二元一次不等式与平面区域
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(共22张PPT)
§3.3.1二元一次不等式（组）
与平面区域
一、引例：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
A种原料 B种原料 利润
甲种产品 4 12 2
乙种产品 1 9 1
现有库存 10 60
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料 利润
甲种产品 4 12 2
乙种产品 1 9 1
现有库存 10 60
设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式
二元一次不等式组：由几个二元一次不
等式组成的不等式组
问一：在数轴上点x=1右
边的射线可以用什么来表示？
x>1
问二：在平面直角坐标系中，
点集{(x,y)|x+y-1=0}表示什么
图形？
问三：在平面直角坐标系
中，直线x+y-1=0右上方的平
面区域怎么表示？
x+y-1=0
０
x
y
１
０
x
问题
在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0将平面分成几部分呢？
不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？
答：分成三部分:
（2）点在直线的右上方
（3）点在直线的左下方
0
x
y
1
1
x+y-1=0
想一想？
（1）点在直线上
直线x+y-1=0右上方的
平面区域怎么表示？
x+y-1＞0
x+y-1=0
０
x
y
x y x+y-1>0
1 1
1 2
2 0
2 1
2 2
… …
猜想：x+y-1＞0
是
是
是
是
是
右上方点
左下方点
区域内的点
x+y-1值的正负
代入点的坐标
（1,1）
（2,0）
（0,0）
（2,1）
（-1,1）
（-1,0）
（-1,-1）
（2,2）
直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于0吗 先完成下表，再观察有何规律呢？
0
x
y
1
1
x+y-1=0
同侧同号，异侧异号
正
负
1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
表示直线x +y－1=0
右上方的平面区域；
2、点集{(x,y)|x+y-1<0}
表示直线x +y－1=0
左下方的平面区域。
3、直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界。
探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）
O
x
y
Ax + By + C = 0
从特殊到一般
例：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域
变式：画出不等式2x－3y≤6所表示的平面区域
解：先画直线2x+y－6=0 (画成虚线)
取原点(0,0),代入2x+y－6，
因为2×0+0－6=－6<0,
所以，原点在2x+y－6<0表示的平
面区域内，
故不等式2x+y－6<0表示的区域如图。
o
x
y
3
6
y
o
x
3
-2
解： 2x－3y≤6即2x－3y－6 ≤０
先画直线2x－3y－6 ＝０(画成实线)
取原点(0,0),代入2x－3y－6，
因为2×0－3×0－6 ＝－6 ≤０,
所以，原点在2x－3y－6 ≤０表
示的平面区域内。
一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。
1、
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
2、
方法总结：
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
1、线定界（注意边界的虚实）
2、点定域（代入特殊点验证）
特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。
x+4y>4
x-y-4>0
x-y-4<0
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
x+4y=4
x+4y<4
o
x
y
变式：
（1）x +4y>4
（2）x-y-4<0
（3）x-y-4>0
o
x
y
x-y-4=0
y < －3x+12
x<2y
的解集.
例2、用平面区域表示不等式组
0
x
y
3x+y-12=0
x-2y=0
4
8
4
8
12
分析：不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面点集的
交集，因而的各个不等式所表示
的平面区域的公共部分。
课本第86页的练习1、2、3。
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
3、不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数
于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
课本86页 练习 4
解:设生产A型桌子x张，生产B型桌子y张。则
课本93页 习题 B2
课本93页 习题 A1（1）（3）
(1)
例4：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：
y-x-1>0
(2)
5y+2x-10≥0
(3)
§3.3.1二元一次不等式（组）
与平面区域
一、引例：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？
A种原料 B种原料 利润
甲种产品 4 12 2
乙种产品 1 9 1
现有库存 10 60
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料 利润
甲种产品 4 12 2
乙种产品 1 9 1
现有库存 10 60
设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式
二元一次不等式组：由几个二元一次不
等式组成的不等式组
问一：在数轴上点x=1右
边的射线可以用什么来表示？
x>1
问二：在平面直角坐标系中，
点集{(x,y)|x+y-1=0}表示什么
图形？
问三：在平面直角坐标系
中，直线x+y-1=0右上方的平
面区域怎么表示？
x+y-1=0
０
x
y
１
０
x
问题
在平面直角坐标系中，直线x+y-1=0将平面分成几部分呢？
不等式x+y-1＞0对应平面内哪部分的点呢？
答：分成三部分:
（2）点在直线的右上方
（3）点在直线的左下方
0
x
y
1
1
x+y-1=0
想一想？
（1）点在直线上
直线x+y-1=0右上方的
平面区域怎么表示？
x+y-1＞0
x+y-1=0
０
x
y
x y x+y-1>0
1 1
1 2
2 0
2 1
2 2
… …
猜想：x+y-1＞0
是
是
是
是
是
右上方点
左下方点
区域内的点
x+y-1值的正负
代入点的坐标
（1,1）
（2,0）
（0,0）
（2,1）
（-1,1）
（-1,0）
（-1,-1）
（2,2）
直线上的点的坐标满足x+y-1=0，那么直线两侧的点的坐标代入x+y-1中，也等于0吗 先完成下表，再观察有何规律呢？
0
x
y
1
1
x+y-1=0
同侧同号，异侧异号
正
负
1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
表示直线x +y－1=0
右上方的平面区域；
2、点集{(x,y)|x+y-1<0}
表示直线x +y－1=0
左下方的平面区域。
3、直线x+y-1=0叫做这两个区域的边界。
探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式Ax + By + C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。
（虚线表示区域不包括边界直线）
O
x
y
Ax + By + C = 0
从特殊到一般
例：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域
变式：画出不等式2x－3y≤6所表示的平面区域
解：先画直线2x+y－6=0 (画成虚线)
取原点(0,0),代入2x+y－6，
因为2×0+0－6=－6<0,
所以，原点在2x+y－6<0表示的平
面区域内，
故不等式2x+y－6<0表示的区域如图。
o
x
y
3
6
y
o
x
3
-2
解： 2x－3y≤6即2x－3y－6 ≤０
先画直线2x－3y－6 ＝０(画成实线)
取原点(0,0),代入2x－3y－6，
因为2×0－3×0－6 ＝－6 ≤０,
所以，原点在2x－3y－6 ≤０表
示的平面区域内。
一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。
1、
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
2、
方法总结：
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
1、线定界（注意边界的虚实）
2、点定域（代入特殊点验证）
特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。
x+4y>4
x-y-4>0
x-y-4<0
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
x+4y=4
x+4y<4
o
x
y
变式：
（1）x +4y>4
（2）x-y-4<0
（3）x-y-4>0
o
x
y
x-y-4=0
y < －3x+12
x<2y
的解集.
例2、用平面区域表示不等式组
0
x
y
3x+y-12=0
x-2y=0
4
8
4
8
12
分析：不等式组表示的平面区域
是各不等式所表示的平面点集的
交集，因而的各个不等式所表示
的平面区域的公共部分。
课本第86页的练习1、2、3。
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）
B
D
3、不等式组
B
表示的平面区域是（ ）
例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。
解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数
于是满足以下条件：
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。
课本86页 练习 4
解:设生产A型桌子x张，生产B型桌子y张。则
课本93页 习题 B2
课本93页 习题 A1（1）（3）
(1)
例4：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：
y-x-1>0
(2)
5y+2x-10≥0
(3)