人教版数学九年级上册：24.1.2 垂直于弦的直径 教案（附答案）

24．1.2　垂直于弦的直径　
教学目标
1．理解圆的对称性．
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．
3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．
预习反馈
阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即
如图，∵CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴AE＝BE；＝；＝．
3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即
如图，∵CD是⊙O的直径，且AE＝BE(AB不是直径)，
∴CD⊥AB；＝；＝．
例题讲解
例1　(教材补充例题)已知⊙O的半径为5 cm.
(1)若圆心O到弦AB的距离为3 cm，则弦AB的长为8__cm；
(2)若弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为3__cm．
【点拨】　(1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．
【跟踪训练1】　若⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为3__cm．
【跟踪训练2】　已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的长．
解：连接OC.
∵AE＝9，BE＝1，∴半径OC＝5，OE＝4.
∵弦CD⊥AB，∴在Rt△OCE中，CE＝＝3.
又∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CD＝2CE＝6.
【跟踪训练3】　⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为3，最大值为5．
【点拨】　当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)；当M在A(或B)处时，OM最大．
例2　(教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．
【解答】　如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
由题设可知AB＝37 cm，CD＝7.23 cm，
所以AD＝AB＝×37＝18.5(cm)，
OD＝OC－CD＝R－7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2＝AD2＋OD2，
即R2＝18.52＋(R－7.23)2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.
【点拨】　圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．
【跟踪训练4】　(教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．
巩固训练　　　　　　　　　　　　
1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是5__cm．
【点拨】　这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．
2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__cm．
3．如图，AB为⊙O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝8．
4．⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最短弦的长为8，最长弦的长为10．
【点拨】　过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．
5．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.
【点拨】　过圆心作垂径．
证明：过点O作OE⊥AB于点E.
则AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，则弦AB与CD之间的距离为22__cm或8__cm．
【点拨】　分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．
课堂小结
1．垂径定理及其推论．
2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．