1）由图形旋转的性质可得△ABC与△DBE全等，旋转角∠ABD=∠CBE都为60°，且AB=BD，根据“有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形”推出△ABD是等边三角形，所以∠DAB=60°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证得BC∥AD；
（2）由题意可知A，C两点旋转所经过的路径长为弧AD，弧CE，其半径长分别为4，1，且圆心角都为60°，据此利用弧长公式可求得A，C两点旋转所经过的路径长之和.
17. 【答案】
(1)解：BC与⊙O相切．理由如下：
解图
如解图，连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD.
又∵∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA.
∴OD∥AC，(2分)
∴∠BDO＝∠C＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．(4分)
(2)解：设⊙O的半径为r，则OD＝r，OB＝r＋2，
由(1)知∠BDO＝90°，
∴在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝OB2，即r2＋(2)2＝(r＋2)2.
解得r＝2.(5分)
∵tan∠BOD＝＝＝，
∴∠BOD＝60°.(7分)
∴S阴影＝S△OBD－S扇形ODF＝·OD·BD－＝2－π.(8分)
18. 【答案】
（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=falseBC=false
∵OD2+BD2=OB2，∴false，解得R=4，∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30?，OE=2OB=8，
∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；
（3）由∠OCD=∠OBD=30?和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60?，
∴∠BOC=120?，又BC=false，OE=8，∴false=false
false,
【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30?角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．
（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30?角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；
（3）利用（2）中可求得∠BOC=120?,然后利用false代入数值即可求解．
19. 【答案】
(1)如图，连接，过作于，

∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．

20. 【答案】
(1)连接交于，如图，

∵点是的内心，
∴平分，即，
∴，∴，，
∵，
∴，
∴是圆的切线．
(2)连接、，如图，
∵点是的内心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
而，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴优弧的长=．