3.6 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
第三章
圆
3.6
直线和圆的位置关系
第2课时
切线的判定及三角形的内切圆
北师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
1、通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理.
2、学会作三角形的内切圆.
3、理解三角形内切圆的有关概念.
【过程与方法】
1、经历探索切线的判定的过程，培养学生的观察能力、说理意识、逻辑思维能力.
2、通过作图，经历三角形内切圆的产生过程，培养作图能力.
【情感态度】
1、在探索学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、逻辑性、趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心.
2、通过探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生的研究问题能力；培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识.
【教学重点】
理解切线的判定定理、三角形内切圆的概念和画法.
【教学难点】
切线的判定定理的应用、三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程.
情景导学
2
情景导学
砂轮上打磨工件时飞出的火星
下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
圆的切线的判定
问题1
如图，OA是⊙O的半径，
经过OA
的外端点A，
作一条直线l⊥OA，圆心O
到直线l
的距离是多少？
直线l
和⊙O有怎样的位置关系？
合作探究
l
l
新课进行时
圆心O到直线l的
距离等于半径OA.
由圆的切线定义可知直线l
与圆O
相切.
l
l
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC
⊥
OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
要点归纳
新课进行时
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判一判
新课进行时
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
要点归纳
新课进行时
用三角尺过圆上一点画圆的切线.
做一做
（2）
过点P
沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l
就是所要画的切线.如图所示.
如下图所示，已知⊙O
上一点P，过点P
画⊙O
的切线．
画法：（1）连接OP，将三角尺的直角顶点放在点P处，
并使一直角边与半径OP
重合；
为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？
新课进行时
例1
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
O
B
A
C
证明：连接OC.
∵
OA＝OB,CA＝CB,
∴
OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　
∴
AB⊥OC.
∵
OC是⊙O的半径,
∴
AB是⊙O的切线.
典例精析
新课进行时
例2
如图,△ABC
中，AB
＝AC
，O
是BC的中点，⊙O
与AB
相切于E.求证：AC
是⊙O
的切线．
B
O
C
E
A
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.
F
新课进行时
证明：连接OE
，OA,
过O
作OF
⊥AC.
∵⊙O
与AB
相切于E
，
∴OE
⊥
AB.
又∵在△ABC
中，AB
＝AC
，
　　O
是BC
的中点．
∴AO
平分∠BAC，
F
B
O
C
E
A
∴OE
＝OF.
∵OE
是⊙O
半径，OF
＝OE，OF
⊥
AC.
∴AC
是⊙O
的切线．
又∵OE
⊥AB
，OF⊥AC.
新课进行时
(1)
已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2)
不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
方法归纳
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
新课进行时
例3
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆O.
分析：如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A
的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
新课进行时
核心知识点二
三角形的内切圆及内心
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
M
N
D
新课进行时
观察与思考
与△ABC的三条边都相切的圆有几个？
因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.
D
新课进行时
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
概念学习
新课进行时
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
填一填
新课进行时
例4
△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠
A=70°，
求∠
BOC的度数。
A
B
C
O
解：∵∠
A=70°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠
A=110°
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
即∠
OBC=
∠ABC
∠OCB=
∠ACB
典例精析
新课进行时
∴∠
BOC=180°-(∠
OBC+∠OCB)
=180°-
(
∠ABC
+∠ACB)
=180°
-
×110°
=
125°.
A
B
C
O
新课进行时
知识小结
4
知识小结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
三角形内切圆
有关概念
内心概念及性质
随堂演练
5
随堂演练
1.判断下列命题是否正确.
⑴
经过半径外端的直线是圆的切线.
⑵
垂直于半径的直线是圆的切线.
⑶
过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
⑷
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
(5)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点.
(6)
三角形的内心到三角形各边的距离相等.
(7)三角形的内心一定在三角形的内部.
（×）
（×）
（√
）
（√
）
（√
）
（
√
）
（
√
）
随堂演练
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝
∠EOF＝55°.
B
·
B
D
E
F
O
C
A
3.如图，△ABC的内切圆的半径为r,
△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC
＋S△AOC
＝
AB·OD＋
BC·OE＋
AC·OF
＝
l·r
随堂演练
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，
则△ABC的内切圆的半径r＝
;
当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,
r
=
.
2s
a＋b＋c
ab
a＋b＋c
知识拓展
随堂演练
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
随堂演练
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
随堂演练
6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.
（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①
_________
；②
_____________
.
（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
随堂演练
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.
∴
∠D+
∠DAC=90
°,
∵
∠D与∠B同对
,
∴
∠D=
∠B,
又∵
∠CAE=
∠B,
∴
∠D=
∠CAE,
∴
∠DAC+
∠EAC=90°,
∴EF是☉O的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
随堂演练
7.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)证明：∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD.
∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.
即∠DBE＝∠DEB，
故BD＝ED；
(1)求证：BD＝ED；
随堂演练
(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．
(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，
∴DF＝
AD＝
×8＝2(cm)．
∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴
,
∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，
∴BD＝4cm，
又∵BD＝DE，
∴DE＝4cm.
随堂演练
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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