人教版数学九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系讲义（含答案）

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与圆有关的位置关系进阶篇
)
题型一：切线的性质定理
【例1】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）当BD＝3时，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DB为直径，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
即，
∴DE＝；
（2）证法一：连接OE，
∵EF为半圆O的切线，
∴∠DEO+∠DEF＝90°，
∴∠AEF＝∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A＝∠EDB，
又∵∠EDO＝∠DEO，
∴∠AEF＝∠A，
∴△FAE是等腰三角形；
证法二：连接OE
∵EF为切线，
∴∠AEF+∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，
∴∠AEF＝∠A，
∴△FAE是等腰三角形．
题型二：切线的判定定理
【例2】
如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，
∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴BD＝DF，
∴⊙D与AC相切；
（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB＝＝4，
∵AC，BC，是圆的切线，
∴BC＝CF＝3，
∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
∴AE＝4﹣3＝1．
【例3】
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB＝∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO＝∠PBO．（2分）
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PBO＝90°，
∴OB⊥PB．（4分）
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线，（5分）
说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB．
（2）解：连接OP，交AB于点D，
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，
∴∠PDA＝90°．
又∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝∠PDA，
又∵∠APO＝∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴，
∴AP2＝PO?DP．
又∵OD＝BC＝，
∴PO（PO﹣OD）＝AP2，即PO（PO﹣）＝AP2，即：PO2﹣PO＝，
解得PO＝2，
在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1．
说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．
【例4】
如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，于点D，AD⊥BC过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG＝BF，且⊙O的半径长为，求BD和FG的长度．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE．
∵△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴．
∴．
∵G是AD的中点，
∴DG＝AG．
∴BF＝EF．
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
在Rt△BAE中，由（1），知F是斜边BE的中点，
∴AF＝FB＝EF．
∴∠FBA＝∠FAB．
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°．
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线．
（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA＝∠BAF，
∴BF＝AF．
由已知，有BF＝FG，
∴AF＝FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH＝GH．
∵DG＝AG，
∴DG＝2HG．
即．
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD＝90°，
∴四边形BDHF是矩形，BD＝FH．
∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG，
∴．
即．
∵⊙O的半径长为3，
∴BC＝6．
∴．
解得BD＝2．
∴BD＝FH＝2．
∵，
∴CF＝3FG．
在Rt△FBC中，
∵CF＝3FG，BF＝FG，
∴CF2＝BF2+BC2∴（3FG）2＝FG2+（6）2
解得FG＝3（负值舍去）
∴FG＝3．
题型三：切线长定理
切线长和切线长定理：
⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
圆中的其他相关定理
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。
2．
弦切角定理
⑴定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
⑵弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则∠PAB＝∠ACB。
3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
4．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图，PT是⊙O的切线，T是切点，PAB、PCD是割线，则PT2＝PA·PB，PA·PB＝PC·PD。
测试题
1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA＝30°，则OB长为（　　）
A．1
B．2
C．
D．2
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB＝90°．
∵OA＝1，∴OB＝．故选：B．
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠APB＝50°，C是⊙O上一点，则∠ACB的度数为（　　）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠AOB＝360°﹣（90°+90°+50°）＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝65°．故选：D．
3．如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，C是线段AP（不包括端点）上一动点，若C由A向P运动，过C引CD与⊙O切于点E，与PB交于点D，则△PCD的周长（　　）
A．变大
B．变小
C．先变大再变小
D．不变
【解答】解：根据切线长定理得：PA＝PB，AC＝EC，BD＝ED，则△PCD的周长＝2PA，即△PCD的周长不变．
故选：D．
4．直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则此三角形周长为　24　．
【解答】解：⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝2，
∴四边形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝2，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，
∴AB＝10＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝10+2+2+10＝24，故答案为：24．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
【解答】解：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝25°，
∴∠DOC＝2∠A＝50°，
∵过点D作⊙O的切线，切点为C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝40°．
故选：A．
6．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，∠AOB＝60°，BC＝4cm，求切线AB的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠BAO＝30°，
∵OA⊥BC，BC＝4，∴BD＝2，
∴AB＝2BD＝4（cm）．
7．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD+BC＝AB，以AB为直径作⊙O．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD于点E，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，
∴AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥OE∥BC，
∵OA＝OB，∴OE是梯形ABCD的中位线，∴OE＝（AD+BC），
∵AD+BC＝AB，∴OE＝AB，
∵以AB为直径作⊙O．∴直线CD是⊙O的切线．
（2）设圆心为O′．过点O′作O′F⊥AB于点F，过点O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位线，
∴O′M＝（AD+BC）＝AB＝DM，
∴∠O′DM＝∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′＝∠DO′M＝∠O′DM，
在△AO′D和△MO′F中，
，
∴△AO′D≌△MO′F（AAS），
∴O′F＝O′A＝AB，
即AB与⊙O′相切．
8．AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，BC是⊙O的切线，AB交过C点的直径于点D，OA⊥CD，试判断△BCD的形状．
【解答】解：连结OB，如图，∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，∴∠OBD+∠DBC＝90°，
∵OA⊥OD，∴∠A+∠ODA＝90°，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBD，∴∠DBC＝∠ODA，
而∠ODA＝∠BDC，
∴∠DBC＝∠BDC，∴△BCD为等腰三角形．
9．如图，AB为⊙O的直径，AE⊥CE于点E，BC的延长线与AE的延长线相交于点F．若CE为⊙O的切线，AF＝BF，求∠A的度数．
【解答】解：如图，连接OC，则OC是半径，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE．
又∵AE⊥CE，
∴AF∥OC，
∴∠BOC＝∠A．
又∵AF＝BF，
∴∠A＝∠B，
∴∠BOC＝∠B，
∴OC＝BC，
∵OC＝OB，
∴OC＝OB＝BC，即△OBC为等边三角形，则∠A＝∠BOC＝60°．
10．如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝60°，∠C＝30°．
（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，请说明理由；
（2）若CD＝3，求BC的长．
【解答】解：（1）CD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，∵∠ADE＝∠A+∠C，∠C＝30°，∠ADE＝60°，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
又∵∠ADE＝60°，
∴∠ODE＝∠ODA+∠ADE＝90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC＝90°，∠C＝30°，CD＝3，
∵tanC＝，
∴OD＝CD?tanC＝3×＝，
∴OC＝2OD＝2，
∵OB＝OD＝
∴BC＝OC﹣OB＝．
11．如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．
（1）求证：⊙D与AC相切；
（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．
【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，
∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴BD＝DF，
∴⊙D与AC相切；
（2）解：设圆的半径为x，
∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴AB＝＝4，
∵AC，BC，是圆的切线，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，
∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝，
∴AE＝4﹣3＝1．
12．在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O．
（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）；
（2）当m取何值时，CD与⊙O相切．
【解答】解：（1）分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别为点E，点F，
∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴AE＝OF．
∵在Rt△ADE中，∠D＝60°，sin∠D＝，
∴sin60°＝．∴．∴AE＝m．∴OF＝AE＝m．
∴圆心到CD的距离OF为m．
（2）∵OF＝m，AB为⊙O的直径，且AB＝10，
∴当OF＝5时，CD与⊙O相切于F点，
即m＝5，m＝，
∴当m＝时，CD与⊙O相切．
13．如图，由正方形ABCD的顶点A引一直线分别交BD、CD及BC的延长线于E、F、G，⊙O是△CGF的外接圆，求证：CE和⊙O相切．
【解答】证明：∵⊙O是△CGF的外接圆，O是FG的中点，∠FCG＝90°，
∴OC＝OG，∠OCG＝∠G；
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE，
又∵∠G＝∠DAE，
∴∠OCG＝∠DCE；
∵∠FCO+∠OCG＝90°，
∴∠FCO+∠DCE＝90°，
即∠ECO＝90°，
∴CE和⊙O相切．
14．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝2，BD＝，则BH的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．1
【解答】解：连接OD，
∵⊙O的直径AB，且AB⊥CD，
∴DH＝CD＝×2＝，
∵BD＝，
在Rt△BDH中，BH＝＝1，
故选：D．
15．如图⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为1，则CD的长为（　　）
A．
B．2
C．
D．1
【解答】解：连接OC，BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，
∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，
∴CD＝OC?tan∠COD＝1×＝．故选：A．
16．已知：如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8，AE＝2．求EC的长．
【解答】解：连接BE，则BE⊥AC．
∴BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．
设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．
∵∠EFB＝∠CEB，∠EBF＝∠CBE，
∴△BEF∽△BCE，
∴，
∴BE2＝BF?BC．
即60＝5x?6x，
∵FC＝x＞0，
∴x＝，
∴BC＝6．
∵EC2＝BC2﹣BE2＝12，
∴EC＝2．
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