苏科版九年级上册第一章一元二次方程题型总结（提优）（无答案）

一元二次方程题型总结（提优）
【一】一元二次方程的概念
例1：下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
例2：已知关于x的方程（m+）+2（m-1）x-1=0，当m为何值时，它是一元二次方程？
练习：
1、如果方程是关于a
的一元二次方程，则x必须满足的条件是
2、将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是（）
A
3x2+1=6x
B
3x2-1=6x
C
3x2+6x=1
D
3x2-6x=1
已知是关于x的一元二次方程，则m的值是（
）
已知关于x的方程
当k为何值时，该方程是一元二次方程？并写出各项系数；
当k为何值时，该方程是一元一次方程？并求出这个方程的解。
【二】一元二次方程的解
例1：已知x=
-2是一元二次方程ax2+bx+3=0的解，求代数式8a-4b+2010的值。
例2：已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值
练习：
关于x的一元二次方程x2-a=0的一个根是2，则a的值是（
）
关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+k2-1=0的一个根是0，则k的值为（
）
关于x的一元二次方程ax（x+1）+（x+1）（x+2）+bx（x+2）=2的两根为0、2，则=
已知m是x2-x-2=0的一个实数根，求代数式的值
5、已知a、b是方程x2-4x+m=0的两个根，b、c是方程x2-8x+5m=0的两个根，则m=
【三】一元二次方程的解法
一、直接开平方法与配方法
例1：(x-1)2=(3x-4)2
例2：多项式4x2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是
练习：
1、用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方后的方程是
2、关于方程88（x-2）2=95的两根，下列判断中正确的是（
）
A
两根都小于0
B
两根都大于0
C
一根小于1，一根大于3
D
一根小于-2，另一根大于2
3、证明：代数式2x2-x+3的值不小于
4、已知(a2+b2)(a2+b2+1)=
a2+b2+1，a2+b2=
5、已知实数x、y、z满足x+y=4，，则x+2y+3z=
6、已知整数a、b、c满足不等式a2+2b2+c2+211＜ab+28b+20c，则a+b-c=
二、公式法
练习：
1、设a,b是整数，关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的一个根为，则a+b=
2、方程的解的个数是（
）
3、（例题）已知m,n不全为0，解关于x的方程：
4、解关于x的方程：x2-m（3x-2m+n）-n2=0
5、解关于x的方程：（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0
因式分解法：
例题
4（x-3）2=25（x-2）2
（x+2）2
-2（x+2）-3=0
练习：
1、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为
2、若实数满足，求x+y的值
3、（例题）设方程20022x2-2003×2001x-1=0的较大根式r，方程2001x2-2002x+1=0的较小根是s，求r-s
4、当n=1，2，3，…，2019时，关于x的一元二次方程n（n+1）x2-（2n+1）x+1=0的两根为an，bn，求的值
5、已知实数x满足（x+1）（x-2）（x+3）（x-4）+16=0，求代数式x2-x+1的值
【四】一元二次方程的判别式的应用
例1：求证：无论k为何实数，关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0总有两个不相等的实数根。
例2：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
　
　．
练习：
已知a,b,c分别是三角形的三条边，则关于x的方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（
）
当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为（
）
若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2mx+m=6有实数根，则m的取值范围为（
）
例3：已知实数x,y满足关系式x2+xy+y2=3,则（x-y）2的最大值为（
）
若a,b,c为正数，已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根，则方程（a+1）x2+（b+2）x+c+1=0的根的情况是（
）
已知x,y,z是不为0的正实数，且x+y+z=m，x2+y2+z2=m2（其中m＞0），求证：0＜x≤m，0＜y≤m，0＜z≤m。
【五】一元二次方程的根与系数的关系
例1：已知关于x的方程2x2-mx-2m+1=0的两实数根的平方和等于，求m的值
练习：
已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2019的值是（
）
关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则这两个实数根的平方差为（
）
已知关于x的方程
求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
若这个方程的两个x1，x2满足，求m的值及相应的x1，x2。
例2：设m是不小于-1的实根，它使得关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2。
若x12+x22=6，求m的值
求的最大值
练习：
1、若方程x2+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足x12+x13=4
-（x22+x23），则实数p的所有可能的值之和为（
）
2、设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根，c,d为方程x2-10ax-11b=0的根，求a+b+c+d
【六】一元二次方程的根与系数的关系应用
例1：若关于x的一元二次方程3x2+3（a+b）x+4ab=0的两根x1，x2满足关系式x1（x1+1）+x2（x2+1）=（x1+1）（x2+1），是判断（a+b）2≤4是否正确，若正确，加以证明；若不正确，请举一反例。
练习：
1、若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是（
）
2、已知a,b,c为实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以、为两个实根的是（
）
3、已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好分别比方程x2+ax+b=0的两个根大1，求a+b+c
例2：实数s,t分别满足19s2+99s+1=0，t2+99t+19=0，并且st≠1，求
练习：
1、已知实数x,y满足关系式xy-x-y=1，则x2+y2的最小值为（
）
2、已知实数x,y满足x+y=3，，求xy
【七】一元二次方程的实际应用
1、某商店购进600个旅游纪念品。进价为每个6元。第一周以每个10元的价格售出200个。第二周若按每个10元的价格销售，仍可售出200个。但商店为了适当增加销量，嗯，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元。可多售出50个。但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后。商店对剩余旅游纪念品清仓处理。以每个4元的价格全部售出。如果这批纪念品共获利1250元。那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
2、在文化宜昌全民阅读活动中，某中学社团对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查。
2012年全校有1000名学生。2013年全校学生人数比2012年增加10%。2014年全校学生人数比2013年增加100人。
求2014年全校学生人数。
2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本。（注：阅读总量=人均阅读量×人数）
①求2012年全校学生人均阅读量。
②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍。如果2013年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%。求a的值。
3、如图。在等腰梯形ABCD中，AB=CD=5，AD=4，BC=10。点E在下底边BC上。点F在腰AB上。
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，嗯嗯。设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由。
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:2的两部分？若存在，求出此时BE的长。若不存在，请说明理由。
【综合练习】
1、若关于x的方程没有实根，那么必有实根的方程是
（
）
A.
B.
C.
D.
2、若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a、b、c之间的关系是（
）
A.
B.
C.
D.
3、若是关于x的方程的一个根，则a的值为___________.
4、已知，那么的值为_____________.
5、满足的整数n有_________个
6、设整数a使得关于x的一元二次方程的两个根都是整数，则a的值是__________.
7、设a、b是整数，方程的一根是，求a+b的值
解方程：
求方程的实数根的和与积
10、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款,现有小王购买铅笔,如果给初三年级学生每人买1支,只能按零售价付款,需用（m?-1）元,（m为正整数,且m?-1＞100）如果多买60支,则可按批发价付款,同样需用（m?-1）元
（1）设初三年级共有x名学生,则x的取值范围是多少?铅笔的零售价每支多少元?批发价每支应为多少元?（用含x、m的代数式表示）
（2）若按批发价每购15支与按零售价每购15支少一元,试求初三年级共有多少学生?并确定m的值
11、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程的量根，当这样的三角形只有一个时，求实数a的取值范围
12、已知3个不同的实数a、b、c满足a-b+c=3，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根.求a、b、c的值.
13、已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．