7.5.1三角形内角和定理-北师大版八年级数学上册课件（20张）

(共20张PPT)
7.5.1三角形内角和定理
第七章
平行线的证明
1.
掌握三角形内角和定理的证明
2.能运用三角形内角和定理解决问题。
学习目标
我们知道三角形的内角和等于180°。你还记得这个结
论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们把∠A移到∠1的位置，你能说明这
个结论吗？如果不移到∠A，那么你还有什么方法可以达
到同样的效果？
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语
言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言
写出这一证明过程吗？
与同伴进行交流
已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
方
法
一
A
B
C
D
E
“行家”
看“门道”
证明:作BC的延长线CD,过点C
作CE∥AB,则
∠1=∠A
(两直线平行,内错角相等),
∠2=
∠B(两直线平行,同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠3=1800
(平角的定义),
∴
∠A+∠B+∠ACB=1800
(等量代换).
你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
1
2
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
已知:⊿ABC(如图所示)
求证:∠A+∠B+∠C=180°
证明:过点C作AB的平行线l.
∵AB∥L
∴∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等)
同理,∠B=∠2.
∵∠1+
∠2+∠3=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°
(等量代换)
证明
A
B
C
l
1
2
3
方法二
证明；过顶点A作BC的平行线AD
∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)
∠1+∠BAC+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(等量代换)
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
方
法
三
1
A
B
D
C
三角形内角和定理:
三角形内角和等于180°.
证明:过⊿ABC的两个锐角作BC的垂线BD和CE,过点A作BD的平行线AF.由图可知BD∥AF∥CE.
∴∠BAF=∠ABD
∠ECA=∠FAC
(两条直线平行,内错角相等.)
∴
⊿ABC的三个内角
∠A+∠B+∠C=∠ABC+∠ACB+
∠BAF+
∠FAC=
=∠DBA+∠ABC+∠ACB+∠ACE=90°+90°=180°
A
B
C
E
F
D
方法四
思路总结
为了证明三个角的和为180°,利用逆向思考的方法,把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者两个直角之和,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.
点拨（3分钟）
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？
添加辅助线思路：1、构造平角
2、构造同旁内角
图1
E
A
B
C
D
F
图2
A
N
B
C
T
S
图3
P
Q
R
M
A
N
B
C
T
S
图4
P
Q
R
M
（
A
B
C
E
D
F
（
（
1
2
3
4
（
图5
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图6
…
…
…
…
A
B
C
E
F
1.∠A=42°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=
。
69°
2.在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=2︰3︰7，则
∠A=
＿＿
，∠B=
＿＿＿
，∠C=
＿＿＿
；
30°
45°
105°
3.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∠A=65°，求∠F的度数。
解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800
∴
∠ABC+∠ACB=1800-∠A=115°
∵BF平分∠ABC,CF平分∠ACB
∴∠FBC=
∠ABC
∠FCB=
∠ACB
∴
∠FBC+∠FCB=
(∠ABC+∠ACB)=
×115°=57.5°
∵
∠F+∠FBC+∠FCB=180°
∴
∠F=180°-57.5°=122.5°
3.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∠A=65°，求∠F的度数。
变式：若∠A=a，则∠F=
a+90°
20°
1
30
°
45
°
4.如图所示，求?1的度数？
5在下列两图中，∠1、∠2与∠B、∠C的关系是_______
∠1+∠2=∠B+∠C
6、练习2.如图，求?A1+?A2+?A3+?A4+?A5的度数。
A2
A1
A5
A3
A4
2
1
180°
小结(1分钟)
1、三角形内角和的定理：
三角形三个内角的和等于180°
2、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角，使三个角构成平角或同旁内角。
当堂训练:（15分钟）
1．在△ABC中，
∠A=105°，
∠B
-
∠C=15°，则
∠B=
＿＿＿
，∠C=
＿＿＿
。
45°
30°
2、填空
（1）一个三角形中最多有
个直角.
（2）一个三角形中最多有
个钝角.
（3）一个三角形中至少有
个锐角.
（4）任意
一个三角形中，最大的一个角的度数至少为
.
60°
2
1
1
A
C
3.在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC,则图中互为余角的角有哪几对？
B
D
4对
∠C+∠B
=
900
∠B+∠BAD
=
900
∠C+∠DAC
=
900
∠BAD+∠CAD
=
900
5.在△ABC中，
∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，
求∠DBC的度数。
5、解：△ABC中，设∠A=x
,则
∠C=∠ABC=2x
x+2x+2x=180°(三角形内角和为1800)
x=36°
则∠C=2x=72°
在△BCD中，∠BDC=90°
则∠DBC=90°－∠C
=18°﹙直角三角形两锐角互余﹚
4、证明：等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.
4、解：已知：在△ABC中，
AB=BC=AC
求证：
∠A=∠B=∠C=60°
A
B
C
结论:等边三角形每个内角是60°
证明：在△ABC中
∵
AB=BC=AC
∴∠A=∠B=∠C
又∵
∠A+∠B+∠C=1800
∴∠A=∠B=∠C=60°
已知：如图，四边形ABCD
求证：
∠A+∠B+∠C+∠D=
360°
选做题.1、求证：四边形的内角和是3600。
C
A
B
D
连接四边形的对角线是常用的辅助线.
证明：连结AC
∵
∠B+∠BAC+∠BCA
=180°
∠D+∠DCA+∠CAD
=180°
(三角形三个内角的和等于180°)
∴∠B+∠BAC+∠BCA+∠D+∠DCA+∠CAD
=180°+
180°=
360°
∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°
即∠A+∠B
+∠C+
∠D=
360°
2.已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角.
板书设计
1、三角形内角和的定理：三角形三个内角的和等于1800
7.5.1三角形内角和
2、三角形内角和的定理证明中，添加辅助线的实质是通过平行线来移动角，使三个角构成平角或同旁内角。
E
A
B
C
D
F
图2
）
A
E
）
1
2
B
C
D
图6
A
B
C
E
F