2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第3章 圆》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第3章
圆》单元测试卷
一．选择题
1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（　　）
A．2cm
B．4cm
C．8cm
D．16cm
2．如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（　　）
A．60°
B．55°
C．58°
D．40°
3．关于下列四种说法中，你认为正确的有（　　）
①垂直于弦的直线一定经过圆心；
②经过直径外端的直线是圆的切线；
③对角互补的四边形四个顶点共圆；
④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m
B．45m
C．40m
D．60m
5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25°
B．50°
C．65°
D．75°
6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2
B．20cm2
C．10cm2
D．5cm2
7．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，以点A为圆心，4为半径作圆，点C与⊙A的位置关系（　　）
A．点C在⊙A内
B．点C在⊙A上
C．点C在⊙A外
D．无法确定
8．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5cm，则△PMN的周长是（　　）
A．7.5cm
B．10cm
C．12.5cm
D．15cm
9．⊙O的内接多边形周长为5，⊙O的外切多边形周长为3，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
10．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　）
A．
B．
C．π
D．
二．填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为　
　．
12．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA＝1，∠APB＝60°，则△PAB的周长为　
　．
13．弧长为，半径为2的扇形的圆心角为　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，若AE＝4，BE＝6，则CD的长为　
　．
15．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，BC＝4，点D在⊙O上且平分，则∠ACD的度数为　
　．
16．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，点P在CD上，则△PGH的面积为　
　．
17．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是　
　．
18．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为　
　．
19．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为　
　．
20．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　
　度．
三．解答题
21．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，CE为⊙O的切线交AD于点E，连接AC．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．
（1）求证：△PAB是等边三角形；
（2）求AC的长．
24．如图AB＝3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．
25．如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD⊥AC，DE⊥AB于点E，交弦AC于点F，连接BD，AD，
（1）若∠ABD＝25°，求∠DAC的度数（提示：半径OD⊥AC，可根据垂径定理解题）；
（2）求证：DF＝AF．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD，AE为⊙O直径，⊙O的半径为2，连接BE．
（1）求AC的长；
（2）求证：BE＝DC．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选：B．
2．解：∵∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵CO＝BO，
∴△COB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
故选：A．
3．解：①垂直平分弦的直线经过圆心，故①不符合题意；
②经过直径外端切垂直于这条直径的直线是圆的切线，故②不符合题意；
③对角互补的四边形四个顶点共圆；故③符合题意；
④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分，故④符合题意；
故选：B．
4．解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200，
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
5．解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
6．解：连接OB，如图所示：
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4（cm），
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2
，
∴（r﹣2）2+42＝r2
解得：r＝5，
∴AC＝10（cm），EC＝AC﹣AE＝8（cm），
∴BC＝＝＝4（cm），
∵OF⊥BC，
∴CF＝BF＝BC＝2（cm），
∴OF＝＝＝（cm），
∴△OFC的面积＝CF×OF＝×2×＝5（cm2），
故选：D．
7．解：由勾股定理，得
AC＝＝＝，
∵AC＞r，
点C与⊙A外边，
故选：C．
8．解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∴△PMN的周长＝PM+PN+MC+NC＝PM+MA+PN+NB＝PA+PB＝7.5+7.5＝15（cm）．
故选：D．
9．解：圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长．
圆的内接多边形周长为5，外切多边形周长为3，所以圆周长在9与12之间．
只有只有C选项满足条件．
故选：C．
10．解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，
∴扇形AEF的面积＝＝．
故选：A．
二．填空题
11．解：作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE＝PC，
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
当⊙P与AB相切时，PF＝PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长或，
故答案为：或．
12．解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，
在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，
∴PA＝OA＝，
∴△PAB的周长＝3PA＝3．
故答案为3．
13．解：∵扇形的弧长为，半径为2，
∴＝，
解得：n＝45°．
故答案为45°．
14．解：∵Rt△ABC的内切圆分别与AC、AB、BC相切于点D、E、F，
∴AD＝AE＝4，BF＝BE＝6，CD＝CF，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴（4+CD）2+（CD+6）2＝（4+6）2，
解得：CD＝﹣12（舍）或2，
故答案为：2．
15．解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠D＝90°，
∵AC＝2，AB＝4，
∴cos∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，
又∵点D在⊙O上且平分，
∴，
∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠DCB＝∠DBC＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠DCB＝105°，
故答案为：105°．
16．解：作正八边形的外接圆O，
则∠HGD＝×360°＝90°，∠FGD＝×360°＝45°，
在正八边形ABCDEFGH中，CD∥HG，
∴S△HGP＝S△CDH，
过F作FM⊥DG于M，过E作EN⊥DG于N，
在Rt△GMF中，∠FGD＝45°，GF＝，
∴GM＝GF＝1，
同理，DN＝1，
∵MN＝EF＝，
∴GD＝1++1＝2+，
∴S△HGP＝S△HGD＝HG?GD＝．
故答案为：
+1．
17．解：如图所示：连接圆心与各切点，
在Rt△DEO和Rt△DFO中，
∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），
∴∠1＝∠2，
同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，
∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，
∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，
∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，
∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．
故答案为：72°．
18．解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝AB＝3，
即⊙O的半径是3，
故答案为：3．
19．解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
20．解：∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵＝，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，
故答案为：64．
三．解答题
21．（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH＝AB＝4，
在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH＝＝3，
∵AP＝AO＝5，
∴PH＝PA+AH＝9，
在Rt△POH中，OP＝＝3．
22．解：（1）如图1，连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∵点C为劣弧的中点，
∴OC⊥BF，
∴BF∥CE，
∴CE⊥AD；
（2）如图2，连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴＝，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝＝π，
即阴影部分的面积为：π．
23．解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PA＝PB，且∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形；
（2）∵△PAB是等边三角形；
∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，
∵BC是直径，PB是⊙O切线，
∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝＝，
∴AC＝2×＝cm．
24．解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：
25．证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE．
26．（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝25°，
∴∠DAB＝65°，∠DOA＝50°，
∵OD⊥AC，
∴∠EAF＝40°，
∴∠DAC＝65°﹣40°＝25°；
（2）证明：∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEO＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠EDO＝40°，
∵AO＝DO，
∴∠OAD＝∠ADO＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣40°＝25°，
∵∠DAC＝25°，
∴AF＝DF．
27．解：（1）如图，连接EC，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴∠AEC＝∠ABD＝45°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵AE＝4，
∴AC＝AE?sin45°＝4×＝2；
（2）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠AEB＝∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴BE：DC＝AE：AC＝4：2＝，
∴BE＝DC．