2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章 图形的相似》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第6章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．已知线段a＝10cm，b＝25cm，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C
B．∠AED＝∠B
C．＝
D．＝
3．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　）
A．200（﹣1）
B．100（﹣1）
C．100（3﹣）
D．50（﹣1）
5．如图，AB∥CD∥EF，若BF＝3DF，则的值是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
6．下列各选项中的两个图形不一定相似的是（　　）
A．两个斜边不等的等腰直角三角形
B．两个边长不等的菱形
C．两个边长不等的等边三角形
D．两个边长不等的正方形
7．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（　　）
A．45cm，85cm
B．60cm，100cm
C．75cm，115cm
D．85cm，125cm
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝3，则点F到BC的距离为（　　）
A．3
B．2
C．
D．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，1），B（﹣1，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．（﹣4，2）
B．（﹣2，4）
C．（﹣4，2）或（﹣2，4）
D．（﹣2，4）或（2，﹣4）
10．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（　　）
A．
B．
C．1
D．2
二．填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE是位似图形．若A（0，3）、B（﹣2，
0）、C（1，0）、E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心是点M，则M点的坐标为　
　．
12．如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和　
　的比例中项．
13．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是　
　．
14．两个相似三角形的对应边的比为3：2，则这两个相似三角形周长的比为　
　，面积的比为　
　．
15．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，那么线段a和线段c的比例中项b＝　
　厘米．
16．若＝，则的值为　
　．
17．如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知AC与BC的比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　
　cm．
18．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是　
　．
19．已知△ABC，P是边AB上的一点，连接CP，请你添加一个条件，使△ACP∽△ABC，这个条件可以是　
　．（写出一个即可）
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F．那么FD：BF的值为　
　．
三．解答题
21．已知a：b：c＝3：2：1，且2a﹣3b+c＝10，求a+2b﹣3c的值．
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，
（1）画出△ABC向上平移6个单位，再向右平移5个单位后的△A1B1C1；
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；
（3）直接写出△CC1C2的面积，及A1，A2的坐标．
23．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，AB＝15，AE：EC＝3：2，求DB的长．
25．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE．在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．
26．如图，在（11×10）网格中，每个小正方形的边长都是1，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，例如：△ABC是格点三角形．
（1）请以点F为顶点作△DEF使△ABC∽△DEF且＝；
（2）分别计算S△ABC和S△DEF，并说明与有何关系．
27．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过A作AQ∥PC交PD于点Q．
（1）证明：PC＝2AQ；
（2）已知AD2＝PD?DE，AB＝10，AD＝12，求BF的长；
（3）当点F为BC的中点时，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵a＝10cm，b＝25cm，
∴＝＝．
故选：C．
2．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB；
当∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB；
当＝时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
3．解：A、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故A符合题意；
B、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故B不符合题意；
C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故D不符合题意．
故选：A．
4．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB，
而AB＝200，
∴AC＝×200＝100（﹣1）．
故选：B．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
故选：B．
6．解：A、两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
B、两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，符合题意；
C、两个边长不等的等边三角形一定相似，不符合题意；
D、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意，
故选：B．
7．解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．
故选：C．
8．解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD：AB＝AG：AC，
∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC，
∴∠ADG＝∠B，
∴DG∥BC，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG，
∴FH⊥BC，AN⊥DG，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BM＝BC＝6，
∴AM＝＝＝8，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN＝2，
∴MN＝AM﹣AN＝6，
∴FH＝MN﹣GF＝6﹣3＝3，
故选：A．
9．解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，将△OAB放大为△OA′B′，点B（﹣1，2），
∴B′点的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4）．
故选：D．
10．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD?CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1?（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
二．填空题
11．解：过点D作DH⊥OE于点H，
由题意可得：BC＝3，OE＝6，△ABC∽△DOE，
则位似比为：3：6＝1：2，
故OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6，
则D点的坐标为：（4，6），
由MO：MH＝1：2，
MH＝MO+4，
故MO：（MO+4）＝1：2，
解得：MO＝4，
则M点坐标为：（﹣4，0）．
故答案为：（﹣4，0）．
12．解：∵∠C＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
∴AC是AD和AB的比例中项，
故答案为：AB．
13．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
14．解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，
∴它们对应周长的比为3：2；
对应面积的比是（3：2）2＝9：4．
故答案为：3：2；9：4．
15．解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得：b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4（厘米）．
故答案为：4．
16．解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故答案为：．
17．解：如图，AM、BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN，
∵AM∥BN，
∴△ACM∽△BCN，
∴＝，
∵AC与BC之比为6：1，
∴＝＝6，即AM＝6BN，
∴当BN≥10cm时，AM≥60cm，
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60cm．
故答案为：60．
18．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵PM⊥AC，
∴∠AEP＝∠AEM＝90°，
在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，
∴PE＝EM＝PM，
同理，FP＝FN＝NP，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF＝OE，
在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE＝PE，
∴PE+PF＝OA，
又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，
∴PM+PN＝AC，
故②正确；
③∵四边形PEOF是矩形，
∴PE＝OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，
∴PE2+PF2＝PO2，
故③正确；
④∵△APE≌△AME，
∴AP＝AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，
∴△POF与△BNF不一定相似，
故④错误；
⑤∵△APE≌△AME，
∴ME＝PE，
∴AE是MP是中垂线，
∴MO＝OP，
又∵OE⊥MP，
∴∠MOE＝∠POE，
同理可证∠POF＝∠NOF，
∵∠POE+∠POF＝∠EOF＝90°，
∴∠MOE+∠POE+∠POF+∠NOF＝180°，
∴点M，点O，点N三点共线，
故⑤正确，
故答案为①②③⑤．
19．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝时，△ACP∽△ABC，
故答案为：∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB或＝．
20．解：∵点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，
∴BE＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
∴△EBF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为．
三．解答题
21．解：设a＝3k，b＝2k，c＝k，
∵2a﹣3b+c＝10，
∴6k﹣6k+k＝10，
∴k＝10，
∴a＝30，b＝20，c＝10，
∴a+2b﹣3c＝30+40﹣30＝40．
22．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）△CC1C2的面积＝×3×6＝9；
A1的坐标为（7，9）；A2的坐标为（3，5）．
23．解：∵四边形AEFD是正方形，
∴AE＝AD＝2，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AD＝AB，
即2＝AB，
解得：AB＝+1，
∴BE＝AB﹣AE＝+1﹣2＝﹣1．
24．解：∵DE∥BC，
∴，
又∵AE：EC＝3：2，
∴，
∴，
又∵AB＝15，
∴，
解得：BD＝6．
25．解：存在，如图，点F即为所求．
理由：∵OA＝OC，OF⊥AC，
∴FA＝FC，
∴∠AFO＝∠CFO，
∵∠BAD＝∠AOF＝90°，
∴∠EAO+∠FAO＝90°，∠FAO+∠AFO＝90°，
∴∠EAO＝∠AFO＝∠CFO，
∵AE＝EB，AO＝OC，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠B＝90°，
∴∠AEO＝∠FOC＝90°，
∴△CFO∽△CAE．
26．解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）S△ABC＝×3×1＝，S△DEF＝×6×2＝6，AB＝，DE＝2，
∴＝（）2，
27．证明：（1）∵AQ∥PC，
∴∠AQE＝∠CPD，
由题意知，AE∥CD，，
∴∠AEQ＝∠CDP，
∴ΔAEQ∽ΔCDP，
∴，
∴PC＝2AQ；
（2）∵AD2＝PD?DE，
即，
∵∠ADP＝∠EDA，
∴ΔADP∽ΔEDA，
∴∠DAP＝∠DEA，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠AFB，
∴∠DEA＝∠AFB，
在矩形ABCD中，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴ΔDAE∽ΔABF，
∴，即，
∴；
（3）如图，延长DE交CB的延长线于点G，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠BGE，
∵∠AED＝∠BEG，
∴ΔADE≌ΔBGE（AAS），
∴AD＝BG，
又AD＝BC，
∴GC＝BG+BC＝2AD，
又点F为BC的中点，
∴BC＝2BF，
∴AD＝2BF，BG＝2BF，
∴GF＝BG+BF＝3BF，
∴，
由题意知，AD∥GC，
∴ΔAPD∽ΔFPG，
∴．