第五章数列
5.1 数列基础
5.1.1 数列的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.
答案A
2.(2020江西高一月考)数列,-,-,…的一个通项公式为( )
A.an=(-1)n
B.an=(-1)n
C.an=(-1)n+1
D.an=(-1)n+1
解析根据分子、分母还有正负号的变化,可知an=(-1)n+1·.
答案D
3.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)已知数列{an}的通项公式为an=9-2n,则下列各数中是{an}的项的是
( )
A.7
B.0
C.3
D.5
解析对于A,7=9-2n,解得n=1,A满足;对于B,0=9-2n,解得n=,B不满足;对于C,3=9-2n,解得n=3,C满足;对于D,5=9-2n,解得n=2,D满足.故选ACD.
答案ACD
4.已知数列-1,,-,…,(-1)n,…,则它的第5项为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析由题意知,数列的通项公式为an=(-1)n·.当n=5时,该项为(-1)5·=-.
答案D
5.(2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考)已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=( )
A.70
B.28
C.20
D.8
解析因为an=
所以a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,
所以a2·a3=20.
故选C.
答案C
6.(2020上海高二课时练习)若数列{an}的通项公式为an=(n∈N+),则这个数列中的最大项是第 项.?
解析由题意知,an=,
因为n+≥2=28,
当且仅当n=14时,n+有最小值28,
所以当n=14时,取得最大值.
答案14
7.图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an= .?
解析因为OA1=1,OA2=,OA3=,…,
OAn=,…,
所以a1=1,a2=,a3=,…,an=,….
答案
8.根据数列{an}的前几项,写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1),…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
解(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,…,可以看出它们的分母依次相差3,因而有an=.
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,再把各项的分子和分母都乘以2,即,…,因而有an=.
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=(10n-1).
能力提升练
1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题:
①任何数列都有通项公式;
②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;
③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;
④数列{an}的通项公式an是项数n的函数.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析根据数列的表示方法可知,不是任何数列都有通项公式,例如,π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.141,…,就没有通项公式,所以①错误;根据数列的表示方法可知,②正确;给出了数列的有限项,数列的通项公式形式不一定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通项公式既可以写成an=(-1)n+1,也可以写成an=(-1)n-1,③错误;根据数列通项公式的概念可知,④正确.故选B.
答案B
2.已知数列{an}的通项公式an=log(n+1)(n+2)(n∈N+),则它的前30项之积为( )
A.
B.5
C.6
D.
解析a1×a2×a3×…×a30=log23×log34×log45×…×log3132=×…×=log232=log225=5.
答案B
3.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,3]
解析an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,得k<2n+1恒成立,又n∈N+,故只需k<3即可.
答案B
4.(2020江西高三月考)已知an=(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是( )
A.a1,a30
B.a1,a9
C.a10,a9
D.a12,a11
解析∵an==1+,
∴当n<时,an<1,且单调递减,
当n>时,an>1,且单调递减,
∵11<<12,且n∈N+,
∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是a12,a11.
故选D.
答案D
5.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为 .?
解析由an=19-2n>0,得n<.
∵n∈N+,∴n≤9.
答案9
6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有 个点.?
解析观察图形可知,第n个图有n个分支,每个分支上有n-1个点(不含中心点),再加上中心1个点,则有n(n-1)+1=n2-n+1个点.
答案n2-n+1
7.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
解(1)令an=0,得n2-21n=0,
∴n=21或n=0(舍去),
∴0是数列{an}中的第21项.
令an=1,得=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,
即.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
素养培优练
(2020江苏淮阴中学高一期中)已知数列{an}中,an=2n+,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为( )
A.[12,24]
B.(12,24]
C.[3,12]
D.(3,12]
解析由题可知,an=2n+,对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
当k≤0时,可知数列{an}单调递增,不符合题意;
当k>0时,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
则
即
解得∴12≤k≤24.
此时,数列在(1,2)上递减,(3,+∞)上递增,或在(1,3)上递减,(4,+∞)上递增,故符合题意,所以实数k的取值范围为[12,24].
答案A(共44张PPT)
5.1.1 数列的概念
激趣诱思
知识点拨
李政道博士给中国科技大学少年班的学生出过一道智趣题:5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃了一个桃子,然后将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第二只猴子又爬起来,吃了一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;以后的3只猴子都采用了同样的办法.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?
激趣诱思
知识点拨
一、数列
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项.
2.数列按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
激趣诱思
知识点拨
名师点析
数列中的项与集合中的元素的对比
(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性.
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性).
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
激趣诱思
知识点拨
微思考
数列2,3,4,5,6与集合{2,3,4,5,6}有何区别?
提示:数列2,3,4,5,6是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而{2,3,4,5,6}中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法正确的是( )
A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列
B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列
D.2,1,2,1是数列
解析:A中,排列顺序不同,不是同一数列;B中,数列的项数不同,不是同一数列;C是数列.故选D.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
二、数列的通项
1.通项公式
一般地,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
2.对数列通项公式的两点说明
(1)并非所有的数列都有通项公式;
(2)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
数列的通项公式an=f(n)揭示了数列{an}的第n项an与n之间的函数关系,体现了数列的本质,即数列项与序号之间的对应关系,一旦知道了数列的通项公式,便可写出数列中的任一项,从而确定数列的取值特点.
激趣诱思
知识点拨
微练习
先填空,再写出下列各数列{an}的一个通项公式.
激趣诱思
知识点拨
三、数列与函数的关系
1.数列的本质
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.
激趣诱思
知识点拨
2.数列按函数特性分类
类别
含义
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数数列(简称为常数列)
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
激趣诱思
知识点拨
名师点析
数列是一种特殊的函数,因此,我们可以借用函数的研究方法来研究数列,但也要时刻注意两者之间的区别:一般函数的定义域为连续区间[a,b],而数列的定义域则为离散的正整数集的子集.
激趣诱思
知识点拨
微思考
是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知下列数列:
①-1,0,1,2,3,4,…,n.
②1,-1,1,-1,….
④6,6,6,6,6.
其中递增数列为 ,递减数列为 ,常数列为 ,有穷数列为 ,无穷数列为 (只填序号).?
答案:① ③ ④ ①④ ②③
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
数列的概念及分类
例1已知下列数列:
①2
015,2
016,2
017,2
018,2
019,2
020;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 (填序号).?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④
反思感悟
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动和常数列要从项的变化趋势来分析,而有穷和无穷数列则看项的个数是有限还是无限.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1给出下列数列:
(1)2013~2020年某市高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180.
(3)-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,……构成数列-2,4,-8,16,-32,….
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,常数列是 ,摆动数列是 .?
解析:(1)为有穷数列,同时(1)也是递增数列;(2)(3)是无穷数列,其中(2)为常数列,(3)为摆动数列.
答案:(1) (2)(3) (1) (2) (3)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
由数列的前几项求通项公式
例2写出数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:
(3)0.9,0.99,0.999,0.999
9;
(4)3,5,3,5.
思路分析①求数列的通项公式时,是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形?②数列的通项公式唯一吗?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)任何一个整数都可以看成一个分数,所以此数列可以看作是自然数列的倒数,正负相间用(-1)的幂进行调整,其一个通项公式为
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征等.
2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换使问题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(4)1,11,111,1
111,….
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,
24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)此数列的整数部分为1,2,3,4,…,恰好是序号n,分数部分与序号n
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
数列通项公式的应用
例3已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项;
(2)-49是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.68是不是该数列的一项呢?
思路分析(1)将n=4,n=6分别代入通项公式,求出数值即可;
(2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n,再通过n是否为正整数判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)a4=3×42-28×4=-64,
a6=3×62-28×6=-60.
(2)由3n2-28n=-49,解得n=7或n=
(舍去),
所以-49是该数列的第7项.
由3n2-28n=68解得n=-2或n=
,均不合题意,所以68不是该数列的项.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
数列通项公式的应用技巧
(1)由通项公式写出数列的指定项,主要是对n进行取值,然后代入通项公式,相当于函数中,已知函数解析式和自变量的值求函数值.
(2)判断一个数是否为某数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数得到一个方程,求该方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为该数列中的项.
(3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域为正整数集的子集这一约束条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究若本例中的条件不变,
(1)试写出该数列的第3项和第8项;
(2)20是不是该数列的一项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解:(1)因为an=3n2-28n,
所以a3=3×32-28×3=-57,a8=3×82-28×8=-32.
(2)令3n2-28n=20,解得n=10或n=-
(舍去),
所以20是该数列的第10项.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
判断数列的单调性
例4已知函数f(x)=x-
.数列{an}满足f(an)=-2n,且an>0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.
思路分析先根据已知条件解方程求an,再利用作差法或作商法判断数列{an}是递增数列还是递减数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴an+1
∴数列{an}是递减数列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
数列增减性的判定方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;
②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3若数列{an}满足an=-n2+2n+9(n∈N+),则该数列是 数列.(填“递增”“递减”或“摆动”)?
答案:递减
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
数列中的最值问题
典例已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·
,该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
思路分析探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1∴a1a11>a12>…,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解得9≤n≤10.又n∈N+,∴n=9或n=10.
∴该数列中有最大项,为第9、第10项,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
1.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.
一般常用方法为:
中的最小项.
2.数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,可利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.
3.根据数列的特殊性,由于它的定义域是N+或它的有限子集{1,2,…,n},因而它的图像是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.以下四个数中,哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( )
A.380
B.39
C.32
D.23
解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即an=n(n+1).
∵380=19×20=19×(19+1),
∴380是该数列中的第19项,或者令n(n+1)=380,得n=19,是整数,符合题意.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中,x的值是( )
A.19
B.20
C.21
D.22
解析:观察数列可得规律1+1=2,1+2=3,2+3=5,…,8+13=x=21,13+21=34,
∴x=21,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式为( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.(2020上海高二课时练习)已知数列{an}中,an=-2n2+31n+9(n∈N+),则{an}中的最大项为 .?
∴a7=128,a8=129,a7∴数列{an}中的最大项为129.
答案:129
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.分别写出下列数列的一个通项公式:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是1,2,3,4,5,正好是序号,分母是4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的一个通项
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测