3.4 第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
第三章
圆
3.4
圆周角和圆心角的关系
第2课时
圆周角和直径的关系及圆内接四边形
北师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用.
【过程与方法】
运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生动手证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题.
【情感态度】
激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
【教学重点】
运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
【教学难点】
运用圆周角定理及其推论解决问题.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.
情景导学
2
情景导学
问题1
什么是圆周角?
特征：
①
角的顶点在圆上.
②
角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
情景导学
问题2
什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即
∠ABC
=
∠AOC.
情景导学
如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
直径所对应的圆周角
思考：如图，AC是圆o的直径，
则∠ADC=
，
∠ABC=
.
90°
90°
推论：直径所对的圆周角是直角.
反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
新课进行时
问题
回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到
两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.
例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
典例精析
新课进行时
新课进行时
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵
AC是直径,∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
,∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
练一练
C
新课进行时
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
新课进行时
核心知识点二
圆内接四边形及其性质
如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
(2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C,
∠B与∠D之间的关系为
.
∠A+∠C=180?，∠B+∠D=180?
性质探究
(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,
∠B与∠D之间的关系为
.
∠A+∠C=180?，∠B+∠D=180?
新课进行时
试一试
证明：圆内接四边形的对角互补.
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
新课进行时
圆内接四边形的对角互补.
推论
要点归纳
新课进行时
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
新课进行时
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
70?
100?
90?
练一练
新课进行时
3.
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
A
新课进行时
例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
典例精析
新课进行时
知识小结
4
知识小结
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径
随堂演练
5
随堂演练
1.如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.
50°
A
B
O
C
D
2.如图，∠A=50°，
∠ABC=60
°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于
（
）
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
B
A
C
B
O
D
E
3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
随堂演练
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C
的度数.
A
B
C
O
D
随堂演练
4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（　　）
A．3
B．
C．
D．2
A
随堂演练
5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
解：(1)AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC；
随堂演练
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．
随堂演练
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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