第六章计数原理
6.2 排列与组合
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( )
A.4
B.8
C.28
D.64
解析由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建=28(条)公路.
答案C
2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有( )
A.140种
B.120种
C.35种
D.34种
解析若选1男3女有=4(种);若选2男2女有=18(种);若选3男1女有=12(种).所以共有4+18+12=34(种)不同的选法.故选D.
答案D
3.已知,则n等于( )
A.14
B.12
C.13
D.15
解析由题意,得,故7+8=n+1,解得n=14.
答案A
4.(2019北京高二期末)某校有6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中1人负责“征集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( )
A.30种
B.60种
C.120种
D.180种
解析从6人中选1人负责“征集留言”,从剩下的人中选2人负责“共绘展板”,最后剩下的3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有=60(种).故选B.
答案B
5.(2020浙江高三专题练习)安排A,B,C,D,E,F共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工A不安排照顾老人甲,义工B不安排照顾老人乙,则安排方法共有
( )
A.30种
B.40种
C.42种
D.48种
解析6名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有=90(种)安排方法,
其中A照顾老人甲的情况有=30(种),
B照顾老人乙的情况有=30(种),
A照顾老人甲,同时B照顾老人乙的情况有=12(种).
故符合题意的安排方法有90-30-30+12=42(种).
故选C.
答案C
6.若已知集合P={1,2,3,4,5,6},则集合P的子集中含有3个元素的子集数为 .?
解析由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有=20(个)子集.
答案20
7.不等式-n<5的解集为 .?
解析由-n<5,得-n<5,∴n2-3n-10<0.解得-2,∴n=2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
答案{2,3,4}
8.若对任意的x∈A,则∈A,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 .?
解析具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3,共4组.所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元素是无序的,所以所求集合的个数为=15.
答案15
9.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)
(1)图中有多少个矩形?
(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?
解(1)在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有=210(个).
(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有=210(种)走法.
能力提升练
1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有( )
A.72种
B.84种
C.120种
D.168种
解析需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有=120(种).
答案C
2.(2020黑龙江海林朝鲜族中学高二月考)若=42,则=( )
A.60
B.70
C.120
D.140
解析∵=42=×2×1,
解得n=7,
∴=140.
故选D.
答案D
3.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.33
B.34
C.35
D.36
解析①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有=12(个);
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有=18(个);
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有=3(个).
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个).故选A.
答案A
4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )
A.50种
B.60种
C.120种
D.210种
解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7).甲任选一种为,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法=120(种),故选C.
答案C
5.(多选)(2020江苏盐城大丰新丰中学高二期中)有13名医生,其中女医生6人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为N,则下列等式能成为N的算式是( )
A.
B.
C.
D.
解析13名医生,其中女医生6人,男医生7人.
(方法一 直接法)2男3女;3男2女;4男1女;5男,所以N=.
(方法二 间接法)13名医生,任取5人,减去4、5名女医生的情况,即N=.
故选BC.
答案BC
6.某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有 种.?
解析依题意,就所剩余的1本进行分类:
第1类,剩余的是1本画册,此时满足题意的赠送方法有4种;
第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有=6(种).
因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).
答案10
7.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有 种.?
解析由题意知,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取出2个小球,有种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有种放法,所以满足题意的放法有=144(种).
答案144
8.(1)计算:.
(2)求证:+2.
(1)解原式=×1==56+4
950=5
006.
(2)证明由组合数的性质可知,
右边=()+()==左边.
所以原等式成立.
素养培优练
1.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?
(1)甲得4本、乙得3本、丙得2本;
(2)一人得4本、一人得3本、一人得2本;
(3)甲、乙、丙各得3本.
解(1)分三步完成:
第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有种方法;
第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有种方法;
第3步,把剩下的书给丙,有种方法,
所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有=1
260(种)不同的分法.
(2)分两步完成:
第1步,按4本、3本、2本分成三组有种方法;
第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有=7
560(种)不同的分法.
(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有=1
680(种)不同的分法.
2.(2020吉林梅河口第五中学高二月考)按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?
(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;
(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;
(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;
(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.
解
(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243(种).
(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有=150(种).
(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有=6(种).
(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(=90(种).(共33张PPT)
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
激趣诱思
知识点拨
某校开展冬季校运会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种?
激趣诱思
知识点拨
一、组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列问题是组合的是 .?
①在天津、济南、西安三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?
②在①中有多少种不同的飞机票价?
③高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛?
④从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?
答案:②③
激趣诱思
知识点拨
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号
表示.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微思考
“组合”与“组合数”是同一概念吗?它们有什么区别?
提示:“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一组对象;组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若
=28,则n的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
答案:B
激趣诱思
知识点拨
三、组合数的性质
答案:190 161
700
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
组合概念的理解与应用
例1判断下列问题是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数.
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
思路分析:观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列问题,还是组合问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.组合的特点是只选不排,即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素.
2.只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.
3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关,与顺序有关的是排列问题,与顺序无关的是组合问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列四个问题中,属于组合问题的是( )
A.从3个不同小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3张不同的电影票分给10人中的3人,每人1张
解析:只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关,是组合问题.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
组合数公式
思路分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
常见的组合问题
例3在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
思路分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
组合问题的基本解法
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3由13个人组成的课外活动小组,其中5个人只会跳舞,5个人只会唱歌,3个人既会唱歌也会跳舞,若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由分类加法计数原理得不同选法共有25+50+300+300+600+600=1
875(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数学思想——正难则反的思想
典例平面上有9个点,排成三行三列的方阵,以其中任意3个点为顶点,共可以组成 个三角形.?
解析:正面考虑,需分类且容易出现遗漏或重复.从反面考虑9个点中有3个点共线的情况的种数,问题则较易解决.9个点中有3个点共线的情况,显然是三行、三列和两条对角线上的点,易知共8种,9个
答案:76
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
对于一些正面处理(解题方法中常称“直接法”)较复杂或不易求解的问题,常常从问题的另一面去思考(解题方法中常称“间接法”).这一解题方法在本章中是常用的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
跟踪训练从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )
A.24对
B.30对
C.48对
D.60对
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(方法一 直接法)如图,在上底面中选B1D1,四
个侧面中的面对角线都与它成60°,共8对,同样A1C1
对应的也有8对,下底面也有16对,这共有32对;左右
侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.
(方法二 间接法)正方体的12条面对角线中,任意两条垂直、平行或成角为60°,所以成角为60°的共有
-12-6=48(对).
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.4
B.5
C.6
D.7
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个.?
解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为
=5.
答案:5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?
