3.7 切线长定理 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第三章
圆
3.7
切线长定理
北师大版
九年级数学下册
教学课件
目录
1
新课目标
新课进行时
3
2
情景导学
知识小结
4
CONTENTS
随堂演练
5
课后作业
6
新课目标
1
新课目标
【知识与技能】
掌握切线长定理及其应用.
【过程与方法】
通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法
【情感态度】
通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心。
【教学重点】
切线长定理及应用.
【教学难点】
切线长定理及应用、初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
情景导学
2
情景导学
P
O
O.
P
B
A
A
B
问题1
通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线（如左图所示），如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2
过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！
直径所对的圆周角是直角.
新课进行时
3
新课进行时
核心知识点一
切线长的定义
P
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
新课进行时
核心知识点二
切线长定理
合作探究
B
P
O
A
问题
在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
猜测
PA=PB，∠APO=∠BPO
新课进行时
推导与验证
如图，连接OA，OB.
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即∠OAP=∠OBP=90°
∵
OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
B
P
O
A
切线长定理:
过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
要点归纳
B
P
O
A
新课进行时
B
P
O
A
1.
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
;
（2）若∠BPA=60
°,则OP=
.
5
6
练一练
新课进行时
2.
PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
B
P
O
A
C
E
D
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
新课进行时
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
△AOB
（3）写出图中所有的全等三角形；
B
P
O
A
C
E
D
新课进行时
O
P
A
B
C
E
D
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
⑴
△PDE的周长是
；
例1
如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵
∠DOE=
____
.
典例精析
新课进行时
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
O
P
A
B
C
E
D
∵OA=OC，OD=OD，∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA=
∠AOC.
同理可得∠COE=
∠COB.
∠DOE=∠DOC+∠COE=
（∠AOC+∠COB）=70°.
新课进行时
切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
方法归纳
新课进行时
例2
△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
C
B
E
D
F
O
新课进行时
由
BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
∴
AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
解得
x=4.
A
C
B
E
D
F
O
新课进行时
例3
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.
求：Rt△ABC的内切圆的半径
r.
∵
⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切
于D、E、F，连接OD、OE、OF，则
OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
B
·
A
C
E
D
F
O
新课进行时
设AD=
x
,
BE=
y
,CE＝
r
则有
x＋r＝b
y＋r＝a
x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
B
·
A
C
E
D
F
O
新课进行时
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径
r＝
或r＝
(前面课时已证明).
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
知识拓展
新课进行时
知识小结
4
知识小结
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
应用
重要结论
只适合于直角三角形
随堂演练
5
随堂演练
20
°
4
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB=
40
°
,则∠APO=
,PB=
.
B
P
O
A
第1题
110
°
2.如图，已知点O是△ABC
的内心，且∠ABC=
60
°,
∠ACB=
80
°,则∠BOC=
.
A
B
C
O
随堂演练
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
20
随堂演练
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,
∠P=
50
°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=
.
65
°或115
°
B
P
O
A
第3题
随堂演练
5.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是
.
A
B
C
F
E
D
O
第3题
30
随堂演练
拓展提升：
6.直角三角形的两直角边分别是3cm
,4cm,试问：
(1)它的外接圆半径是
cm;内切圆半径是
cm？
(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC
都相切，求☉O的半径r的取值范围.
·
A
B
C
E
D
F
O
1
随堂演练
解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
·
A
B
O
D
C
∴OB＝BC＝3cm，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
随堂演练
课后作业
6
课后作业
1、完成教材本课时对应习题；
2、完成同步练习册本课时的习题。
谢谢欣赏
THANK
YOU
FOR
LISTENING
谢谢大家!
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