人教版九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 培优训练（word含答案）

人教版
九年级数学
24.1
圆的有关性质
培优训练
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于(　　)
A.
50°
　　
B.
80°
　　
C.
90°
　　
D.
100°
2.
如图，已知直径MN⊥弦AB，垂足为C，有下列结论：①AC＝BC；②＝；③＝；④AM＝BM.其中正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3.
2019·葫芦岛
如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为(　　)
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
4.
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是(　　)
A．∠COE＝∠DOE
B．CE＝DE
C．OE＝BE
D.＝
5.
如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于(　　)
A.
64°
B.
58°
C.
72°
D.
55°
　　　　
6.
如图所示，M是⊙O上的任意一点，则下列结论中正确的有(　　)
①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的半径只有一条；③以M为端点的直径只有一条；④以M为端点的弧只有一条．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7.
如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2
，则a的值是(　　)
A．2
B．2＋
C．2
D．2＋
8.
如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB的关系是(　　)
A．DI＝DB
B．DI＞DB
C．DI＜DB
D．不确定
二、填空题（本大题共8道小题）
9.
如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A＝________°.
10.
如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.
11.
如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝2，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
12.
2018·曲靖
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.
13.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________°.
14.
如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝________°.
15.
如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P的坐标为________．
16.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在上，连接AE，CE，BE.
(1)求证：EC平分∠AEB；
(2)连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．
18.
如图，AB，CD为⊙O的两条直径，M，N分别为OA，OB的中点．
(1)求证：四边形CMDN为平行四边形；
(2)四边形CMDN能是菱形吗？若能，请你直接写出需要添加的条件．
19.
如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
20.
如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.
(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据
α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；
(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
　　　　　　　
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九年级数学
24.1
圆的有关性质
培优训练-答案
一、选择题（本大题共8道小题）
1.
【答案】D　【解析】同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，即∠ABC＝∠AOC，∴∠AOC＝2∠ABC＝100°.
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】C　
5.
【答案】B　【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝(180°－∠AOC)＝×(180°－64°)＝58°.
6.
【答案】B　[解析]
从圆上任意选一点，与点M连接，可以得到圆的一条弦，因此以M为端点的弦有无数条，以M为端点的半径为OM，以M为端点的直径只有一条，以M为端点的弧有无数条．故②③正确．
7.
【答案】B　[解析]
如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋.故选B.
8.
【答案】A　[解析]
连接BI，如图．
∵△ABC的内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2.
∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI＝∠3＋∠5，
∴∠4＝∠DBI，∴DI＝DB.
故选A.
二、填空题（本大题共8道小题）
9.
【答案】50　[解析]
连接OA，则OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠B，∠OAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝∠B＋∠C＝20°＋30°＝50°.
10.
【答案】215　[解析]
连接CE，则∠B＋∠AEC＝180°，∠DEC＝∠CAD＝35°，∴∠B＋∠AED＝(∠B＋∠AEC)＋∠DEC＝180°＋35°＝215°.
11.
【答案】　[解析]
如图，连接OD，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝AB＝.∵CD⊥OC，∴CD＝.∵OD为⊙O的半径，∴当OC最小时，CD最大．当点C运动到点H时，OC最小，此时CD＝BH＝，即CD的最大值为.
12.
【答案】n
13.
【答案】70　[解析]
如图，连接AC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵C为弧BD的中点，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∴∠ABC＝70°.
14.
【答案】65　[解析]
∵∠C＝25°，∴∠A＝∠C＝25°.
∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，∴∠AED＝90°，
∴∠D＝90°－25°＝65°.
15.
【答案】(－4，－7)　[解析]
过点P作PH⊥MN于点H，连接PM，则MH＝MN＝3，OH＝OM＋MH＝7.由勾股定理，得PH＝4，∴圆心P的坐标为(－4，－7)．
16.
【答案】3或　[解析]
如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.
∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，
∴BC2＋PB2＝PC2，
∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，
即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.
∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.
又∵PB＝AC＝4，
∴四边形ACBP为平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，∴?ACBP为矩形，
∴PA＝BC＝3.
在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，
∴P′A＝＝.
综上所述，PA的长为3或.
三、解答题（本大题共4道小题）
17.
【答案】
解：(1)证明：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，
∴＝，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴EC平分∠AEB.
(2)∵CD⊥AB，
∴BG＝AG＝AB＝3，∠BGC＝90°.
在Rt△BGC中，
∵CG＝4，BG＝3，
∴BC＝5.
∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC＝5.
18.
【答案】
解：(1)证明：∵M，N分别为OA，OB的中点，
∴OM＝OA，ON＝OB.
又∵OA＝OB，∴OM＝ON.
又∵OC＝OD，
∴四边形CMDN为平行四边形．
(2)四边形CMDN能是菱形．
需要添加条件：CD⊥AB.
19.
【答案】
解：(1)证明：∵C为的中点，
∴＝.
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF.
在△BFG和△CDG中，
∴△BFG≌△CDG(AAS)．
(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O的半径为r.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，
即BD2＝(2r)2－22.
在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，
即EF2＝r2－(r－2)2.
由(1)知＝＝，
∴＝，∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，
即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，
解得r＝1(不合题意，舍去)或r＝3，
∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，
∴BF＝2
.
解法二：如图②，连接OC，交BD于点H.
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH.
∵OA＝OB，
∴OH＝AD＝1.
∵∠COE＝∠BOH，∠OEC＝∠OHB＝90°，OC＝OB，
∴△COE≌△BOH(AAS)，
∴OE＝OH＝1，
∴OC＝OB＝OE＋BE＝3.
∵CF⊥AB，
∴CE＝EF＝＝＝2
，
∴BF＝＝＝2
.
20.
【答案】
【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．
①
(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α
证明：如解图①，连接BG，
∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，
∴α＋∠BGA＝90°，(1分)
又∵四边形ACBG内接于⊙O，
∴β＋∠BGA＝180°，
∴β－α＝90°，
即β＝90°＋α；(3分)
②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EAG＋∠EBA＝γ，
∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，
∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，
∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)
∴2(180°－β
)＋α＝γ，
由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)
(2)如解图②，连接BG，
②
∵γ＝135°，γ＝180°－α，
∴α＝45°，β＝135°，
∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)
∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，
又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，
∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)
∵CD＝3，∴CE＝3，AC＝，∴AE＝4，(10分)
∵∠BEA＝90°，
∴由勾股定理得，AB＝＝＝＝5，(11分)
∴AG＝AB＝×5＝10，
∴r＝5.(12分)