鲁教版（五四制） 九年级数学上册 3.3 二次函数y=ax2的图象与性质同步练习 (word版 含解析)

3.3
二次函数的图象与性质
一．选择题
1．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞﹣1
D．﹣1＜m＜0
2．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A．x＝4
B．x＝﹣4
C．x＝2
D．x＝﹣2
3．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
4．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2+m的图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于直线x＝1对称
B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝2
D．直线x＝
7．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2）
B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2）
D．（1，2）
8．下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是y轴，那么这个函数是（　　）
A．y＝x2+2x
B．y＝x2+2x+1
C．y＝x2+2
D．y＝（x﹣1）2
9．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为（1，4）
D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
10．下列四个函数图象中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．二次函数y＝﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　
　．
12．已知二次函数y＝（x﹣2）2+3，当x　
　时，y随x的增大而减小．
13．函数y＝x2+2x+1，当y＝0时，x＝　
　；当1＜x＜2时，y随x的增大而　
　（填写“增大”或“减小”）．
14．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为　
　．
15．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝　
　．
16．平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+1的图象的顶点坐标为　
　．
三．解答题
17．画出y＝（x﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答：
（1）x取何值时，（x﹣2）2﹣1＝0
（2）x取何值时，（x﹣2）2﹣1＞0
（3）x取何值时，（x﹣2）2﹣1＜0．
18．小明为了通过描点法作出函数y＝x2﹣x+1的图象，先取自变量x的7个值满足：
x2﹣x1＝x3﹣x2＝…＝x7﹣x6＝d，再分别算出对应的y值，列出表：
x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
y
1
3
7
13
21
31
43
记m1＝y2﹣y1，m2＝y3﹣y2，m3＝y4﹣y3，m4＝y5﹣y4，…；s1＝m2﹣m1，s2＝m3﹣m2，s3＝m4﹣m3，…
（1）判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（2）若将函数“y＝x2﹣x+1”改为“y＝ax2+bx+c（a≠0）”，列出表：
x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
y
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
其他条件不变，判断s1、s2、s3之间关系，并说明理由；
（3）小明为了通过描点法作出函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，列出表：
x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
y
10
50
110
190
290
412
550
由于小明的粗心，表中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．
参考答案
一．选择题
1．解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
2．解：二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故选：D．
3．解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
又∵a＝1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
4．解：∵正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y＝mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
故选：A．
5．解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，则图象关于直线x＝1对称，正确，故本选项不符合题意；
B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；
C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意；
D、由抛物线的对称轴为x＝1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意．
故选：D．
6．解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x＝＝．
故选：D．
7．解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
8．解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x＝0，
即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，
故选：C．
9．解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，
∴a＝﹣2，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误；
顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选项C错误；
当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；
故选：D．
10．解：当x＜0时，y随x的增大而减小的是，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3
＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2
＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
12．解：在y＝（x﹣2）2+3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
13．解：把y＝0代入y＝x2+2x+1，
得x2+2x+1＝0，
解得x＝﹣1，
当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；
故答案为﹣1，增大．
14．解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，
∴这两点一定关于对称轴对称，
∴对称轴是：x＝＝2．
故答案为：直线x＝2．
15．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
16．解：∵二次函数y＝x2+1，
∴该函数的顶点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
三．解答题
17．解：令y＝0，则x＝1或x＝3，
故抛物线与x轴的交点为：（1，0），（3，0），顶点坐标为（2，﹣1），
其图象如图所示：
（1）∵二次函数的图象与x轴相交于（1，0），（3，0）两点，
∴当x＝1或x＝3时（x﹣2）2﹣1＝0；
（2）∵当x＜1或x＞3时抛物线在x轴的上方，
∴当x＜1或x＞3时，（x﹣2）2﹣1＞0；
（3）∵1＜x＜3时抛物线在x轴的下方，
∴当1＜x＜3时（x﹣2）2﹣1＜0．
18．解：（1）s1＝s2＝s3．m1＝y2﹣y1＝3﹣1＝2，
同理m2＝4，m3＝6，m4＝8．
∴s1＝m2﹣m1＝4﹣2＝2，
同理s2＝2，s3＝2．
∴s1＝s2＝s3．
（2）s1＝s2＝s3．
方法一：m1＝y2﹣y1＝ax22+bx2+c﹣（ax12+bx1+c）
＝d[a（x2+x1）+b]．
m2＝y3﹣y2＝ax32+bx3+c﹣（ax22+bx2+c）
＝d[a（x3+x2）+b]．
同理m3＝d[a（x4+x3）+b]．
m4＝d[a（x5+x4）+b]．
s1＝m2﹣m1＝d[a（x3+x2）+b]﹣d[a（x2+x1）+b]
＝2ad2．
同理s2＝2ad2．
s3＝2ad2．
∴s1＝s2＝s3．
方法二：∵x2﹣x1＝d，
∴x2＝x1+d，
∴m1＝y2﹣y1＝a（x1+d）2+b（x1+d）+c﹣（ax12+bx1+c）
＝d[a（2x1+d）+b]．
又∵x3﹣x2＝d，
∴x3＝x2+d，
∴m2＝y3﹣y2＝a（x2+d）2+b（x2+d）+c﹣（ax22+bx2+c）
＝d[a（2x2+d）+b]．
同理m3＝d[a（2x3+d）+b]．
m4＝d[a（2x4+d）+b]．
s1＝m2﹣m1＝d[a（2x2+d）+b]﹣d[a（2x1+d）+b]
＝2ad2．
同理s2＝2ad2．s3＝2ad2．
∴s1＝s2＝s3．
（3）412．