2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第7章 锐角三角函数》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第7章
锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．如果∠A为锐角，sinA＝，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（　　）
A．sinA+cosA＜1
B．sinA+cosA＝1
C．sinA+cosA＞1
D．sinA+cosA≥1
3．当锐角A的cosA＞时，∠A的值为（　　）
A．小于45°
B．小于30°
C．大于45°
D．大于30°
4．计算2cos30°的结果等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（　　）
A．AC
B．2ndF
C．MODE
D．DMS
6．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（　　）
A．10tan36°
B．10cos36°
C．10sin36°
D．
7．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（　　）
A．扩大100倍
B．缩小
C．不变
D．不能确定
8．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
9．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（　　）
A．20米
B．10米
C．10米
D．20米
10．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29
B．4.71
C．4
D．5.33
二．填空题
11．请从以下两个小题中任选一题作答，若多选，则按第一题计分．
A．运用科学计算器计算：3＝　
　．（精确到0.01）
B．一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是　
　．
12．计算：sin30°﹣cos260°＝　
　．
13．直角三角形ABC中，若tanA＝，则sinA＝　
　．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则sinA＝　
　．
15．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，则码头A与小岛C的距离为　
　海里（结果保留根号）．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为　
　．
17．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为　
　．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
18．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为　
　．
19．比较sin53°　
　tan37°的大小．
20．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　
　cm2．
三．解答题
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tanB＝．求sinA的值．
23．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ＝；②cos2θ+sin2θ＝1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ＝，求值：
（1）tanθ+；
（2）||．
24．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB．
25．（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30°?cos30°与sin60°；
2sin22.5°?cos22.5°与sin45°．
（2）用一句话概括上面的关系．
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．
26．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．
参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．
27．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，求DC的长（结果保留根号）．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵sin30°＝，0＜＜，
∴0°＜∠A＜30°．
故选：A．
2．解：∵sinA＝，cosA＝，
∴sinA+cosA＝，
∵a+b＞c，
∴sinA+cosA＞1．
故选：C．
3．解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．
故选：A．
4．解：2cos30°＝2×＝．
故选：D．
5．解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故选：D．
6．解：在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB?sinB＝10sin36°，
故选：C．
7．解：锐角A的三角函数值随着∠A角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此sinA的值不会随着边长的扩大而变化，
故选：C．
8．解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：
则OD＝2，CD＝1，
在Rt△OCD中，tanα＝＝．
故选：B．
9．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝20米，
∴BC＝BD?sin60°＝10（米），
故选：C．
10．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
二．填空题
11．解：（1）原式≈3×2.64×0.9607≈7.61；
（2）由于正多边形的一个外角为45°，
∴正多边形的边数为：＝8；
故答案为：（1）7.61；（2）8；
12．解：sin30°﹣cos260°＝﹣（）2
＝﹣
＝．
故答案为：．
13．解：如图所示：
∵tanA＝＝，
∴设BC＝3x，则AC＝4x，
∴AB＝5x，
则sinA＝＝＝．
故答案为：．
14．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
则sinA＝＝＝，
故答案为：．
15．解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，
由题意，得∠DCB＝45°，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，AB＝10海里，
设CD＝x海里，
在Rt△DCB中，tan∠DCB＝，tan45°＝＝1，
∴BD＝x，
则AD＝AB+BD＝10+x，
由tan30°＝，
解得x＝5+5，
∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，
∴AC＝2CD＝（10+10）海里．
故答案为：（10+10）．
16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴cosA＝＝＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝＝8．
故答案为：8．
17．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan30°＝，
即＝，
∴AE＝30，
∵AB＝57，
∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝57﹣30．
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°．
∴DF＝CF＝57﹣30，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．
答：教学楼BC高约（30﹣27）米．
故答案为：（30﹣27）米．
18．解：如图作PH⊥x轴于H．
∵P（6，8），
∴OH＝6，PH＝8，
∴OP＝＝10，
∴cosα＝＝＝．
故答案为：．
19．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，
∴sin53°＞tan37°．
故答案为＞
20．解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
交PQ于点G，如图，设矩形PQMN，
∵tanB＝tanC＝，
∴∠B＝∠C，
∴EB＝EC，
∵BC＝108cm，且EH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝54cm，
∵tanB＝＝，
∴EH＝BH＝×54＝72cm，
∴EG＝EH﹣GH＝72﹣QM，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴PQ＝（72﹣QM），
设QM＝x，
则S矩形PQMN＝PQ?QM＝x（72﹣x）＝﹣（x﹣36）2+1944，
∴当x＝36时，S矩形PQMN最大值为1944，
所以当QM＝36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
故答案为：1944．
三．解答题
21．解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
22．解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，BC＝4，
∴tanB＝＝，
∴AC＝3，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB＝5，
∴sinA＝＝．
23．解（1）∵cosθ+sinθ＝，
∴（cosθ+sinθ）2＝（）2，
cos2θ+2cosθ?sinθ+sin2θ＝，
cosθ?sinθ＝，
∴tanθ+＝+＝＝＝4；
（2）∵（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2cosθ?sinθ+sin2θ＝1﹣2×＝，
∴cosθ﹣sinθ＝±，
∴|cosθ﹣sinθ|＝．
24．解：∵tanA＝，
∴∠A＝60°．
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°．
∴cosB＝．
25．解：（1）∵2sin30°?cos30°＝2××＝，sin60°＝．
2sin22.5°?cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，
∴2sin30°?cos30°＝sin60°，2sin22.5°?cos22.5＝sin45°；
（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）2sin15°?cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；
故结论成立；
（4）2sinα?cosα＝sin2α．
26．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．
∵∠FDC＝30°，DF＝30，
∴，，
∵∠FCH＝45°，
∴CH＝FH＝15，
∴，
∵CE：CD＝1：3，
∴，
∵AB＝BC＝DE，
∴；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，
∵∠ACG＝45°，
∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．
27．解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示：
∵i＝5：12，
∴＝，
∵AB＝26米，
∴BM＝10米，AM＝24米，
∴DF＝BM＝10米，
设EF为x米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
即＝，
解得：x＝2+2，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+DF＝6+2+10＝16+2（米），
答：DC的长度为（16+2）米．