人教版数学九年级上册：24.2.2 直线和圆的位置关系 教案（2课时，含答案）

24．2.2　直线和圆的位置关系
第1课时　直线和圆的位置关系　　
教学目标
1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．
2．理解记忆割线、切线、切点等概念．
3．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．
预习反馈
阅读教材P95～96，完成下列知识探究．
1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．
4．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d＝r；直线l和⊙O相离?d＞r．
例题讲解
例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ cm；(3)r＝2 cm.
【解答】　过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵AB＝4 cm，BC＝2 cm，∴AC＝2 cm.又∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，∴CD＝＝ cm.
(1)r＝1.5 cm时，相离；(2)r＝ cm时，相切；(3)r＝2 cm时，相交．
【跟踪训练1】　在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆．
当r满足0__cm时，⊙C与直线AB相交．
【跟踪训练2】　已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线a的距离为3 cm，则⊙O与直线a的位置关系是相交．直线a与⊙O的公共点个数是2．
例2　已知⊙O的半径是3 cm，直线l上有一点P到O的距离为3 cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．
【解答】　相交或相切．
【跟踪训练2】　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？
【点拨】　分相切和相交两类讨论．
解：r＝2.4或3巩固训练
1．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)
A．2.5 B．3 C．5 D．10
2．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P与OB的位置关系是(B)
A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相切
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作
⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)
A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定
4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.
解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．
(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；
(2)r＝4 cm时，d(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．
第2课时　切线的判定和性质　　　　　　　　　　
教学目标
1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．
2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．
3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．
预习反馈
阅读教材P97～98，完成下列问题．
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．
3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．
例题讲解
例　(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
【解答】　证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵⊙O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线．
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．
这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．
【方法归纳】　在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．
【跟踪训练】　如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线CD与⊙O相切，理由：
连接OC.
∵C为的中点，∴＝.
∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
巩固训练
1．在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点)，以P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(B)
A．相离　　　B．相切　　　C．相交　　　D．不能确定
2．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60°时，AC才能成为⊙O的切线．

第2题图 第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C.若∠A＝25°，则∠D＝40°．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.求证：直线DF与⊙O相切．
证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C.
∴∠ODC＝∠B.∴OD∥AB.
∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.
又∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切．
课堂小结
1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；
2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．
①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；
②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．
第3课时　切线长定理
教学目标
1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．
2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．
预习反馈
阅读教材P99～100，完成下列知识探究．
1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．
3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．
4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．
例题讲解
例　(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．
【解答】　设AF＝x，则AE＝x，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.
因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.
【跟踪训练】　如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.
解：(1)证明：∵BC，AC分别与⊙O相切于D，E，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°.∴四边形ODCE为矩形．
又∵OE＝OD，∴矩形ODCE是正方形．
(2)由(1)得CD＝CE＝r，
∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，
解得r＝.
巩固训练
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝2．

第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝90°．
3．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心．若∠BOC＝140°，则∠BIC＝125°．
4．如图，△ABC切⊙O于D，E，F三点，内切圆⊙O的半径为1，∠C＝60°，AB＝5，则△ABC的周长为10＋2．
课堂小结
1．切线长定理．
2．三角形的内切圆及内心．
3．直角三角形内切圆半径公式．