人教版 数学九年级上册 学案24.1圆的有关性质

24.1
圆的有关性质
一、知识点过关
知识点1
圆的定义及其表示方法
（重点；理解）
【命题点1
圆的定义】
例1
下列说法中，错误的有
（
）
（1）经过点P的圆有无数个；
（2）以点P为圆心的圆有无数个；
（3）半径为且经过点P的圆有无数个；（4）以点P为圆心，为半径的圆有无数个．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解：①经过P点的圆有无数个，故①正确；
②以点P为圆心的圆有无数个，半径不确定，故②正确；
③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个，圆心不确定有无数个，故③正确；
④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有一个，故④错误．故选：A．
针对性训练
如图所示，BD，CE是△ABC的高．
求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
，，试求过E，B，C，D四点的圆的半径．
（1）证明：取BC的中点O，连接OD，OE．
∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴OD，OE分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴OD＝OE＝OB＝OC．
∴B、C、D、E四点在以O点为圆心，12BC为半径的圆上．
（2）解：∵∠BEC＝90°，∴BC是圆的直径，∵∠ABC＝60°，CE＝12，
∴BC＝，（运用三角函数或者30°60°90°三角形对边之比1：：2）
∴圆的半径为．
知识点2
圆的有关概念（重点；理解）
【命题点2
圆有关的概念】
例2
以下命题：
(1)半圆是弧，但弧不一定是半圆；(2)过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；(3)弦是直径；(4)直径是圆中最长的弦；(5)直径不是弦；(6)优弧大于劣弧；(7)以O为圆心可以画无数个圆.正确的个数为
（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点3
圆的对称性
（了解）
【命题点3
圆的对称性】
例3
下列图形中，对称轴条数最多的是（
）
线段
B.正方形
C.正三角形
D.圆
知识点4
垂径定理及其推论（重点、难点；理解）
【命题点4
利用垂径定理解决实际问题】
例4
AB是⊙O的直径，CD是弦，与点E，则下列结论中不一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.︵BD=︵BC
针对性训练
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知圆心为O，，则⊙O的半径为多少厘米？
解：过点O作OM⊥AD于点M，连接OF，
设OF＝x，则OM＝16?x，MF＝8，
在直角三角形OMF中，OM＋MF＝OF
即：（16?x）＋8＝x，解得：x＝10
答：⊙O的半径为10厘米．
2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E．已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=600，求CD的长．
作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE＝1cm，BE＝5cm，E在直径AB上，
∴AB＝1cm＋5cm＝6cm，半径OD＝3cm，
∵在Rt△OHE中，OE＝3cm?1cm＝2cm，∠OEH＝60°，∴OH＝cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD＝cm，
∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC＝2DH＝cm；
知识点5
弧、弦、圆心角之间的关系（重点；理解）
【命题点5
根据圆心角、弧、弦之间关系求角的度数】
例5
如图所示，AB是⊙O的直径，==，，则的度数是
（
）
A.51°
B.56°
C.68°
D.78°
针对性训练
如图所示，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，于E，于F，求证：.
分析：如图，作辅助线；证明∠DBC＝∠BAG，得到BG＝DC；证明OF是△ABG的中位线，得到BG＝2OF，即可解决问题．
证明：如图，连接AO并延长，交⊙O于点G；则∠ABG＝90°；而AC⊥BD，
∴∠DBC＝90°?∠ACB，∠BAG＝90°?∠AGB，
∵∠ACB＝∠AGB，∴∠DBC＝∠BAG，∴BG＝DC；
∵OF⊥AB，∠ABG＝90°，∴OF∥BG，AF＝BF；而OA＝OG，
∴OF是△ABG的中位线，∴BG＝2OF，∴2OF＝CD．
知识点6
圆周角的定义和圆周角定理
（重点、难点；理解）
【命题点6
应用圆周角定理求角的度数】
例6
如图所示，A、B、C是⊙O上的三点，，则=
60
度.
针对性训练
如图所示，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，，则等于
(
)
A.116°
B.32°
C.58°
D.64°
知识点7
圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）
【命题点7
圆内接四边形的应用】
例7
如图所示，在圆内接四边形ABCD中，，则
.
二、全方位技巧
类型题1
圆的定义和四边形的综合
例8
两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的A，D两点在半圆O上，B，C两点在半圆O的直径上，小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，B，E两点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上，若小正方形的边长为，则该半圆的半径为
（
）
B.
C.
D.
解：连接OF，如图∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AD，
而OD＝OA，OC＝OB＝∴OB＝OC，
设OB＝x，则OE＝x＋4，AB＝2x，
在Rt△AOB中，OA＝OB＋AB＝x＋（2x）＝5x，
在Rt△OEF中有OF＝OE＋EF＝（x＋4）＋4，
而OA＝OF，∴（x＋4）＋4＝5x，整理得x?2x?8＝0，解得＝4，＝?2（舍去），∴OA＝，即该圆的半径为．
类型题2
圆在实际问题中的应用
例9
如图示，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，已知灯塔A的周围内的水域为危险区域，有一渔船误入与灯塔A的距离为的B处，为了尽快驶离危险区域，该渔船应沿哪条射线的方向航行？说明理由.
类型题3
垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
例10
如图示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，
⊙P与轴交于O、A两点，点A的坐标为，⊙P的半径为，则点P的坐标为
.
解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD＝OA＝3，
在Rt△OPD中，∵OP＝，OD＝3，∴PD＝，∴P（3，2）．
类型题4
利用“分类讨论”解圆中的计算问题
例11
已知AB，CD为⊙O的两条平行弦，⊙O半径为，，，求弦AB，CD间的距离.
解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB＝3，CF＝CD＝4．
根据勾股定理，得OE＝4，OF＝3．
①当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OE?OF＝1（cm）；
②当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7（cm）．
则AB与CD间的距离为1cm或7cm．
类型题5
圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用
例12
如图所示，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分，若，，则CD的长为
.
解：连接OC，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，
∵∠CAB＝15°，OC＝OA，∴∠OCA＝15°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∴∠OCE＝∠ACD?∠OCA＝45°?15°＝30°，
∵AB＝2OC＝2，∴OC＝1，∴OE＝OC＝，∴CE＝
∴CD＝2CE＝．
类型题6
巧引辅助线，构造特殊三角形解题
例13
如图所示，在⊙O中，，.
求的度数.
求⊙O的周长.
解：（1）∠BAC＝∠BDC＝60°（同弧所对的圆周角相等）；
（2）∠ABC＝180°?∠BAC?∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
作OE⊥AC于点E，连接OA，则OA平分∠BAC，
∴∠OAE＝30°，∴OA＝
所以⊙O的周长＝2π×2＝4πcm．
类型题7
利用“分类讨论”解圆中的计算问题
例14
几何模型：
条件：如图所示，A，B是直线同旁的两个定点.
问题：在直线上确定一点P，使的值最小.
方法：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则的值最小.
模型应用：
正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，连接ED交AC与P，则PB+PC的最小值是
；
⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，，，P是OB上一动点，求的最小值；
AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，，MN是直径，于点E，于点F，P为EF上的任意一点，求的最小值.
三、分层实战训练
【基础巩固】
1.如下列命题中正确的有（
）
①直径是圆内最长的弦；②弦是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆是圆弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
下列命题中，正确的是（
）
过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B.过弦的中点的直线必过圆心
C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心
D.弦的垂线平分弦所对的弧
3.
如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、Ｂ和C、D．求证：AB=CD．
析：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据角平分线性质得出ON＝OM，根据勾股定理求出AM＝CN，根据垂径定理得出AB＝2AM，CD＝2CN，即可得出答案．
⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为和，两圆的连心线O1O2的长为，则弦AB的长为（
）
已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离是9，则经过P点且长度是整数的弦的条数是（
）
6.在同圆中，如果=2，那么弦AB与弦CD的关系为AB
＜
2CD.
7.已知⊙O中弦AB的长等于半径长，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数.
解：连接OA、OB，∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°．
分两种情况：
①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，
则∠C＝∠AOB＝30°，
②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠C＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°?∠C＝150°．
综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
【能力提升】
8.如图所示，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，，
B为的中点，点P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA＋PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，∴=，
∵∠AMN＝30°，∴∠A′ON＝60°，∠BON＝30°，∴∠A′OB＝90°，
在Rt△A′OB中，OB＝OA′＝1，∴A′B＝，即PA＋PB的最小值．
故选：B．
9.如图所示，等边三角形ABC的顶点都在⊙O上，P是AB上任一点（点P不与点A，B重合），连接AP，BP，CP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
（1）
度，
度；
（2）求证△ACM≌△BCP；
（3）若，，求梯形PBCM的面积.
【中考链接】
10.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且，.
（1）求的度数；
（2）过点O作于点F，延长FO交BE与点G，，，求AB的长.