人教版数学八年级上册12.3探究角平分线的性质同步练习（Word版含答案及解析）

13.3
角的平分线的性质
一、选择题
1．如图1所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（
）．
A．PD=PE
B．OD=OE
C．∠DPO=∠EPO
D．PD=OD
（1）
(2)
(3)
2．如图2所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，AB=，AD在∠BAC的平分线上，DE⊥AB于点E，则△DBE的周长为（
）．
A．2
B．1+
C．
D．无法计算
(4)
(5)
(6)
4．如图4所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是（
）．
（1）作射线OC；
（2）在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；
（3）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
A．（1）（2）（3）
B．（2）（1）（3）
C．（2）（3）（1）
D．（3）（2）（1）
二、填空题
1．（1）若OC为∠AOB的平分线，点P在OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，则PE=________，根据是________________．
（2）如图5所示，若在∠AOB内有一点P，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE=PF，则点P在_______，根据是____________．
2．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，已知BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为_______．
3．如图6所示，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，若DE=DF，只需添加一个条件，这个条件是__________．
4．如图所示，∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为________．
三、解答题
1．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，那么BE与CF相等吗？为什么？
2．如图所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，判断AM是否平分∠DAB，说明理由．
3．如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP吗？为什么？
探究应用拓展性训练
1．（与现实生活联系的应用题）如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区，到公路、铁路的交叉处B点700m．如果你是红方指挥员，请你如图所示的作图地图上标出蓝方指挥部的位置．
2．（探究题）已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．
3．如图所示，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S．若AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△CSP中，正确的是（
）．
A．①和③
B．②和③
C．①和②
C．①，②和③
、、
答案:
一、
1．D
解析：∵∠1=∠2，PD⊥OA于E，PE⊥OB于E，∴PD=PE．
又∵OP=OP，∴△OPE≌△OPD．
∴OD=OE，∠DPO=∠EPO．
故A，B，C都正确．
2．D
解析：如答图，设点P为AD上任意一点，连结PB，PC．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AB=AC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP，∴PB=PC．
故①正确．
由角的平分线的性质知②正确．
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC．
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，故③正确．
由△ABD≌△ACD知，∠B=∠C．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴∠BDE=∠CDF．故④正确．
4．C
解析：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，∴AE=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=．
提示：设法将DE+BD+EB转成线段AB．
5．C
二、1．（1）PF
角平分线上的点到角的两边的距离相同
（2）∠AOB的平分线上
到角的两边距离相等的点在角的平分线上
2．解析：如图所示，AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，DM⊥AB于点M．
∴CD=DM，
∴DM=CD=BC-BD=8-5=3．
答案：3
提示：利用角的平分线的性质．
3．AD平分∠BAC．
4．解析：∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM==20°．
又∵MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，
∴MA=MB．
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴∠AMO=∠BMO=70°，
∴△AMN≌△BMN，
∴∠ANM=∠BNM=90°，
∴∠MAB=90°-70°=20°．
答案：20°
三、1．解析：BE=CF．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．
又∵BD=DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF．
提示：由角的平分线的性质可知DE=DF，从而为证△BDE≌△CDF提供了条件．
2．解析：AM平分∠DAB．
理由：如答图13-9所示，
作MN⊥AD于点N，
∵DM平分∠CDA，
MC⊥DC于点C，MN⊥AD于点N，
∴MC=MN．
又∵M是BC的中点，∴CM=MB，
∴MN=BM，∴AM平分∠DAB．
3．解析：可以．
∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB=PC，
∴AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP．
在Rt△ABP和Rt△ACP中，
PB=PC，AP=AP，
∴Rt△ABP≌Rt△ACP，∴AB=AC．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，∠BAP=∠CAP，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，∴∠BDP=∠CDP．
探究应用拓展性训练
1．如答图所示．
解析：由题意可知，蓝方指挥部P应在∠MBN的平分线上．
又∵比例尺为1：20000，∴P离B为3．5cm．
提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
2．（1）解析：按题意画图，如答图13-11．
（2）可以得到ED=FD，AE=AF，BE=CF，BD=CD．
理由如下：∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，∴BD=DC．
∵∠1=∠2，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF．
又∵AD=AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF．
提示：正确地画出图形是解决问题的关键，另外本题主要应用角的平分线的性质及三角形全等来寻找相等的线段．
3．C
解析：如答图所示，连结AP．
∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，
∴AP平分∠BAC，∴∠1=∠2．
又∵AQ=QP，
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴PQ∥AR．
在Rt△APR和Rt△APS中，
PR=PS，AP=AP，
∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AR=AS．
而△BRP与△CSP不具备三角形全等的条件，故①②正确．
提示：本题的突破口是判断出点P在∠BAC的平分线上．
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