苏教版必修1第一章教案

第12课时 函数的图象（教案）
【学习目标】
1．掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图；
2．掌握函数图像的简单运用．
【课前导学】
初中所学的几个基本初等函数的图象
y=kx+b y=k/x y=ax2+bx+c
图象 k>0 k<0 k>0 k<0 a>0 a<0
定义域
值域
二、初中学过的画函数图象的方法及步骤是什么？
答案：描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象.
【课堂活动】
一．建构数学：
例1画出下列函数的图象
（1）（ 【变】）
（2）；（3）；
【变1】 ； 【变2】．
【小结】函数图象的平移变换：
①水平平移y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左或右平移a个单位得到.
②竖直平移y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位而得到.
例2 （1）画出函数的值；
（2）画出函数；
（3）画出函数．
【小结】函数图象的画法：
y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.
例3画出下列函数的图象：
（2) (3)
【小结】函数图象的画法：
y＝|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y＝f(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.
二．应用数学：
例1 试画出函数的图象，并根据图象回答下列问题：
①比较的大小；
②若
解：（1）；
（2）若，则 ．
【变1】若
【变2】
解：若，则；
若，则．
【小结】开口向上的二次函数，自变量离对称轴越远其函数值越大．
例2画出下列函数的图象
（1） （2） （3）．
【小结】分段函数图象的画法
例3 作函数y＝x ＋ 的图象.
拓展：作出y＝ax ＋ （a＞0，b＞0）的示意图.
例4（1）将函数，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为__________________________.
将函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数解析式为__________________________.
（3）已知函数的定义域为[a,b],值域为[m,n],则函数的定义域为：____________,值域为_______________；函数的定义域为____________，值域为___________________．
三．理解数学：
1．如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是下列函数中的 （1） （填序号）．
（1）f(x)＝；（2）f(x)＝x2－2|x|＋1；
（3）f(x)＝|x2－1|；（4）f(x)＝ ．
2．若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，－1)，则函数y＝f(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 y＝f(x－1)－1 ．
3．若，则函数的图象不经过 四 象限．
4．已知函数的图象,那么的图象是 （1） ．
（1） （2） （3） （4）
5．表示和中的较小者，则函数的最大值是 6 ．
【课后提升】
1．把函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式是 ．
2．已知函数f(x)= ．
(1)画出函数图象；
(2)求f{f[f(－2)]}；
(3)求当f(x)= －7时，x的值．
解：(1)图象略；
(2)f(－2)=2x(－2)+3=－1，f(－1)=( －1)2=1，f(1)=1，
所以f{f[f(－2)]}=1．
(3)因为f(x)= －7，所以2x+3=－7，所以x=－5．
3．求函数的值域．
提示：转化为分段函数求解．
答案：
4．讨论关于的方程的实数解的个数．
解：作出函数图像可知：注意结论形式．
5．的解集为空集，求实数的范围．
答案：．
思考题：
若关于的方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
提示：换元．
答案：．
第3页第4课时 子集、全集、补集（二）（教案）
【学习目标】
了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图和数轴表达集合间的关系；
渗透辩证的观点.
【课前教学】
一、复习回顾
1．AB 对任意的xA有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．
2．子集的性质？
① A A；
② ；
③ ,则；
④是任何非空集合的真子集；
⑤真子集具备传递性．
二、问题情境
指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】在（1）（2）（3）中都有AS，BS．
【思考】观察上述A，B，S三个集合，它们的元素之间还存在什么关系？
答：A，B中的所有元素共同构成了集合S，即S中除去A中元素，即为B元素；反之亦然．
请同学们举出类似的例子：
如：A＝{班上男同学}，B＝{班上女同学}，S＝{全班同学}．
【课堂活动】
一、建构数学：
【共同特征】集合B就是集合S中除去集合A中的元素之后余下来的集合，可以用文氏图表示．我们称B是A对于全集S的补集．
补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S中A的补集，记作，比如若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则SA＝_｛2｝__．
全集：如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集．全集通常用字母U表示．
【注意】（1）．（2）一个集合的补集的补集等于它本身．
（3）． （4）对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．（如：例1）
二、应用数学：
例1
解：．
【解后反思】对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．
例2 ．
解：．
【解后反思】数形结合---数轴的使用．
例3 ①不等式组的解集为A，试求A和，并把他们分别表示在数轴上；
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，是的真子集，求实数a的取值范围．
解：①A=，=，数轴略；
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，={x|x≤1}，
∵ 是的真子集 ， 如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1．
例4 设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，
ＢＣUＡ，求ｍ的取值范围．
解：由条件知，若Ａ＝，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，满足题意；
若Ａ≠，即ｍ＜１时，ＣUＡ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，
则应有 －１≥２ｍ即ｍ≤－
或３ｍ－１≥３即ｍ≥ 与前提ｍ＜１矛盾，舍去．
综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
【变式】 设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣUＡ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．
解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣUＡ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．
　　　∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．
∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．
三、理解数学：
1．设，则．
解：a=3，b=4．
2．设Ｕ＝｛２，４，３－2｝,Ｐ＝｛２，2＋２－｝，ＣUＰ＝｛－１｝，求．
解：∵－１∈ＣUＰ∴－１∈Ｕ∴３－2＝－１得＝±２．
当＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．
　 当＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８Ｕ舍去．因此＝２．
［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解．
3．已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣSＢ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．
解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝
　　∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣSＢ＝｛－１，０，２｝
　　∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．
【课后提升】
1．若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2} ．
2．若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形} ．
3．若S={1，2，4，8}，A= ，则CSA= S ．
4．若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=-1 ．
5．已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，则B={1，4}；
6．设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值．
解：m= - 4或m=2．
7．已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m．
解：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）．
8．已知全集U=R,集合A={x|0解：CUA=，CU(CUA)=A=．
第1页第5课时 交集，并集（一）（教案）
【学习目标】
1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．
【课前导学】
一、复习回顾
1．回忆概念：子集，真子集，补集．
2．已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S， {x|x∈S且xA}= ．
3．用适当符号填空：0 {0}；0 Φ；Φ {x|x＋1＝0, x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}．
4．如果全集U={x|0≤x<6,x∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，CUA=____, CUB=____．
二、问题情境
5、用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
① A={-1,1,2,3},B={-2,-1,1},C={-1,1}；
② A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0③ A={x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}．
上述每组集合中，A,B,C之间都具有怎样的关系？
对于①中若D={-2,-1,1,2,3}， A,B,D之间都具有怎样的关系？
讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示上述两个集合的关系？
【课堂活动】
一、建构数学：
1．交集定义：
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．
记作：A∩B（读作“A交B”）（intersection set）；
符号语言为：A∩B={x∣x∈A,且x∈B }；
图形语言为：
2．并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：A∪B（读作＂A并B＂）(union set)；
符号语言为：A∪B={x∣x∈A或x∈B }．
图形语言为：
3．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a[a， b] = _____________________；
（a， b）= _____________________；
[a ，b）= _____________________；
（a ，b] = ______________________；
（a，+∞）=______________________；
（-∞，b）=______________________；
（-∞，+∞）=____________________．
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言；
（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开；
（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.
思考:A∩B=A，可能成立吗？A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？
结论： A∩B = A AB；A∪B = B AB．
二、应用数学：
例1 设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B．
【思路分析】涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案． (如图1—6)
解：在数轴上作出A、B对应部分如图1—6，
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2【解后反思】数形结合思想的应用----数轴是常用工具．
例2 设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B。
【思路分析】此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B．(如图1—7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
例3 设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
【思路分析】运用文氏图解答该题(如图1—8)
解：A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
例4 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B．
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}．
例5 设A={x|-1【思路分析】利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．(如图1—9)
解：A∪B={x|-1三、理解数学：
1．已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为 ．
【解析】 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.
【点评】 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.
2．已知集合M＝｛x|x+y=2｝,N={y|y= x2},那么M∩N= ，MN= ．
答案：M∩N=，MN= R ．
3．已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值．
答案：P=8, a=5 ,b=－6
【课后提升】
1．设Ｍ＝｛０，１，２，４，５，７｝，Ｎ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｐ＝｛４，７，９｝，则（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）＝ ．
［解析］由条件知，Ｍ∩Ｎ＝｛１，４｝，Ｍ∩Ｐ＝｛４，７｝，
所以（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）=｛１，４，７｝．
2．已知Ａ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ－１，ｘ∈Ｒ｝，则Ａ∩Ｂ＝ ．
［解析］集合Ａ中ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３＝（ｘ－２）2－１≥－１，集合Ｂ中ｙ＝ｘ－１∈Ｒ，∴ＡＢ，∴Ａ∩Ｂ＝｛ｙ｜ｙ≥－１｝．
3．已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－＝０｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｘ－１＝０｝，若Ｍ∩Ｎ＝Ｍ，则实数＝ ．
4．若集合Ａ、Ｂ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∩Ｂ，则集合Ａ，Ｂ的关系是___A=B___．
5．设，，则=________．
6．已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，若A∩B={－}，求A∪B．
【思考】
交、并集的性质
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A A， A∪A A．
（3）A∩Ф Ф, A∪Ф A．
（4）A∩B B∩A ，A∪B B∪A．
(5) A∪B=A BA；A∩B=B BA．
第1页第11课时 求函数的解析式（教案）
【学习目标】
1．掌握求函数解析式的基本方法；
2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力．
【课前导学】
1．函数表示的方法有哪三种方法？最常用的方法是什么？
答：函数表示方法有解析式法．列表法．图象法三种．解析式法是最常用的表示方法．
2．二次函数的形式有几种？
解：（1）一般式： ；
（2）交点式： ，其中，分别是的图象与轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式：，其中是抛物线顶点的坐标；
3．已知函数类型，求函数解析式，常用什么方法？
答案：待定系数法．例如，求二次函数解析式的基本步骤是：
（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；
（2）代入已知条件，列方程（组）；
（3）通过解方程（组）确定未知系数；
3．分别求满足下列条件的二次函数 的解析式：
（1）图象与轴的两交点为，，且；
（2）图象的顶点是，且经过原点．
答案：（1）；
（2）．
【课堂活动】
一．建构数学：
根据题设的条件选择相应的方法求函数解析式．【据条件定方法】
二．应用数学：
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式．
解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x1
则 或 ，
∴或．
【解后反思】已知函数类型求函数的解析式时常用待定系数法．
例2 设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.
解：设,∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；
又∵f(x)满足且=0的两实根平方和为10，
∴得对称轴x=2且=10，
即且，∴a=1，b=-4，∴．
例3 若,求f(x) ．
解法一（换元法）：令t=则x=t1, t≥1代入原式有
，
∴ （x≥1）．
解法二（配凑法）：，
∴ 由≥1，
∴ (x≥1) ．
【解后反思】1．已知f(g(x))表达式，求f(x)的表达式常用换元法．配凑法；
2．用换元法时要注意新元范围．
例4 已知f(x)满足，求．
解：∵已知 ①
将①中x换成得 ②
①×2-②得 ∴.（）
【解后反思】当作用对象互为相反数、倒数、负倒数时，常用方程组法求函数的解析式．
例5 已知f(x)=x21，g(x)=求f[g(x)] ．
解：f[g(x)]=（）21=x+2．
【解后反思】求复合函数解析式，注意整体思想的应用．
例6 一直角三角形ABC，AC = 3，BC = 4，动点 P 从直角顶点C 出发沿CB．BA．AC 运动回到C，设路程PC = x ，写出线段AP的长度与 x 的函数式 F ( x ).
解： ．
【解后反思】注意分类讨论思想的应用．
三．理解数学：
1． 已知：=xx+3，求f(x+1), f()．
解：f()=()+3； f(x+1)=(x+1)(x+1)+3=x+x+3．
2． 若 求f(x) ．
解： 令 则 (t0) 则
∴f(x)= (x0且x1)
3．函数在闭区间上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．
【解】由图象可知，
当时，；
当时，，
所以
【课后提升】
1．已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=_________.
答案：5或－1．
2． 已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].
解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15； f[g(x)]=4g(x)+3=4x+3；
g[f(x)]=[f(x)]=(4x+3)=16x+24x+9； g[g(x)]=[g(x)]=(x)=x.
3．根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知是二次函数，若，求；
（2）若满足求．
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解．
设＝，由于得，，
又由，∴，
即　．
，因此：＝．
(2)由于为抽象函数，可以用消参法求解．
　用代可得：
与　　　　　
　联列方程组可消去得：＝.
【点评】求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后解方程组法.
4．某人开汽车以的速度从地到远处的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽车离开地的路程表示为时间（从地出发是开始）的函数，再把车速表示为时间的函数．
解：从地到地所需时间为，
从地到地所需时间为，
所以，当时，；
当时，；
当时，
；
所以，
5．设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有
，求的表达式.
解法一：由，设，
得，所以＝．
解法二：令，得，
即，
又将用代换到上式中得＝．
【点评】所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
思考题：
已知一个函数的解析式为，它的 值域为，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
答案：无数个，如定义域为，等．
第2页第16课时 函数的奇偶性（教案）
【学习目标】
1．从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念,体会利用定义判断简单函数的奇偶性；
2．在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.
【知识要点】
1增函数、减函数的定义，证明函数单调性的步骤．
2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？
轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合）；
中心对称：
两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转，能够与另一图形重合）．
【课堂教学】
一．建构数学：
1.偶函数
（1）观察函数y=x2的图象（如右图）
①图象有怎样的对称性？关于y轴对称．
②从函数y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值．
例如：f(-2)=4, f(2)=4,即f(-2)=f(-2)；
f(-1)=1，f(1)=1，即f(-1)=f(1)；
……
由于（-x）2=x2 ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上，这时，我们说函数y=x2是偶函数．
（2）定义：（板书）
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（even function）．
例如：函数,,等都是偶函数．
2.奇函数
（1）观察函数y=x3的图象（如图）
①当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
也是一对相反数．
②这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称．即如果点（x,y）是函数y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=x3的图象上，这时，我们说函数y=x3是奇函数．
（2）定义：（板书）
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=- f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)．
例如：函数都是奇函数．
3.奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立，即等式f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式．
提问：1．你是否发现具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？若定义域不符合此特点呢？
答案：关于原点对称；否则函数就不具奇偶性．
2．具有奇偶性的函数其图像有何特点？
答案：奇函数的图像关于 原点 对称；
偶函数的图像关于 轴对称．
据此也可用来判断函数的奇偶性．
二．应用数学：
例1 判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;
(4) f(x)=x2,x; (5) f(x)=; (6) f(x)=;
【思路分析】① 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；②从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次看f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)是否必有一成立．
解：（1）奇函数 ；（2）偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；
（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）奇函数 ；（6）既是奇函数也是偶函数 ．
【解后反思】1．判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（步骤：简记为 一看二算三论）．
2．函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（其定义域关于原点对称，如x∈R或x∈(-a,a).a>0）既是奇函数又是偶函数，可见，函数按奇偶性可分四类．
3．本题也可用图像法．
例2 已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在是增函数．
求证：y=f(x)在上也是增函数．
证明：任取x1-x2>0.∵f(x)在（0，+∞）上是增函数．
∴f(-x1) >f(-x2),又f(x)在R上是奇函数．
∴-f(x1)> -f(x2),即f(x1)< f(x2).
∴函数y= f(x)在（0，+∞）上是增函数．
【变式】已知函数y=f(x)在R上是偶函数，而且在是减函数．试探求并证明y=f(x)在上的单调性．
【推广】（1）奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；
（2）偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的．
三．理解数学：
1．已知函数f(x)对定义域内任意x．y,有f(x+y)=f(x)+f(y)⑴求f(0);⑵判断f(x)的奇偶性．
解：⑴f(x+0)=f(x)+f(0) 所以f(0)=0．
⑵f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),即f(0)=f(x)+f(-x),∴f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x),f(x)为奇函数．
【解后反思】奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下关键是建立与的关系，必要时可利用其等价形式，要注意思维的灵活性．
2．f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)= 0 ．
答：f(-0)=-f(0)即f(0)=-f(0) 所以f(0)=0．
3．一个函数既是奇函数，又是偶函数，这样的函数有 有无数 个．
提示：f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)故-f(x)=f(x),f(x)=0但定义域可以有无数个．
4．已知定义域为R的奇函数f(x),在x>0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式．
解：f(0)=0,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-x+1=x2-x+1,因f(-x)=-f(x)故f(x)=-x2+x-1．
综上，f(x)= ．
【课后提升】
1．判断下列函数的奇偶性：
　　(1) ; (2) ;
　 (3) ;　　　 ;
(5) ; (6);f(x)=2x-1;
（7） ; (8)
【答案】（1）奇函数 ；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）既不是奇函数也不是偶函数；（6）奇函数；（7）奇函数；（8）偶函数．
2．已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x－2|，
所以f(－x)= －x|－x－2|=－x|x+2|；
又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x)，
所以－f(x)= －x|x+2|，所以f(x)=x|x+2|．
故当x<0时，(x)表达式为f(x)=x|x+2|.
第1页第10课时 求函数的定义域（教案）
【学习目标】
1.掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法；
2.培养抽象概括能力和分析解决问题的能力．
【课前导学】
我们知道，根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定），不指明这两点是不能算给定了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合．有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.
【课堂活动】
一．建构数学：
当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是 ．
答案：实数集R
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是 ．
答案：使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是 ．
答案：使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ．
答案：使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是 ．
答案：使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．
二．应用数学：
例1 已知集合，且
使中元素和中的元素对应，则的值分别为 ．
略解：
例2 求下列函数的定义域：
① ② ③
④ ⑤
解：①要使函数有意义，必须： 即： ，
∴函数的定义域为： []．
②要使函数有意义，必须：，
，
∴定义域为：{ x|}．
③要使函数有意义，必须： ，
∴函数的定义域为：．
④要使函数有意义，必须： ，
∴定义域为：．
⑤要使函数有意义，必须： ，
即 x< 或 x>，∴定义域为：．
例3 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,∴又，
∴．
例4 若函数的定义域为[1，1]，求函数+的定义域
解：要使函数有意义，必须：
．
∴函数的定义域为：．
【变式】若函数的定义域为[1，1]，求函数+的定义域
例5 是关于的一元二次方程的两个实根，又，
求的解析式及此函数的定义域．
解：，
∴．
【解后反思】对于抽象函数的定义域遵循两点原则：
定义域都是相对于自变量x而言；
相同对应法则下的作用对象的取值范围相同．
三．理解数学：
1．设的定义域是[3，]，求函数的定义域
解：要使函数有意义，必须： 得：
∵ ≥0 ∴
∴ 函数的定域义为
2（1）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.
解：∵f（x）中0≤x≤1，
∴0≤x－1≤1，即1≤x≤2∴函数的定义域为[1,2] ．
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.
解：∵函数y＝f（x－1）中0≤x≤1，
∴－1≤x－1≤0，
即：y＝f（x）的定义域为[－1，0] ．
（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.
解：∵y=f（x-2）中1≤x≤2，
∴-1≤x－2≤0，即-1≤x+3≤0 ∴ -4≤x≤-3，
∴函数的定义域为[-4,-3] ．
【课后提升】
1．已知函数的定义域为[0，1]，求函数的定义域．
解：由于函数的定义域为[0，1]，即∴满足，
，∴的定义域是[－1，0].
2．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
解：（1）（，0）； （2）且；（3）；
（4） （5）R ; (6)[-3,1].
3．已知 ．
4．若函数的定义域为，求实数的取值范围．
解：由题意知，方程 ① 无实数解，
（1）若，则方程①即，无实数解；
（2）若，则“方程①无实数解”等价于，
解得；
综上所述，实数的取值范围为．
第1页第9课时 函数的表示方法（教案）
【学习目标】
掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图象的几种情形；
理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法．
【课前导学】
引入问题
1．回忆函数的两种定义；
2．函数的三要素分别是什么？
3．设函数，则 ，若，则= ．
【课堂活动】
一．建构数学：
函数的三种表示方法：
（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）；
如等．
优点：
（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）；
如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等．
优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．
（3）图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）．如：
优点：直观形象地表示自变量的变化．
二．应用数学：
例1 某种笔记本每个5元，买 x （x{1,2,3,4}）个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像
解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，
函数的解析式为y=5x，x{1,2,3,4}.
它的图象由4个孤立点A (1， 5)、B (2， 10)、 C (3， 15) 、D (4， 20)组成，如图所示：
例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示.
这一种函数我们把它称为分段函数
例3 画出函数y=|x|=的图象.
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.
说明：①函数图象的多样性：点、不连续的线段、连续的曲线等；
②从例2和例3看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D(x)=,我们就作不出它的图象.
例4 作出分段函数的图像．
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
=
作出图像如下：
例5 作出函数的图象．
解：列表描点连线：
四
三．理解数学：
1．在函数中，若，则的值为 ．
2．已知，则= ．
3． 已知函数，分别由下表给出：
f(x)
g(x)
则的值为 1 ；满足的的值是 2
【课后提升】
1．设函数，，求①的值；
②试求和解析式.
2．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
()
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
3．函数的定义域为，值域为，
则满足条件的实数组成的集合是 ．
4．已知，若,则 ．
X
O
Y
O
_
x
_
y
O
O
第1页第18课时 映射（教案）
【学习目标】
1．了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射；
2．通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．
【课堂教学】
一．建构数学：
看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
1．映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A．B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射 记作：
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
答案：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的映射．
【思考】如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射
答案：一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射
【辨析】
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集．点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
2．映射三要素：集合A．B以及对应法则，缺一不可．
3．映射与函数有什么关系？
答案：由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A、B为两个非空数集．
二．应用数学：
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(1) （2） （3）
答案：（1）、（3）是映射，有对应法则，对应法则是用图形表示出来的
例2 下列各组映射是否同一映射？
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
答案：不是．
例3 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；
（2）设，对应法则；
（3），，；
（4）设，；
（5），．
解：（1）是；（2）是；（3）是；（4）是；（5）是．
例4 给出下列四个对应的关系：
①A=N*,B=Z,f:x→y=2x－3；
②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y∈N*,y≤5}，f:x→y=|x－1|；
③A={x|x≥2}，B={y|y=x2－4x+3}，f:x→y=x－3；
④A=N,B={y∈N*|y=2x－1，x∈N*}，f:x→y=2x－1．
上述四个对应中是函数的有 ．
解：①中，对x∈A，在f作用下，在B中都有唯一的象，因此能构成映射.由于A、B均为非空数集，因而能构成函数；
②中，当x=1时,y=0B，即集合A中的元素1在集合B中无象，因而不能构成映射，从而也不能构成函数；
③中的两个对应符合映射的定义，且两个集合均为非空数集，因而能构成函数；
④中，当x=0时，y=－1B，即0在B中无象，因而不能构成映射，也就不能构成函数．
答案：①③
三．理解数学：
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B到集合A的映射吗？
2．已知集合A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:A→B是从A到B的映射，f:x→(x+1,x2+1)，求A中的元素在B中的象和B中元素(,)在A中的原象．
思路分析：将x=代入对应关系，可求出其在B中对应元素，(,)在A中对应的元素可通过列方程组解出．
解：将x=代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(+1，3). 可通过列方程组也可求出(,)在A中对应的元素为．
【课后提升】
1．下列对应是A到B上的映射的是 ．
（1）A=N*,B=N*,f:x→|x－3|；
（2）A=N*，B={－1,1, －2}，f:x→(－1)x；
（3）A=Z,B=Q,f:x→；
（4）A=N*，B=R，f:x→x的平方根．
答案：（2）
2．设f:A→B是集合A到B的映射，下列命题中是真命题的是 ．
（1）A中不同元素必有不同的象；
（2）B中每一个元素在A中必有原象；
（3）A中每一个元素在B中必有象；
（4）B中每一个元素在A中的原象唯一．
答案：（3）
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （不是，0在B中无象）
4．已知映射f: A→B，其中集合A={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是 ．
答案：4
5．下面哪一个说法正确？
（1）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射；
（2）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射；
（3）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射；
（4）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
答案：只有（4）正确．
6．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少．
分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.
答案：5，6
7．若f：y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射，该映射满足B中任何一个元素均有原象，求自然数a、k及集合A、B.
答案：a=2, k=5, A={1,2,3,5} B={4,7,10,16}．
第1页第7课时 集合复习（教案）
【学习目标】
1．掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；
2．掌握集合的包含关系（子集、真子集）；
3．掌握集合的运算(交、并、补)；
4．解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.
【课前导学】
【复习回顾】
1．判断下列命题的正误：
①全集只有一个；
②“正整数集”的补集是“负整数集”；
③空集没有子集；
④任一集合至少有两个子集；
⑤若，则；
⑥若，则A、B之中至少有一个为空集；
解：只有⑤ √，其余均X
2．设集合,,且，则实数的取值范围是 ．
3．设，集合，．若，求的值．
解：，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或．
【课堂活动】
一、建构数学：
本单元主要介绍了以下三个问题：
1．集合的含义与特征；
2．集合的表示与转化；
3．集合的基本运算．
（一）集合的含义与表示(含分类)
1．具有共同特征的对象的全体,称一个集合；
2．集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类；
3．集合的表示
（二）集合表示法间的转化
说明：高中数学解题的关键也是着“四化” ．
（三）集合的基本运算
1．子集：A B定义为，对任意x∈A，有x∈B,表现图为A在B中包含着；
2．集合运算比较：
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=
韦恩图示
性质 AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABB AA=AAΦ=AAB=BAABＡABB (CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= Φ．
容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
二、应用数学：
1、注意集合中代表元素
“代表元素”实质是认识和区别集合的核心．代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同．例如A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},D={y=x2}.
例1 P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1}.则相等的集合有
．
答案：Q=N
【变式】Q S=？
2、注意集合中元素的互异性
注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原则．例如对于数集{2a,a2-a}，实数a的取值范围是_______________.且
例2 (1)已知集合A={1,4,a},B={1,a2},且BA,求集合A和集合B；
(2)已知x∈R,A={-3,x2,x+1},B={x-3,2x-1,x2+1},如果={-3}，求．
解：（1）当a= 4时，有a=2或-2 ，经检验符合题意，
此时A={1,2,4}或A={1，-2,4}, B={1,4}；
当a=a 时，有a= 1或0 ，经检验a=0 符合题意,此时A={0,1,4},B={0,1}．
（2）由={-3}有，x-3= -3或2x-1= -3或x2+1= -3故有x=0 或-1
当x=0时，A={-3,0,1},B={-3，-1,1}，不合题意={-3}；
当x= -1 时，A={-3,1,0} ,B ={-4，-3,2}，符合题意．
综上所述，x= -1.
【解后反思】
1、注意分类讨论；
2、注意检验题意和集合中元素的互异性．
3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系
例3 (1)下列关系式:① EMBED Equation.3 ①①;②N∈R;③高一(1)班学生的笔∈{x|x是高一(1)班学生};④3.14∈{x∈R|x-π>0}.其中正确命题的序号是 ．①
(2) ①1;②{1}③;④{0};⑤{0},上述五个关系式中错误的个数是 ．2个
4、注意空集特殊性和两重性
空集是任意集合的子集，即，是任一非空集合的真子集，即A(A≠).有三种情况：,AB.另外还要分清楚,的关系．
例4 下列五个命题:①空集没有子集;②空集是任何一个集合真子集;③④任何一个集合必有两个或两个以上的子集;⑤若，则A、B之中至少有一个为空集；其中真命题的个数 ．0个
例5 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},若，
且A∩C=，求a的值．
解：B={2,3} ,C={2，-4} 由题意有3A, 2A，
把3代入A对应方程有a-3a -10 =0 解方程有a=5 或 -2.，
经检验a=-2（a=5舍去）．
例6 已知A={x|ax-1=0},B={x|x2-5x+6=0},若=A,求a的值，并确定集合A．
解：=A, AB 而 B={2,3}，
当a = 0 时，A = ，符合题意；
当a=时，A={2}，符合题意；当a=时，A={3 }，符合题意．
【解后反思】注意空集的特殊性，空集是任意集合的子集，即．
例7 已知A={x|x2+(m+2)x+1=0},且AR+=.试求实数m的取值范围．
解：因为AR+=.
若，则方程无实数解，
所以， - 4< m<0;
若，则方程有非正实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数m的取值范围是m > - 4.
【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用．
5、 综合运用
例8 已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}， B={x|x2+(a-1)x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}， 其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.
分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则
只有一种情况，即三个集合全是空集.
【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，
即
解此不等式组，得
∴所求实数a的取值范围为：a≤,或a≥-1.
点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求
出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.
三、理解数学：
1．已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}．
(1)试求a的取值范围，使A∩BC；
(2)试求a的取值范围，使．
分析：U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），
故A∩B=（2，3），（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，
∴=[-4，-2]，
又x2-4ax+3a2<0即(x-3a)(x-a)<0，
∴当a<0时，C=（3a，a），
当a=0时，C=，
当a>0时，C=（a，3a），
要使A∩BC，集合数轴知， 解得 1≤a≤2；
类似地，要使必有
， 解得 ．
【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.
点评:①研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便
于分析与转化；
②注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.
2．(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|ax2-3x+2=0},
①若=，求的取值范围；
②若中只有一个元素，求的值并写出这个集合的元素；
③若中至多有一个元素，求的取值范围；
④若中有两个元素，求的取值范围．
(3)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},若，求实数a的取值范围．
解：(1) 而 B={ 1,2 }
当a = 0 时，B = 符合题意；
当a=时，A={1}符合题意；当a=1时，A={2 }符合题意；
(2)(3)略
【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论．
【课后提升】
1．下列命题正确的有 个．
（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集．
答案：
2．若且，则 ．
答案：
3．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ．
答案：
4．下列表述中正确的是 （只填序号）：⑴若 ；⑵若；⑶ ；⑷ ．
答案：⑴、⑵、⑷
5．已知，则集合中元素x所应满足的条件为 ．
答案：
6．满足的集合的个数为_____________．
答案：7
7．某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x人，则x的取值范围是 ．
答案：
8．设全集，，则= ．
答案：
9．集合，，
满足，实数值为 ．
答案：
10．设 ．
答案：
11．设，集合，；若， = ．
答案：或
12．已知，，,则的取值范围为 ．
答案：
13．设是集合A中元素的一种运算，如果对于任意的，都有，则称运算对集合A是封闭的，若，则对集合M不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法）．
答案：除法
14．设全集,集合，,
那么等于________________．
答案：
二、解答题：
15 ．已知集合,,,
且,求的取值范围．
解：，当时，，
而 则 这是矛盾的；
当时，，而，
则；
当时，，而，
则； ∴．
16．已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2－4x+m-1>0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,
求m的取值范围.
解：由已知A={x|x2+3x+2}得得 .（1）∵A非空 ，∴B=；（2）∵A={x|x}∴另一方面，，于是上面（2）不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B=.由已知B=结合B=,得对一切x恒成立，于是，有的取值范围是．
17．，试求实数的取值范围，使．
解：依题意得：
（1）当，；
（2） 当,
要使，则，解得：；
（3）当,
，不符合题设．
综合上述得：．
18．已知集合A＝{(x, y)|y＝－x2＋mx－1},B＝{(x, y)|x＋y＝3, 0≤x≤3}，若A∩B中有且仅有一个元素，求实数m的取值范围．
解：由题意， 得
x2－(m＋1)x＋4＝0在[0，3]上有且仅有一解
①△＝0时方程有相等实根且在[0，3]上，即
eq \b \lc\{ (\a \al \vs1(△＝(m＋1)2－4×4＝0,0≤≤3)) 　 ∴m＝3
②△＞0时，只有一根在[0，3]上，两根之积为4＞0，
则32－(m＋1)×3＋4＜0，∴m＞
所以，m的取值范围是m＝3或m＞．
S
A
S
A
第1页第8课时 函数的概念和图象（教案）
【学习目标】
1．理解函数的概念，明确函数的三个要素；
2．学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；理解静与动的辩证关系.
【课前导学】
（一）引入问题
【问题1】 初中我们学过哪些函数？
答：正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数．
【问题2 】初中所学函数的定义是什么？
答：设在某变化过程中有两个变量x和y，如果给定了一个x的值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
（二）函数感性认识
【引例1】炮弹飞行时间的变化范围是数集，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集，对应关系 （*）．从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．
【引例2】中数集，，并且对于数集A中的任意一个时间t，按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应．
【引例3】中数集，且对于数集A中的每一个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应．
【课堂活动】
一．建构数学：
（一）归纳总结给函数“定性”
归纳以上三例，三个实例中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集A中的每一个x，按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作．
（二)理性认识函数的定义
设A．B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)．
定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；
（1）对应法则：f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；
y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)．F(x)．G(x)等符号来表示；
自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示．如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11．
注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值．
（2）定义域是自变量x的取值范围；
【注意】①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；
如：y=x2(xy=x2(x>0)； y=1与y=x0
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围； 如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是．
（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定．
二．应用数学：
例1 判断下列对应是否为函数：
（1）；
（2），这里．
分析：依据函数的定义．（解答见教材P23 例1）
例2 已知函数，
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当a>0时，求的值．
【思路分析】函数的定义域就是指能使表达式有意义的实数的集合．
解：略．
例3 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋．
解：(1)x－2≠0，即x≠2时，有意义，
∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}．
(2)3x＋2≥0，即x≥－时有意义，
∴函数y＝的定义域是[－，＋∞）．
(3) ，
∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）．
【说明】 给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合．
从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
（3）如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；
（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
由上可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定．
例4 下列函数中哪个与函数是同一个函数？
⑴；⑵；⑶．
解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是；
⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数
【解后反思】 判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同．只有完全一致时，这两个函数才算相同．
例5 求函数f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}的值域．
略解：值域为{2,1,5,} ．
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f：A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域．值域．对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
三．理解数学：
1．求下列函数的定义域：
（1）；(2)；(3)
2．求下列函数的值域：
(1)y＝1－2x （x∈R）；
(2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2}；
(3)y＝x2＋4x＋3 （－3≤x≤1）．
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，－1}
(3)画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，
当x∈[－3，1]时，得y∈[－1，8]
【课后提升】
1．下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①， （定义域不同）
② ， （定义域不同）
③， （定义域．值域都不同）
2．函数的图象与直线的公共点数目是 ．或
3．求函数f(x)=(x-1)2+1的值域．（答：{y|y≥1}
4．求下列函数的定义域：1）y= 2）y=．
答案：（1) {x|x∈R,且x≠±1}； （2）{x|xx∈R,且x≠1,2,3}．
5．某细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，将细胞分裂的个数y表示为分裂次数x的函数．
（答案y=2x,x∈N）
第1页第3课时 子集、全集、补集（一）
【学习目标】
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质．
【课前导学】
一、复习回顾
表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.
二、巩固练习
1、用列举法表示下列集合：
① {-1，1，2}
②｛数字和为5的两位数｝ {14，23，32，41，50}
2、用描述法表示集合：
3、用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”
={-1，5}
三、问题情境
【问题】观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N，B=R；
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}； (4)A＝，B＝{0}
【设问】集合A中的任何一个元素都是集合B的元素吗
【课堂活动】
一、建构数学：
通过观察上述集合间具有如下特殊性：
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素；
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素；
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素；
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
1.子集:
【定义】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
【注意】
（1）子集与真子集符号的方向
（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
（3）空集是任何集合的子集即ΦA．
（4）空集是任何非空集合的真子集即ΦA 若A≠Φ，则ΦA．
（5）任何一个集合是它本身的子集即．
（6）易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
（7）子集关系具有传递性.即,则．
二、应用数学：
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确：①ΦA ②ΦA ③ ④AA．
解（1）：NZQR
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
【思考】1：与能否同时成立？
【结论】如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.
【思考】2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性．若AB，BC，则AC.
例2 写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．
【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()
（2）集合的所有子集的个数是多少？()
【推广】如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，有2n-2个非空真子集．
例3 满足个？
【思路分析】集合M中必含有元素a, 故集合M的个数即是的真子集的个数．
解：7个．
例4 已知集合，，且，求实数的取值范围．
【思路分析】A的子集要分和两种情况讨论．
解：⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
三、理解数学：
1、用连接下列集合对：
①A={济南人}，B={山东人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2、若A={，，},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集．
3、设A={3,Z},B={6，Z},则A、B之间是什么关系？
【课后提升】
1． 满足的集合是什么
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集．
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确．
答案:15
2． 已知，试确定A，B，C之间的关系．
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是．
3． 判断正误：
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6) ．
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
4．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为____________________________．M = P
5．已知集合，，若，求实数满足的条件．
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是．
答案: ．
6．⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出．
分析:集合本身也可以做另外集合的元素.
解析:⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=．
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=．
7． 已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} ，求：
（1）A={2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B A，求a,x的值；
（3）使B= C的a，x的值．
解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得x=2或x=3．
（2）∵2∈B，BA，
∴
即x=2，a=或．
（3） ∵ B = C， ∴
即x=-1，a=-6或x=3，a=-2．
第1页第15课时 函数的单调性（二）（教案）
【学习目标】
1．使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；
2．掌握增(减)函数在比较大小、解不等式、求函数最值方面的应用．
（I）复习回顾
1．函数单调性的概念；
2．函数单调性的判定．
（II）问题情境
通过观察二次函数和的最高点和最低点引出函数最值的概念．
【课堂教学】
一．建构数学：
1．函数最大值与最小值的含义
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）的定义吗？
2．二次函数在给定区间上的最值
对二次函数来说，若给定区间是，则当时，函数有最小值是，当时，函数有最大值是；若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值．
二．应用数学：
例1 求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
【思路分析】先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值．
【变式】若区间为呢？
例2 已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-1)解：由f(x-1)解1)令x=1,f(y)=f(1)+f(y),∴f(1)=0
∵f(x)是R+上的减函数
例4 如果二次函数f(x)=x-(a-1)x+5 在区间上是单调增函数，求f(2)的取值范围．
解：f(x)是开口向上的抛物线且f(x) 在区间上是单调增函数，
f(2)=4-2(a-1)+5=11-2a
例5 已知函数y=f(x)在R上是增函数，求证：若y=g(x)在(a,b)上是增函数，则函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．
证明：设u=g(x),任取au=g(x)在(a,b)上是增函数,∴u又y=f(x)在R上是增函数,∴f(u)即f[g(x)]所以函数y=f[g(x)]在(a,b)上也是增函数．
【解后反思】研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成,然后根据“同增异减”法则作出判断．
内层函数u=g(x) 外层函数y=f(u) 复合函数y=f[g(x)]
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
例6 已知f(x)=x+x (x∈R) ．
1)判断f(x)在R上的单调性，并证明；
2)求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个．
解1)设x=(x-x)(x+xx+x+1)
，所以f(x)是增函数．
2)假设有两个x=a，x=a且x≠x，
因为f(x)是增函数,所以f(x)≠f(x)，
这与f(x)=f(a)=f(x)矛盾．
所以满足f(x)=a的实数x至多只有一个．
【解后反思】“至多、至少”类、否定类命题常用反证法证明！
三．理解数学：
1．设f(x),g(x)都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题的序号是 ②③ ．
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增；
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减；
④ 若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减．
2．函数y=f(x)在R上单调递增，且f(m)>f(1-m),则实数m的取值范围是 ．
3．函数y=3x-ax+5在[-1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是_(-∞,-6] ．
4．函数的最大值为　　　　　.
5．求函数在下列各区间上的最值：
（1） （2）[1，4] （3） （4） （5）
【课后提升】
1．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与的大小关系是　　　　小于等于　　．
2．判断函数f(x)=-x在定义域内单调性．
解：函数定义域为(-∞,+∞),
当x≤0时,x2单调递减，也单调递减,同时-x也单调递减,因此f(x) 单调递减
当x≥0时,f(x)= 单调递减；
总之，f(x)↓
练习：判断下列函数的单调性
⑴f(x)= x∈（0，+∞）（答⑴↓；⑵↑）
对于g(x)=可以看作y=及t=x2+x的复合函数，这样需要知道y=f[g(x)]随y=f(u)及u-g(x)的变化情况，有：
增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
【解后反思】两个函数的复合函数，在具有相同单调性时，其复合函数为增函数；具有不同单调性时，复合函数为减函数（简称“同增异减”）.
3．求函数f(x)=的单调区间．
解:原函数是y=1/t及t=x2+x的复合
对于函数y=1/t在t∈(0,+∞)及t∈(-∞,0)上都单调减，
而t<0等价于x2+x<0即-1t=x2+x在x≤-1/2上↓,x≥-1/2上↑,故有
故f(x)的增区间为(-∞,-1)及,减区间为及(0,+∞) ．
4．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y) ．
（1）求f(0)．f(1)的值；
（2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
解：（1）不妨令x=y=0,则f(0)=2f(0) 故有f(0)=0;
令x=y=1,则f(1)=2f(1) 故有f(1)=1;
(2)由题设有 f(x(x-2))> f(3)，
故有 x(x-2)>3 解得x>3 或x< -1．
5．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．
解：函数的对称轴为，
当时，则当时函数取最大值，即即；
当时，则当时函数取得最大值，即，即．
所以，或．
第1页高一数学单元测试（集合）
一、填空题：
1．下列关系中：①；②；③；④。其中正确的是 （填序号）。
2．设，则集合中所有元素之和为 。
3．设且，则由代数式的值组成的集合为 。（用列举法表示）
4．方程组的解集用列举法表示为 。
5．如图，阴影部分所表示的集合为 。
6．设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知，则A＝ 。
7．已知集合A＝{1，5}，B＝{}，且，则的取值组成的集合是 。
8．集合A＝{1，2，3，4}，且则满足上述条件的集合B的个数是 。
9．设集合则集合A与集合B的关系是 。
10．若集合，则 。
11．设且，则 ， 。
12．如果具有下述性质的都是集合M中的元素，即，其中。则下列元素：①；②；③；④。其中是集合M的元素是 。（填序号）
13．设，定义M与N的差集，则 。
14．定义集合运算。设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合中的所有元素之和为 。
二、解答题：
15．已知全集，是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由。
16．已知全集求：（1）；（2）；（3）
17．设一元二次方程的解集分别为A，B，已知，求实数的值。
18．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图。测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
19．已知集合，且，求实数的取值范围。
20．已知集合。（1）当时，写出所有满足条件的集合M；（2）若，求实数的取值范围。
2011-2012学年江苏省梁丰高级中学高一数学单元测试（集合）
班级 学号 姓名
一、填空题：
1．下列关系中：①；②；③；④。其中正确的是 （填序号）。
答：①②
2．设，则集合中所有元素之和为 。
答：2（注：方程有两等根）
3．设且，则由代数式的值组成的集合为 。（用列举法表示）
答：{－4，0，4}
4．方程组的解集用列举法表示为 。
答：；
5．如图，阴影部分所表示的集合为 。
答：
6．设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知，则A＝ 。
答：{3，4}；（韦恩图的运用）
7．已知集合A＝{1，5}，B＝{}，且，则的取值组成的集合是 。
答：{0，1，5}；
8．集合A＝{1，2，3，4}，且则满足上述条件的集合B的个数是 。
答：4；
9．设集合则集合A与集合B的关系是 。
答：；
10．若集合，则 。
答：。
11．设且，则 ， 。
答：；
12．如果具有下述性质的都是集合M中的元素，即，其中。则下列元素：①；②；③；④。其中是集合M的元素是 。（填序号）
答：①③④
13．设，定义M与N的差集，则 。
答：。
14．定义集合运算。设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合中的所有元素之和为 。
答：6。
二、解答题：
15．已知全集，是否存在实数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由。
解：由。故存在，为。
16．已知全集求：（1）；（2）；（3）
答：，
（1）；
（2）；
（3）。
17．设一元二次方程的解集分别为A，B，已知，求实数的值。
答：。
18．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图。测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
答：至少30人。
19．已知集合，且，求实数的取值范围。
答：。
20．已知集合。（1）当时，写出所有满足条件的集合M；（2）若，求实数的取值范围。
答：（1）M为集合的真子集。（7个）
（2）。
A
C
U
B
A
C
U
B
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1第14课时 函数的单调性（一）（教案）
【学习目标】
1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；
2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力．
【课前导学】
【复习回顾】
1.函数有哪几个要素？
2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？
3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？
4.区间的表示方法.
前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）．
【课堂活动】
一．建构数学：
1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题：
问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？
随着x的增加，y值在增加．
问题2：怎样用数学语言表示呢？
设x1．x2∈[0，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)．
结论：这时，说y1= x2在[0，+上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：
2.定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2,当x1x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）．
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)．
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．
（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1．x2∈给定区间，且x1＜x2 （取值）；
b.计算f（x1）－f（x2）至最简（作差）；
b.判断上述差的符号（断号）；
d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数) ．
二．应用数学：
例1 画出下列函数的图像，并写出单调区间．
(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)
（1）y= - x+2
(2) y= (x0)
【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．下面举例说明．
例2 求证：函数f(x)= －x3+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数．
证明：设x1，x2∈R且x1=(x2－x1)(x22+x1x2+x12)，因为x2>x1，x22+x1x2+x12>0，
所以f(x1) －f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减．
例3 证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.
证明：设任意x1．x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－＝，
由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0，
又x1＜x2 得x2－x1＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数．
【解后反思】通过观察图象．对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
【拓展】函数在其定义域上是减函数吗？
答案：该命题不对；例如时， ，显然且，所以＂函数在其定义域上是减函数＂是不成立的．
【说明】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集．
例4 (1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为 ；
（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 ；
（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为 ．
解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；
（２）由题意可以知道即；
（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即．
三．理解数学：
1．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．
证明：设任意x1．x2∈R，且x1则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).
由x1∴f(x)=3x+2 在R上是增函数．
2．求证：在区间上是减函数．
证明：设，则，∴
即
故在区间上是减函数．
3．求证函数f(x)=+在区间（3，4）上单调增．
证明：任取3=+
=(x2-x1)(－)，
∵3+<+,>，
∴f(x2)>f(x1), f(x)=+在区间（3，4）上单调增．
【课后提升】
1．函数y=|x+1|的单调递减区间为 [－1，+∞) ，单调递减区间 (－∞，－1] ．
2．求函数f(x)=x+(k>0)在（0，+∞）上的单调性．
解：任取0又>0,x12∴x1x2-k同理，f(x)在上单调递减．
3．讨论函数在(-2,2)内的单调性.
解：∵，对称轴，
∴若,则在(-2,2)内是增函数；
若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数，
若,则在(-2,2)内是减函数.
4．讨论函数在上的单调性.
解：
设，则，
∴
∵，
当时，，此时函数在上是单调减函数；
当时，，此时函数在上是单调增函数．
【拓展题】
已知函数f(x)满足对任意定义域内的m,n,f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且x>0时f(x)>1,
求证：f(x)单调增．
【思路分析】在单调性定义中，若设x1=x,x2=x+h,h>0,有变形定义：
对于h>0,若f(x+h)>f(x),则f(x)单调增；若f(x+h)证明：对于h>0,f(x+h)=f(x)+[f(h)-1]>f(x),所以f(x)单调增．
第2页高一数学单元测试（函数）
一、填空题：
1．函数的图像与直线的交点的个数是 。
2．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 。
3．函数的值域是 。
4．已知为偶函数，当时，，则时，＝ 。
5．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
6．已知函数是奇函数，则实数的取值范围是 。
7．若幂函数的图像不过原点，则 。
8．方程的实数根在区间上，则＝ 。
9．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 。
10．三个数的大小关系是 。
11．若，则＝ 。
12．已知实数满足等式，下面五个关系式：①；②；③；④；⑤。其中不可能成立的关系式是 。
13．已知函数，若，则 。
14．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 。
二、解答题：
15．已知函数，若，求实数的取值范围。
16．用定义法证明函数在定义域内是减函数。
17．已知函数。
（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数的最小值。
18．关于的方程有两个实数根，且一根大于4，一根小于4，求实数的取值范围。
19．已知的定义域为，当时，，且对于任意实数满足。（1）试判断函数的单调性，并证明；（2）试解不等式。
20．已知二次函数满足条件，且方程有等根。（1）求的表达式；（2）是否存在实数，使得函数的定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
2011-2012学年江苏省梁丰高级中学高一数学单元测试（函数）
班级 学号 姓名
一、填空题：
1．函数的图像与直线的交点的个数是 。
答：0或1；
2．若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 。
答：；
3．函数的值域是 。
答：；
4．已知为偶函数，当时，，则时，＝ 。
答：；
5．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。
答：；
6．已知函数是奇函数，则实数的取值范围是 。
答：；
7．若幂函数的图像不过原点，则 。
答：1或2。
8．方程的实数根在区间上，则＝ 。
答：1；
9．若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是 。
答：。
10．三个数的大小关系是 。
答：。
11．若，则＝ 。
答：；
12．已知实数满足等式，下面五个关系式：①；②；③；④；⑤。其中不可能成立的关系式是 。
答：③④；
13．已知函数，若，则 。
答：－10
14．若函数为上的增函数，则实数的取值范围是 。
答：；
二、解答题：
15．已知函数，若，求实数的取值范围。
答：。
16．用定义法证明函数在定义域内是减函数。
17．已知函数。（1）求函数的定义域；（2）当时，求函数的最小值。
答：（1）（－3，1）；（2）；
18．关于的方程有两个实数根，且一根大于4，一根小于4，求实数的取值范围。
答：。
19．已知的定义域为，当时，，且对于任意实数满足。（1）试判断函数的单调性，并证明；（2）试解不等式。
答：（1）增函数；（2）[2，4]
20．已知二次函数满足条件，且方程有等根。（1）求的表达式；（2）是否存在实数，使得函数的定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。
答：（1）；（2）存在，。第13课时 函数的值域（教案）
【学习目标】
1．掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、图像法、部分分式法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法．
2．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．
【知识梳理】
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为 R ，值域为 R ；
反比例函数的定义域为 {x|x0} ，值域为 {y|y0} ；
二次函数的定义域为 R ，
当a>0时，值域为 {} ；当a<0时，值域为 {} .
前面我们已经学习了函数定义域的求法和函数的表示法，今天我们来学习求函数值域的几种常见方法
【课堂教学】
一．建构数学：
1．直接法：利用常见函数的值域来求．
例1 求下列函数的值域：
① y=3x+2 (-1x1) ②
③ ④
解：①∵-1x1，∴-33x3，
∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ．
②∵ ∴
即函数的值域是 { y| y2}
【变式】 y＝？
解：令t＝－x2＋2x＋3，则：
y＝且t∈[0，4]
∴所求函数的值域为：[0，2]
③
∵ ∴
即函数的值域是 { y| yR且y1}（此法亦称分离常数法）
④当x>0，∴=，
当x<0时，=－
∴值域是[2，+).（此法也称为配方法）
函数的图像为：
如右图所示
2．二次函数闭区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值．最小值与值域：
①； ②；
③； ④．
解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }.
②∵顶点横坐标2[3,4]，如图，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；
∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,
∴在[0,1]上，=-2，=1；值域为[-2，1].
④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=－3, x=5时，y=6,
∴在[0,1]上，=－3，=6；值域为[-3，6].
【解后反思】 对于二次函数,
⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；
②当a<0时，则当时，其最大值.
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.
②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.
【提醒】①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
【深化】⑤；⑥？
3．换元法
例3 求函数的值域．
解：设 则 t0 x=1
代入得
∵t0 ∴y4
【变式】 求y＝2x－3＋的值域．
分析：函数问题，应优先考虑函数的定义域，再求其值域.
解：∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞） 令t＝则得：x＝
∴y＝t2＋t＋ ∴y＝（t＋1）2＋3
∵x≥ ∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[，＋∞）
【解后反思】1．本题还可用单调性法
2．对于形如型的函数，常用此换元法．
4．图像法：
例4．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域．
解法1：将函数化为分段函数形式：，
画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+. 如图
【反思】两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.
【说明】以上是求函数值域常用的一些方法（观察法．配方法．判别式法．图象法．换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法．三角代换法等．有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
【变式1】求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.
【思路分析】对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3，
－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3，
所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3] ．
【变式2】求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
5．分离常数法：
例5 求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
解：（1）∵y＝＝2－
∴函数的值域为{ y︱y≠2}
（2）∵y＝－＋ eq \f(,2x＋5)
∵ eq \f(,2x＋5) ≠0 ∴y≠－
∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）
6．判别式法（△法）：
例6 求函数y=值域．
解：∵，
∴函数的定义域R，原式可化为,
整理得，
若y=1,即2x=0,则x=0；
若y1,∵R，即有0，
∴,解得且 y1.
综上：函数是值域是{y|}.
【解后反思】此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论．
【变式1】求函数的值域．
方法一：去分母得 (y1)+(y+5)x6y6=0 ①
当 y1时 ∵xR ∴△=(y+5)+4(y1)×6(y+1)0由此得 (5y+1)0
检验 时 （代入①求根）
∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1
综上所述，函数的值域为 { y| y1且 y}
方法二：把已知函数化为函数 (x2) ，
由此可得 y1
∵ x=2时 即 ，
∴函数的值域为 { y| y1且 y}
【变式2】求函数y＝的值域.
解：由y＝得x∈R且可化为：
（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0，
∴当y≠时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0，
∴y2＋3y－4≤0， ∴－4≤y≤1且y≠，
又当y＝时，2（1＋）x＋（＋3）＝0得：x＝－，满足条件．
∴函数的值域为y∈[－4，1]．
三．理解数学：
1． 求函数的值域．
解：∵x0，，∴y11.
【说明】此题以后利用基本不等式解更简捷：．
2．求函数的值域．
解：∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，
∴函数的定义域为R，
∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，
即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),
解得0y5，又∵y0, ∴0注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.
3． 求函数的值域：
①； ②
解：①令0,则,
原式可化为,
∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].
②解：令 t=4x0 得 0x4
在此区间内 (4x)=4 ，(4x) =0
∴函数的值域是{ y|－2y2}．
【课后提升】
1．求函数y＝x2在下列范围内的值域：
（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2]
（4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2]
2．求函数y＝（x≠0）在下列定义域范围内的值域：
（1）x∈（1，2）；（2）x∈（0，2）；（3）x∈（－1，2）；
（4）x∈（2，+∞）；（5）x∈（－2，+∞）
3．求函数y＝的值域.
解：由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1
即（3－y）x2＝2y＋1
若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的.∴y≠3
由x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0
解得：－≤y＜3
∴函数值域为y∈[－，3）．
第1页第17课时 函数的单调性．奇偶性的综合问题（教案）
【学习目标】
1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；
2．熟练运用单调性与奇偶性讨论函数的性质；
3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些简单问题．
【课前导学】
1．函数单调性．奇偶性的定义；
2．练习：
①设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序是 >> ．
②如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么它在 上是( B )
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
③下列函数中，在区间上是增函数的有 （3） ．
（1）；（2）；（3）．
④若为上的减函数，则与的大小关系是 ．
答案：
⑤判断函数的奇偶性为 既不是奇函数也不是偶函数 ．
提示：可用图像法．
【课堂活动】
一．建构数学：
1．函数奇偶性的判定方法有几种？
答案：三种；定义法、图像法、等价形式法．
2．与奇偶性有关问题要善于从哪些角度思考？（数与形）
二．应用数学：
例1 已知函数是偶函数，求实数的值．
解：∵是偶函数，∴恒成立，
即恒成立，
∴恒成立，∴，即．
例2 已知函数，若，求的值．
分析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题．
解：方法一：由题意得①
　　　②
①＋②得：；
∵，∴．
方法二：　　构造函数，
则一定是奇函数，
又∵，∴ ．
因此 所以，即．
例3 定义在（－2，2）上的奇函数在整个定义域上是减函数，若f(m－1)+f(2m－1)>0，
求实数m的取值范围．
解：因为f(m－1)+f(2m－1)>0，所以f(m－1)> －f(2m－1)；
因为f(x)在(－2，2)上奇函数且为减函数，
所以f(m－1)>f(1－2m)，
所以，所以【解后反思】此类问题既要运用函数的奇偶性，又要运用函数的单调性，同时还要优先考虑函数定义域的制约作用．
例4 已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
分析：根据函数单调性的定义，可以设x1F(x1) －F(x2)= －=符号．
解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0，
因为y=f(x)在(0，+上是增函数，且f(x)<0，
所以f(－x2)又因为f(x)是奇函数，所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②
由①②得f(x2)>f(x1)>0
于是F(x1) －F(x2)= －，
所以F(x)=在(－∞，0)上是减函数．
例5 若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．
解：由题意得：
则．
三．理解数学
1．下列结论正确的是 （3） ．
偶函数的图象一定与轴相交；
奇函数的图象一定过原点；
偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；
定义在上的增函数一定是奇函数．
2．设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y=－| f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y= f（x）－f（－x）．
中必为奇函数的有____②④ ____．（要求填写正确答案的序号）．
3. 设奇函数f（x）的定义域为[－5,5] ．若当x∈[0,5]时, f（x）的图象如下图,则不等式的解是 ．
4.定义在的偶函数在上是单调递增的,若<,求的取值范围.
【课后提升】
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 0 ．
2. 定义在(－∞，+∞)上的函数满足f(－x)=f(x)且f(x)在(0，+∞)上，则不等式f(a)|a|<|b| ．
3. 定义在上的奇函数，则常数 ０ ， ０ ．
4．已知函数ax7+6x5+cx3+dx+8，且f(－5)= －15，则f(5)= 31 ．
5．函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围．
解：定义域是，，
即 ，
又 ，，
是奇函数， ，
在上是增函数 ， 即，
解之得 ，
故a的取值范围是．
6．定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且．
（1）求证；（2）求证：是偶函数．
解（1）令，则有，
（2）令，则有，
这说明是偶函数．
第1页第2课时 集合的含义及其表示（二）（教案）
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前教学】
一、复习回顾：
集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a是集合A的元素，记作________．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N*____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
【解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为， 所以 .
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x∈N|x是15的约数}；
②{x|x= ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①； ②；③ .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①；
②.
例3 用适当的方法表示下列集合：
方程x2-2x-3=0的解集；
不等式2x-3>5的解集；
方程组的解集.
解：（1）；
（2）；
（3） .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知,求集合M .
解： .
【变式】已知,求集合M.
解：M= .
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若
【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为 .
解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为，
因此a=1
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a+2x+1=0},
若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）由题意知，A中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=，符合题意；
当a0时，对应方程a+2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.
综上所述，a的取值集合为；
由（1）知，a = 0或1时， A中有且只有一个元素，符合题意；
当对应方程a+2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=，符合题意；
综上所述，a = 0或a1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；
（2）{x|x≤2且x≠0 }；
（3）；
（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 或 .
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；
(6) 方程组的解的集合为{2，4}.
2.用列举法表示下列集合：
①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;
③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;
④数字和为的两位数=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.用列举法和描述法分别表示方程ｘ２－5ｘ＋６＝０的解集.
4. 直角坐标平面内属于第四象限的点的集合.
5.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
解：分两种情况讨论：
① 1+a2+b2=2；
② 这与集合的性质矛盾，
∴ 1+a2+b2=2 .
第2页第1课时 集合的含义及其表示（一）教案
【学习目标】
1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；
2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.
【课前导学】
（一）生活中
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？
【特征】 同一类对象的汇集 .
（二）数学中
1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；
2.【数】自然数集、整数集、 ··· .
【课堂活动】
一、建构数学：
（一）集合的有关概念：
1 .集合：一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合（set) .
2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.
探讨以下问题:
{1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
3.集合中元素的特性
（1）确定性：
由“问题探究”可以归纳：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.
（2）互异性：
集合中的元素没有重复.
（3）无序性
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
4.集合的表示：
集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .
5.元素与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .
又如：2∈Z，2.5Z
二、应用数学：
例1 下列的各组对象能否构成集合：
(1)所有的好人；
(2)小于2003的数；
(3) 和2003非常接近的数；
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解.
【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.
解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.
例2 如果，求实数x的值.
【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。
解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
X= -1时，经检验，符合题意！
当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；
综上所述，= －1 .
【解后反思】
1 .思路的确定：
2 .解题的规范性：
3 .含参要讨论：
4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.
【变式】
1.如果，y可能的取值组成的集合为 .
2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是 等腰三角形 .
例3 ，若A=B，求a的值.
解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，
0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .
例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .
解：当a=0 时 ， A={}， B={0,2}；
当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0 ∴a=1 ，
此时 A=B={1} .
【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.
（二）常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
（5）实数集：全体实数的集合，记作R .
（三）有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.
三、理解数学：
1.用符号“”或“∈”填空：
1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q
0 ∈ N , 0 ∈ Z , N , ∈ R
2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是 ② .
解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.
①③④不符合集合元素的确定性特征.
3.下列命题不能构成集合的序号为 ①②③④ .
很小两实数可以构成集合；
与是同一集合
这些数组成的集合有5个数；
集合是指第二、四象限内的点集.
解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.
4.则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .
【课后提升】
1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）1，2，2，3，4，5.
解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）
2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
解：_-2,0,2__
3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含 个元素.
解：2
4.若{t},求t的值.
解：- 1 .
5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 .
解：0个或1个.
6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件
解：
【思考】
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
第2页第6课时 交集，并集（二）（教案）
【学习目标】
1．进一步深化理解交集和并集的概念，理解交集和并集的的一些性质；
2．掌握交、并集的运算．
【课前导学】
1．复习回顾：交集、并集的定义与符号：
A∩B= {x∣x∈A,且x∈B } ；
A∪B= {x|x∈A，或x∈B} ．
2．已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，
A∪B,A∪Z，B∪Z
【思考】交、并集的性质：
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A = A， A∪A = A．
（3）A∩Ф = Ф, A∪Ф = A．
（4）A∩B = B∩A ，A∪B = B∪A．
(5) A∪B=A<=> BA ；A∩B=B<=> BA ．
【课堂活动】
一、应用数学：
例1 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5}， B = {4，7，8}，
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) ．
【思路分析】借助文恩图考虑．
解：(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)=；
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)= ．
【解后反思】从上面的练习我们可以看到：
(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)
实际上对于任意的集合我们都有这样的结论——摩根定律．
例2 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？
解：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，
{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}
由，则15=11+8,则=4，
故既能用英语又能用日语的导游有4位．
【解后反思】本题是用集合的观点处理实际应用问题．
例3 (1)已知A={x|x2≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a解：（1）利用数轴可知：；
（2）利用A∪B=A BA可知，或，所以或．
【解后反思】1、不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点；
2、A∪B=A BA；A∩B=BBA．
例4 A={}，，求实数p的取值范围．
解：因为，
若，则方程无实数解，
所以， -4若，则方程有负实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数p的取值范围是p>-4.
例5 集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a-1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.
【思路分析】A∪B=A BA；A∩C=C CA．
解：由条件得：A=｛1,2｝，
当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;
当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.
∴a的值为2或3.
再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:
当C=A时, m=3;
当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.
由△=m2-8=0, 得m=±2.
但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝
不合条件CA. 故m=±2舍去.
当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,
△=m2-8<0, ∴-2二、理解数学：
1．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，求：
①(A∪B)∩P ；②∪P ；③ (A∩B)∪ ．
解：① ∵A∪B=[-4，3]，
∴ (A∪B)∩P=[-4，0]∪[，3] ．
② (-∞，-1]∪(3，+∞)，
∴ ∪P= P={x|x≤0，x≥}．
③ A∩B=(-12)， =（0，），
∴ (A∩B)∪=（-1，）．
2．设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
解：A={ x |-2∴CUB={ x | x ≤-5或x =0或x ≥5} ,
A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)= { x | x ≤-5或x ≥5}.
3．已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，
问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？
(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？
解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ．
A∩C与B∩C分别为
的解集，解之得：
（Ⅰ）的解为（0，1），（）；
（Ⅱ）的解为（1，0），（）．
(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：
解得a=0或a=1．
（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：，
解得．
答案: (1) a=0或a=1;
（2）．
【课后提升】
1．设集合，则=．
2．已知集合，则集合= ．
3．已知集合M={x|－1≤x<2}，N={x|x－a<0}，若，则a的取值范围为 [2,+∞) ．
4．设全集，Ａ＝｛1，2，3｝，Ｂ＝｛3，4，5｝，则Ｂ＝
___｛3,4,5｝_____．
5．，求．
解：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解．
或，
若，则；
若，则．
但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，
所以或或．
答案: 或或．
6．已知集合
（1）若AB，请求a的取值范围；
（2）若，请求a的取值范围；
（3）若，请求a的取值范围．
解：化简集合A={x|2因为AB，如下图
虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，
所以解得故的取值范围是．
（2）①当时，显然成立，即；
或②时，如下图
或位置均使成立．
当或时也符合题目意，事实上，，则成立．
所以， 或，解得．
或③时，,显然成立，
所以可取．
综上所述，的取值范围是．
（3）因为，如下图
集合若要符合题意，位置显然为，此时，，
所以，为所求．
答案: ⑴;
⑵;
⑶．
【思考】
答案：m=0，．
8．设集合A=, B=,
若AB=A,求实数A的值．
答案：．
A
B
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