人教版九年级数学下册导学案 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例（含答案）

27.2.1
相似三角形的判定
第1课时
平行线分线段成比例
学习目标：1.
理解相似三角形的概念.
2.
理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论，掌握相似三角形判定定理的预备定理的有关证明.
(重点、难点)
3.
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(重点、难点)
【自主学习】
一、知识链接
1.
相似多边形的对应角
，对应边
，对应边的比叫做
.
2.
如图，△ABC
和
△A′B′C′
相似需要满足什么条件？
【合作探究】
1、要点探究
探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）
操作
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
(1)
计算的值，它们相等吗？
(2)
任意平移l5，根据上述操作，度量AB，BC，DE，EF，
同（1）中计算，它们还相等吗？
【要点归纳】一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：若l3∥l4∥l5，则，，，...
【针对训练】如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(
)
A.
B.
C.
D.
探究点2：平行线分线段成比例定理的推论
观察与思考
如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
若把直线
n
向左平移到
B1
与
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
【要点归纳】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
【针对训练】如图，DE∥BC，，则
；FG∥BC，，则
.
【典例精析】
如图，在△ABC中，
EF∥BC.
(1)
如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
(2)
如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多少？
【针对训练】如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC=
；FG∥BC，AF=4.5，则AG=
.
探究点3：相似三角形的引理
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1
△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2
分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
问题3
你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
思考
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？根据下面的证明填空：
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
证明：在
△ADE与
△ABC中，∠A=∠A.
∵
DE∥BC，∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点
E
作
EF∥AB，交
BC
于点
F.【解题过程补充完整】
【要点归纳】判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A
”型
“X
”型
【针对训练】1.
已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有__
_对相似三角形.
2.
若
△ABC
与
△A′B′C′
相似，一组对应边的长为AB
=3
cm，
A′B′=4
cm，那么△A′B′C′与
△ABC
的相似比是
.
3.
若
△ABC
的三条边长的比为3
cm，5
cm，6
cm，与其相似的另一个
△A′B′C′
的最小边长为12
cm，那么
A′B′C′
的最大边长是
.
二、课堂小结
【当堂检测】
1.
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若
BC=1，则
EF
的长为
（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
第1题图
第2题图
第3题图
2.
如图，在
△ABC
中，EF∥BC，AE=2
cm，BE=6
cm，
BC
=
4
cm，则EF
的长为
（
）
A.
1
cm
B.cm
C.
3
cm
D.
2
cm
3.
如图，在
△ABC中，DE∥BC，则△____∽△____，对应边的比例式为
＝
.
4.
已知
△ABC
∽
△A1B1C1，相似比是
1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为
.
5.
如图，在
平行四边形ABCD
中，EF∥AB，
DE
:
EA
=
2
:
3，EF
=
4，求
CD
的长．
6.
如图，已知菱形
ABCD
在△AEF的内部，AE=5
cm，AF
=
4
cm，求菱形的边长.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
相等
成比例
相似比
.
2.
解：三条边相等，三个角相等.
合作探究
2、要点探究
探究点1：平行线分线段成比例（基本事实）
【针对训练】D
探究点2：平行线分线段成比例定理的推论
【针对训练】
【典例精析】解：（1）∵EF∥BC
，∴
,∴,解得
AF
=
4.
（2）∵EF∥BC
，∴，∴，解得
AC
=.
∴
FC
=
AC－AF
=.
【针对训练】7.5
6
探究点3：相似三角形的引理
思考
解：∵
DE∥BC，EF∥AB，∴，，
∵
四边形DEFB为平行四边形，∴
DE=BF.∴，∴△ADE∽△ABC.
【针对训练】1.3
2.
4:3
3.
24
当堂检测
1.
B
2.
A
3.
ADE
ABC
4.
1:20
5.
解：∵
EF∥AB，∴
△DEF
∽
△DAB，又∵DE
:
EA
=
2
:
3，
∴，即，解得
AB
=
10.
又
∵
四边形
ABCD
为平行四边形，∴
CD
=
AB
=
10.
6.
解：∵
四边形
ABCD
为菱形，∴CD∥AB.∴
△CDF
∽
△EAF，∴
，
设菱形的边长为
x
cm，则CD
=
AD
=
x
cm，DF
=
(4－x)
cm，
∴，解得
x
=，∴菱形的边长为cm.