第六章计数原理
6.2 排列与组合
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.等于( )
A.12
B.24
C.30
D.36
解析=36.
答案D
2.(2020山东济南高三月考)6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有( )
A.24种
B.36种
C.48种
D.60种
解析第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有种不同的摆放方法;
第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有种不同的摆放方法.
根据分步乘法计数原理,共有=24(种)不同的摆放方法,故选A.
答案A
3.已知=10,则n的值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析由=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.
答案B
4.将4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有
( )
A.种
B.种
C.种
D.2种
解析司机、售票员各有种安排方法,由分步乘法计数原理知共有种不同的安排方法.
答案C
5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )
A.504种
B.960种
C.1
008种
D.1
108种
解析甲、乙相邻的所有方案有=1
440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有=240(种);
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有=240(种);
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有=48(种).
故符合题设要求的不同安排方案有1
440-2×240+48=1
008(种),故选C.
答案C
6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有( )
A.(2)个
B.(2)个
C.2个
D.5个
解析能被5整除,则个位需为5或0,有2个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有个,故共有(2)个.
答案A
7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法 种.?
解析(方法一)若第一节排数学,共有=6(种)排法;
若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.
根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.
(方法二 间接法)4节课全部可能的排法有=24(种),其中体育排第一节的有=6(种),数学排最后一节的有=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有=2(种),故符合要求的排法有-2×=14(种).
答案14
8.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.
(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?
解(1)先排正、副班长,有种方案,再安排其余职务有种方案,由分步乘法计数原理,知共有=720(种)不同的分工方案.
(2)7人中任意分工,有种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3
600(种).
9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1)43
251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第96项是多少?
(3)求这个数列的各项和.
解(1)先考虑大于43
251的数,分为以下三类:
第1类,以5开头的有=24(个);
第2类,以45开头的有=6(个);
第3类,以435开头的有=2(个).
故不大于43
251的五位数有-()=88(个),即43
251是第88项.
(2)数列共有=120(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45
321.
(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)··10
000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)··(1+10+100+1
000+10
000)=15×24×11
111=3
999
960.
能力提升练
1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有
( )
A.120个
B.80个
C.40个
D.20个
解析当十位是3时,个位与百位从1,2中选,有种选法;
当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有种选法;
当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有种选法;
当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有种选法.
故伞数有=2+6+12+20=40(个).
答案C
2.(多选)(2020山东临淄英才中学高二期中)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是( )
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种
B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种
C.甲、乙不相邻的排法种数为72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
解析甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有=24(种),故A正确;
最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有=42(种),故B不正确;
甲、乙不相邻的排法种数为=72(种),故C正确;
甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有=20(种),故D正确.
故选ACD.
答案ACD
3.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有( )
A.300个
B.464个
C.600个
D.720个
解析(方法一)确定最高位有种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有=300(个).
(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有=300(个).
答案A
4.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.1
205秒
B.1
200秒
C.1
195秒
D.1
190秒
解析由题意每次闪烁共5秒,所有不同的闪烁为个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5×+(-1)×5=1
195(秒).
答案C
5.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为 .?
解析先排好5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有=24(种)坐法.
答案24
6.(2020天津高三月考)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有 种.?
解析从9节课中任意安排3节共有=504(种),
其中前5节课连排3节共有3=18(种);后4节课连排3节共有2=12(种).
故老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474(种).
答案474
7.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?
(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;
(2)2个唱歌节目互不相邻;
(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
解(1)先排唱歌节目有种排法,再排其他节目有种排法,所以共有=1
440(种)排法.
(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有种插入方法,所以共有=30
240(种)排法.
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有种排法,故所求排法共有=2
880(种)排法.
素养培优练
从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?
解先考虑组成一元二次方程的问题:
首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有种,
所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程=48(个).
方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.
分类讨论如下:
当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有个.
当c≠0时,分析根的判别式知,b只能取5,7.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有种;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2种,此时共有(+2)个.
由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有+2=18(个).(共37张PPT)
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
激趣诱思
知识点拨
经历了7月高考的洗礼,考生们就可以报考自己理想的大学了.大学录取的依据是考生所填写的高考录取志愿表和考生的考分.大学录取是按批次进行的,每个批次里考生可以选择若干个学校.假如你已经选中了第一批本科中较为满意的8个学校和5个专业,那么在填写录取志愿表时,将有多少种不同的填写方法呢?
激趣诱思
知识点拨
一、排列的相关概念
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
名师点析理解排列应注意的问题
(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.
(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何判断一个具体问题是否为排列问题?
提示:(1)首先要保证元素无重复性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题中:
①10本不同的书分给10名同学,每人一本;
②10位同学互通一次电话;
③10位同学互通一封信;
④10个没有任何三点共线的点构成的线段.
属于排列的有( )
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.
答案:B
激趣诱思
知识点拨
二、排列数与排列数公式
1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号
表示.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微思考
你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?
提示:“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示 种不同的信号.?
解析:一共可表示
=5×4×3=60(种)不同的信号.
答案:60
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
简单的排列问题
例1(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)12名选手参加校园歌手大奖赛,比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况?
思路分析:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组,要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况;
(2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.
因此不同的安排方法有
=5×4×3=60(种).
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有
=12×11×10=
1
320(种)不同的获奖情况.
反思感悟
对简单的没有限制条件的排列问题,在分清元素和位置的情况下,直接用排列数公式进行计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲
B.甲乙丙、乙丙甲
C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙
D.甲乙、甲丙、乙丙
解析:从三人中选出两人,而且要考虑这两人的顺序,所以有如下几种站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
排列数公式
例2求解下列问题:
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N
,且n<55).
思路分析:(1)用排列数公式的定义解答即可;(2)直接用排列数公式计算;(3)用排列数的公式展开得方程求解,要注意x的取值范围,并检验根是否合理.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解得x≥3,x∈N
.
根据排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)
=140x·(x-1)·(x-2).
因为x≥3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),
即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=
(因为x为整数,所以应舍去).
所以原方程的解为x=3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
应用排列数公式时应注意三个方面问题
(1)准确展开.应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
“邻”与“不邻”问题
例37人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
思路分析:若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列.至于不相邻问题,可以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插空法解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
元素相邻
通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列
元素不相邻
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1
325大的四位数?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解——用多种方法解决排列问题
典例有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特殊元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.
2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )
A.5
B.10
C.20
D.60
解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有
=20(种)不同的送书方法.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)
B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)
C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)
解析:
是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020浙江高三专题练习)某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( )
A.24种
B.144种
C.48种
D.96种
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有
种不同的种法.?
解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有
=8×7×6×5=
1
680(种).
答案:1
680
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?
(2)这些四位数中大于6
500的有多少个?
